Минорский - Высшая математика (1108568), страница 38
Текст из файла (страница 38)
У к а з а н и е. Двойной интеграл пе плоским граням тела равен О, ибо, например, на плоскости - = О и сое [тк г) = О и соь [и, !) = О. 2414, Полагая в формуле Остроградского Гаусса Р = л, Я = П, Л =,, получить формулу для обьема: Г! = — // [и соа се + у соз д +: соа -у) а5. ПД" )л) Вычислить по втой формуле обьем эллипсоида ,,2,2 2 — + -' — + — — = 1. аз 52 с2 ди 241б. Полагал в формуле Ост)нпрадского — !'аусса Р =, Я = дл ди ди = — и й = —, [т.
е. полагая вектор (Р; Я: г!) раваым Пгас) и), ду дз локазатго что идхараз: аЬ. (и) дти дто дзи ' е 1н = д 2 + д 2 + д 2 (и) оператор Лапласа. 2412. )!клипать и проверить формулу Остроградского для интег рада г /Ь ( °, ) "ы л+гспа.,м) )л) взятого по поверхности шара и2 + П2 + 22 = а2. 2413.
Написать и проверить формулу Остроградского — Гаусса ллн интеграла З 7. Поверхностные интегра.ты 2416. Проверить подученную в предыдущей задаче формулу для функпиии=х +у +х наповерхноспга +у +х =а. 2417. Показать с похсошькс формулы Стокса, что ух г)х + их ду + ту с)х ру) по любому замкнутому контуру равен н)шю. Проверить это вы- числением интеграла по контуру с гОАВ с вершинами 0(0; 0: О), гЦ1; 1; 0) и В)1: 1; 1). 2418. Написать и проверсггь формулу Стокса для интеграла у с ~х — у) с)л+ (л — х) с)у+ (с7 — г) г)х, Пд) взятого по кондуру схс)ВС с вершинами Л(а,; 0, :0), В(0; а; 0) и С(0; 0; а). У к а з а н и е.
Двойной интеграл мосвгго взять по сснсбой поверхности, проходсяцей через периметр треугольника АЛС, например яо плоскости г+у+х=а. 2419. Написать и проверить формулу Остроградского — Гаусса длн интег рала С,ГСГг'н. ГН,ЛС-' (",С))СХ, бя) взятого по поверхности шара т + у + - = гс . У к а ч а н и е. Тройной интеграл яреобрачояать к сфери югкям координатам. 2420.
Написать и проверить форлгулу Стокса для интеграла а(х — у) с7х+ у(л — х) ссу+ (у — х) ссх со') по кснгтуру трестольника с вершинами А(а; 0: 0), В(0; ад 0) и С(0; 0: а) (см. указание к задаче 2418). 2421. С помощью форхг)чсы Остроградского Гаусса вычислить 3 ~ ~~ ~ ~ ~ 3 ~ ~ ~ ~ ~ з ~ ~ ! ~ ~ с 31 7 + 37 7 + 31 д гя) взятый по наружной поверхности пирамиды, образованной гшоскостями т+ у+ х = а, т = О, у = О, х = О. ГЛНВа 14 мды о~ 1(г) дх = ( А, то ряд сходится, ) ос, то ряд расходитсн. 1 3'. П р и з н а к Д аз а мб е р а сходимости ряда с полохкнтельными членами: ес.ги < 1, то ряд сходится, гготг !пп = г > 1, то рял расходится, о-гго и„ = 1, то вопрос остается нерешенным.
4'. С р а в гг гг гг гг г, и, + ив + из + ... + и„ + ...; (~) (2) гг+ ге+ аз+...+о + .. < о„и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (Ц. > о„и ряд (2) рапгодитсл, то угосходиогсл и ряд (Ц. чередующимися знаками иг — ив+из — и4+.. иг>из>из>...и 1пп и„=О. о -г со ю т н а я с х о.г и и о с т ь.
1'яд Ц Если ио 2) Если ио бо 1>яд с сходится, если 6'. Абсол и, + ив + из+... + и„+ сходится. если сходится ряд )«г1+М!+И+" + о !+" 2 1. Числовые ряды 1'. Ряд нг + из + па +... + ио +... пазьпается сходящимся, если сумма Я'„его п первых членов при и — у х> стремится к конечному пределу Ь' йпг Я„= гу Число Я называется срзгмоо схо,гящегося ря,га. Нгсходящийся ряд назыггаетсн росхоггящп.мол. Для сходичости ряда необходимо (но не достаточно), чтобы и„— > О прм п — г ж.
2'. Игггсгра.льный признак сходнмости ряда с положительными убывающими членами: Если и„= Д(п), где у"(х) убываюшая функция, и 'З !. Числовые ряды В атом случас ряд (3) называется абсолютно сходящимся. Если жс ряд )3) сходится, а ряд (4] расходится, то ряд (5) пазывастся условно !нсабсо:потно) сходящимся. Выполняется ли необходимое условие сходимосги ряда: 1 3 5 7 2422. -+ — + —, + — + 2 ! 6 8 1 ! 1 1 2423.
— + —, + — „+:+ 3 2 4 6 8 2424. — + — + —, + — + 3 9 27 81 Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда: 1 1 1 2425. 1+ — + — + — + 3 1 1 1 2426. 1+ + + + 1 2 3 2427' з+ ° з+,з+''' 1 1 1 2428. !+ !г 1+ 2г 1+ Зг 1 2 3 2429. 1г 1 + 2г 1 + 3г 1 ! 1 2430. + .г + г + Зг — 1 бг — 1 7г — ! 1 1 2431. 2!пг2 31пг3 4!пг4 Исследовать по признаку т!аламбера сходимость ряда: 2 4 6 8 2432.
—, + — +, „+ +. ' 3 9 27 81 2 4 8 2433. 1 +, +, +, + 2! 1 2 1 2 3 2434. 1+ +, + 1 3 1 3 5 3г )з 2435. 1+,, +, . + ' 2.;5+ 2 .;, + 2з.7+ " 3! 5! 7'. 2436. —, +, -)-, . +. 2 2 4 2 ° 4 6 2 4 6 8 ! 5 9 !3 2437;+ — +; — -",--' — + 1л.14. Ряды Сравнением с гармоническим рядом или с убывающей прогрес- сией исследовать сходимость ряда: 1 1 1 2438. 1+ — + — + + .72 3 4 1 1 2 5 3 5з 4 5з 1 ! 1 1 2440., + + +! с+''' 1пй 1пЗ !и ! !п5 1 2441.
Методом сравнения рядов показатен что рял + 1+ хз 1 1 + + +... при ~х~ ( 1 расходит~я, а прн ~х ) 1 1+ х4 1+ хе сходится. Указание. !ля сравнения в первом случае заменись х,:е, и,... епиципами, во втором случае отбросиэь в знаменателях единицы. Найти сумму ряда: 1 1 1 2442. 1 2 2 3 3 4 Указание. Разлоящть и„на элементарные дроби. 1 1 2443. 14477!О Исследовать сходимость ряда: 1 1 1 2444.
1 — + — — +... тГ2 туЗ чЛ ! 1 1 2445. 1 — — + — — — + 32 52 72 1 1 1 2446., —,, +, 2 !и 2 3 1и 3 4 1п 4 йп о ви1 2о я1п Зо 2447 +, + + 22 Зэ 1 2448. 1!оказатгн что сумма,5' условно сходящегося ряда 1 — — + 2 1 ! + — — — +... уменыцится вдвое, если после каждого иоложитель- 3 4 ного члена ряда поместить два последующих отрицательных. и увеличится в полтора раза, если после каждых двух положительных членов цоместелть один отрицательный.
'З 2. !'авномсрная сходнмость функционального ряда 245 Исследовать схолимость ряда: 1 1 2449. 1+ - . + — +... 3ьУ3 5вУ5 1 1 1 2450. 1+ 101 20! 30! 1 2 3 2451. ' ! + 14 ! + 24 1 + 34 3 2452. 1+ — + — + —, +. 4 0 16 1 1 ! 2453.1+ з+ з+ з+ ,!2 72 102 1 3 2454. — + — + +, + 22 23 24 21 41 61 2455. + + +... 3 0 27 2 4 6 2456. — + + +... 1 3' 5! 1 1 2457. 1 — — + — —... ,~з ~Л 1 1 ! 2458. 1 — —, + —, — — + 2з !з,(з 1 2459. 1 — + — +. 2нв 3о4 г!сгз Наити сумму ряла: ! 1 ! 2460., +, „+ +...
5 7 1 1 1 2461. 1 2 3 2 3 4 3 4 5 82. Равномерная сходимость функционального ряда 1'. Совокупность значсний х, прв которых функциональный ряд иг(х) + иэ(х) 4-... + и„(:с) + .. сходится,называстся обьосгвью стог!изгосяги этого ряда. Фунггцггя,5'(х) = 1пп .'~'„(х) называется его сцялой, а разность 47„(х) = э(х) †.ь'„(х) остосаков ряда. Рл. 14.
Ряды 2'. Ряд ]1) называется равномерно сходхвггснсл на отрезке [а, 6]. сели для всяггого е ) 0 можно найти такой номер Л", что гери и ) ?г' н любоъг х на отрезке [а, 6] будет вьгполнено нсравенсгво ]!1н[х! ( е. 3'. Признак равнолгерггой сходим ости Ряд ГЦ сходится обсоиюгпно и росно.верно на отрезке [а, 6], если сутпесгвусг числовой схелгппийся ряд с положительными членами ю + ст + сз + ... + с + .. такой, что и„[х) ( с„ при а ( х ( 6. 2462. Определить при ]х < 1 сумму и остаток ряда 1+ х + + д ~+ х +... и показать, что он сходится равномерно на отрезке [О, 1?2].
Г!ри каком и остаток ]й„,[х) ( 0,001 для любого и на етом отрезке? 2463. Показать,что ряд т, + х[! —:с) + х[1 —,т) + х[à — х) + .. сходится неравномерно на отрезке [О, 1] и равномерно на отрезке [1/2, 1]. При каком и, остаток ]Л,[х) ( 0,01 для любого х на отрезке [1?2, 1]? х хт хз 2464. Показать,что ряд — — — + — — ...сходится равномерно 1 2 3 на отрезке [О, 1].
При каких п и любом х на етом отрезке ]гг'„[х)] < < 0,1'? з ,з 2465. Показать, гто ряд.гз+ + +... сходится 6 хз [1 6 хз)2 нцтггномсряо при т, > 0 и равно,перно пргг:г > 1. При каком и, остаток ??„[х)] < О, 001 для любого х > 1? 1 1 1 2466. Показать, что ряд +, +, „+ чТ+ х 3 чгГ+,'3т Зт чгГ-Г- бх ! + — — — — +... сходится равномерна в интервале 0 ( т < сю. 3з,г! л=.,. При каком и [гг любом неотрицательном х) остаток ряда ]??„[х)] < < 0,01? У к а з а н и е. Сравнить данный ряд с числовым схо,гяшимся ридом. 1 1 1 1 2467. Показать, гто ряд — + —,+ хх с 1 х2 ] г! хт с о хт с 1б сходится равномерно на всей числовой оси. При каком и [и любом х) остаток ряда гг„[х)] ( О, 0001? 53. Степенные рады 2468. Показать, что рнд 1 1 1 + + х(х+1) (х+ 1)(х+ 2) (х+ 2)(х+ 3) 1 сходитсн равномерно к — в интервале 0 < х < ос.
При каком и (и лнубом х > 0) остаток рида ~Л„(х)~ < О, 1'? 2469. Показать, что ряд 1 ! 1 ! + + +, + тг! + х т/2г + 2х т?2е + Зх т?2а + 4х сходится равномерно в интервале 0 < х < ос. При каком п остаток ряда (Л„(х)! < 0,01? 3 3. Степенные ряды !!усть дан степенной рнд аз+ пух+ агх +, + а„хи+ .. Число Л называется радиусом сходи.вести ряда (!), если при (х! < Л рнд схопитса, а при )х! > Л расходится. Л можно найти или иссле- дованием абсолютной сходимости ряда (!) по признаку Даламбера, или, а„ когда все а; отличны от пуля, по формуле Л = 1пп .
В частности, — >со питт если зтот предел равен лл, то рнд (1) абсолютно сходится на всей оси 0:с. Отененной ряд сходится не только пбсозютно, но и рооножсрно на любом отрезке (о, б], лежаптсм внутри интервале сходюиости ( — Л, Л). Определить интервал сходимости ряда и исследовать его схо- димость на гранипах интервала: .з 2476. 1+,, +, +, + 3 2 Зг 3 Зз 4 .3 тз 2471. 1 — + — + -,г2 бг ?3 -з Д Вхз 2472. 1+ + + + Згъ?3 5гт?с!г 7гхгс!з се ,)е — 1 2473.
~; —,. 2474. 2, и 1:7.14. Ряды 1..а 2476. 1) ~ та л и!; 2) (ч + 1)" 2477. (к+1) + + + + ,1г 4 йз 2478. + ' 27 — 3 (йт — 3)г ~27 — 3)з 1 3 5 Определить интервал сходимости ряда и найти его суълму: 2479. 1+ 2х+ Зхг+ 4кз+... Указание. Для пахоьтденпя суммы Я найти сначала / Я Пк. о ,3,5,7 2480. г — —, + — — — + 3 д лл' У к а з а н и с. Найти сначала —. дт 2481 1+374 5лгфутз+ Указка не. Обозначив сумму ряда через о, составить аыршкепие Я вЂ” Ьл а виде суммируемого ряда. лглл™ вЂ” 1) г ггл(™ — !) лш — 2) 2482. 1+ — х+ т~+ ъз+, .. 1 2 1 2 3 5а .5чк Указание, Показать, что — + = лл, лл решить Это дифферент пл циальяое уравнение. ()предсглить интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала: З.з 2483.
1+ + + + ъ75 5 ъ79 5г 5713 55 хг , 4 .в 2484. 1 + + 3. Пъ'2 Зг. Зх/3 Зз 4574 сю 1 Па ка г -л 2485. ~, . 2486. ~, ( — 1)" 2и — 1 2487. + + ' +... ;,,йз З !. Ряды Тейлора н Маклорена 2488. + + + 2х+1 (2т+ 1)г (2х+!)~ 1 7 Определить интервал сходимости ряда и найти сумму: 2489 1 Охг + г .4, .6+ Указание. Для нахождения суммы 5' найти сначала / .Удх. о , г 3 2490.
а + — + — +... 2 3 гЫ У к а з а н и е. Найти сначала —. 0х 2491. 1 — 4х + 7:сг — 10хз+... Указание. Составить выраженно Еу+ ЕЕх. 94. Ряды Тейлора н Маклорена 1'. Оэ ори у да Маклорена: Е'(О) Т" (О), Д(х) = У(О) +, х+, тг+...+Е4 (х). (!) и гас ЕЕ (х) = —,УОО(0х), О < 0 ( !. и! 2'. Оэормула Тейлора: Х(х) = У(о) +, (х — о) +,, ( — о) + + Лк(х), (2) У~(о) То(а) оде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
