Минорский - Высшая математика (1108568), страница 34
Текст из файла (страница 34)
сЕ! сЕ! Решить это уравнение, счнтап ЕЕ и Е постоянными, а злектродвижущую силу Е линейно нарастаюшей: Е = И. Начальные условии: с =- 0 при ! = О. 2111. Найти форму зеркала, отражающего все лучи, выходящие из данной точки, »арал.юльно данному направлению. Указание. 1'ассматриван плоское сечение зеркала, примем в пем данную то ъссу за начало координат, а данное направление за ось Оу. Касательная к искомой кривой в точке ЛХ образует равные углы с ОЛЕ и осьнс Од, г. е.
отсекает на оси Од отрезок ОХ = ОЛ!. Решить дифференциальные уравнения: 2112. хд+ уг = (2хг+ ху)у'. 2113. (ссг+ хг)у'+ ху = 1. 2114. ту'+ 2 схд = у. 2115. (2х+ !)у'+ у = т,. 2116. у' — у !й х = с!и х. 2117. ! с!я — 2я сЕ1, = !и !» ! й. 2118 ус+ хд хдз 2119. у'+ д сов х = и!» 2х. У !Е 2120. у' = ' — — '; у — 1 прк х = — 1. тг т' 2121. Зугу'+ уз = х+ 1; у = -1 прн х = 1. в 4. Урввнсния с лиффсрснцналвми пронзвсдсния и частного 213 2122.
(1 — хт)у' — ту = хуз; у = О, 5 при х = О. 2123. Определись кривую, проходящую через точку в1(а; а), если расстояние от пзчзлз коордипвт до касательной в любой точке кривой рввно абсциссе этой точки. 34. Дифференциальные уравнения, содержащие дифференциалы произведения и частного д)ху) =хду+удх; д( — ') = ' л , .д( — ) = .г у Твпггс уравнсния шюгда легко решаются, если соответственно полов у в~пть ху = и, у = — цли — ' = и, у = их. х х Решить яифферснцнвльньп.
урзвнсния: 2124. х~ду+ худх = дх. 2125. узхду — уздх = хтду. У к в з в н и е. В примере 212б уравнение приводится к виду у д! — ) =с!у или у ди=ду. т уу т ду= О. ду= О. г ду = сов 2х дх. 2130. хтут + 1+:гвуу' = О. 35. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 1'. Если в диффсрснциальном уравнении "д +Оду= О д!' 20 , то оно прнобрствст вия дп = О и ого общий интсгрвл булст ду дх' и=Об др сэр 2'. Если — ~, то прп пскоторых условиях существует функция ду ох р(х, у) твквя, что рудх + рЯ ду = ди.
')та функция р(х, у) нвзьпзвсгся иитсзрирумьтим множнтслсм. 2126. у дх + (х — уз) у да — 1х — уз) 2128. усов т дх + вш д,в 2129. 1 — — в = вт!и д! 2131. 1зв д! + 1з дв = 2133. ху'+ 1ц у = 2х г)1 2132 т г)у — у дэ = х г дх. весу. 2134. у (ув вУт+ 1) = ху'. 214 1л. 12. Дифференциальные уравнения Интегрирующий множитель легко найти в случаях: еЗР! Зд — ац!Зх 1) когда ' = Ф(х), тогда 1и р = ) ФОе) Зх; дел/дх — Ъ Р(оу 2) когда = Ф~ (у), тогда 1п р, = )' ФНу) Иу, Дифференциальные уравнения 1 4 являются частными случаями уравнений, рассматриваемых в настоящем параграфе. Решить следующие дифференциальные уравнении «л полных дифференциалах»: 2135.
4 — — ) г1д; + — е)у = О. д~ 1 2у хт ) 2138. Зх". ух+ (, " — 1) дд = О. 2137. е д е)х + (1 — хс г) ду = О. 2138. 2х солт у Йх+ (2у — х~ ьш Зу) г1у = О. Найти интегрирующие множители и решить дифференциальные уравнения: 2139. ( ' — д) ух + х ду = О 2140. 2х 1и уел+ (хд — 2 в)л д) егд =- О. 2141.
(еде — у~) <1х + у г1у = О. 2142. (1+ Зт~ яп д) е)х — х с!и ус~!у=. О. Показать, что левые части следующих дифференциальных уравнений суть полные дифференциалы, и решить уравнении: 2143. (Зхд+ Зу) е)х+ (2х — 3) е2у = О. 2144. (Зх~д — 4хд") с~х+ (х~ — 4х~у+ 1Зуз) с)у = О. 2145. (х сов 2у+ Ц дх — ха аш 2уЫу = О.
Найти иптегрируинцие множители и решить уравнения: 2146. у~ Пх + (ух — 1) е1у = О. 2147. (хт — Зуд) ох ф 2ту е)д = О. 2148. (ьш х + еи ) г1:г + сок:е г)у = О. 2149. (х а!л у+ у) ох+ (хт сов у + х 1п т) е)у = О. 215 Гз 6. Уравнения Лагранжа и Клсро 26. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Уравнения Лагранжа и Клеро 1'. Если уравнение Е'(х, у, у'] = О второй стссини относительно у', то оно имеет два решения относительно у'. у' = уг(х, у) и у' = уз(х, у), непрерывных относительно х и у в некоторой ооласти, а геометрически опрсдс ласт в .сюоой точке (хос уо) втой области два нгправсп;ния интегральных кривых. Такпс дифференциальные уравнешш Р'(х, у, у'] = О, кроме общего интеграла Ф(х, у, С) = О и частных интегралов, иногда имеют ещс особыб интеграл, пе содержащий произвольной постоянной и в то же время нс получающийся из общсго нп при каком значении постоянной.
Особый интеграл, если он существует, можно долучитсы нск,актив р = у' из уравнений Г(х, у, р) = О и г с(х, у, р) = О или же исклюшш С из общего интеграла Ф(х, у, С) = О и Ф',. = О. Геометрически особыи интеграл определяет огибающую ссжгйстоо интегральных кривых г). 2'. Уравнснпс !1агракжа У = ху" (ус) + Р(Р] гас р = у', иктсг рируегся слсдуюспим образом. Продифферснцировав (Ц по и, найдем: р = у(р] + (х Г (р) + со (рс)) с]х Это уравнение .пшсйное относительно х и —. Решив его, получим: х = СА(р) + В(р).
(2) Уравнения (1] и (2] будут параметричсски определять общий интеграл. Исклсочив из них параметр р (сслн зто возможно], получим общий шггеграл в формс Ф(х, у, б ) = О. З~. Уравнение Клеро у = рх+ 1о(р) является частным случаем уравнения .'1агранжа. Оно имеет общий интеграл у = Сх+ ср(С) и особый, получающийся искшочспиом параметра р из уравнений у = рх + ср(р) и х = — р'(р). 2150. Построить несколько интегральных кривых уравнения у' = йу, Какие две инпшральные кривые праха,ссст чс'рез точку 'ЛХ(1; 1)''.
'] Ом. определение огибакпцейпа с. 200 Гл. 12. Дифференциальные уравнения 2151. Построить интегральные кривые уравнении д'з + дав — 1 = О. Какие две интегральные кривые проходят через точку М1п/''2: 1/~/2)2 2152. Показать, гто иптегральныс кривые уравнения жд «3 — 2ду'+ 4я = О содержатся внутри острого угла между прямыми у = ~2п. Построить интегральные кривые, полагая в общем иц- 1 тю рале постоянную С = ж —, х1, х2 и т.
д. 2' 2153. Решить уравнения: Ц уу'з + «1'(ж — у) — и = О; 2) ту'з + 2ту' — у = О и построить интегральные кривые. 2154. 1'сшить уравнения, не содержащие явно одной из переменных: Ц д = 1 + д'з; 2) ж = 2у' — —. у!2 ' Указание. Обозначив д' через р, продифференцировать первое уравнение по л. в второе по у. 2155. Найтлл общие и особые интегралы уравнений Лагранжа: «г Ц д = жд«з+ д«з: 2) у = 2жу«+; 3) 2у = у«а у' + 2 2156. Найти общий и особый интегралы уравнения Клеро и построить интегральные кривые: Ц у = лд' — у'з; 2) у = яд' — а.„П + д'з: 3) у = ку'+ 2у««а 2157.
Построить интегральные кривые уравнения у'~ + д = 1. Какие две интегральные кривьлс проходят через точку «гу(1; 3««4)3 2158. Решить уравнения, не содержашие явно одной из пере« «2 «3 ., ау менных: Ц д =.д + 'д; 2) и = х««Г+ у" ' 2159. 1'сшить уравценио д = 2у'ж + —, + д'з. 2 2160. Найти обший и особый интегралы уравнения Клеро и построить интегральные кривые: Ц д = д«и+ —; 2) у = жу'+ д'+ у'з. у« ' 2161. Найти кривую, касательные к которой образу«от с осями координат треугольник постоянной площадлл, равной 2а .
3 2162. Найти кривую, касательная к которой отсекает ца осях координат отрезки, сумъла которых раппа л. з 7. Лнфсдсренцнальныс уравнения высших порядков 217 3 7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 1'. Уравнение вида д1"1 = т"(х) решаетсп последовательным и-кратным интегрированием правой части. При кюкдом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате п, произвольных постоянных.
2'. Уравнение Р(х, у', дп) = О, нс содсржащсс у в явной форме, я '1р подстановкой у' = р, у" = — приводится в виду Их Р х р, = О. 3'. Уравнение Р(у, д', у") = О, нс содержащее х в явной форме, и «р 1р подстановкой у' = р, дп = = р приводится к виду ох ~1у Г у.р,р =О. Решить уравнения: 2163. 1) уа' = —; начальные условия: д = 2, у' = 1, уп = 1 ,з' при:с = 1 2) у" = 1соа2х; д = О, у' = О при х = О: 3) у" = 1 1+ хз 2164 езда+ хгу' = 1 2166 уу" + у" = О 2166.
уп+ у'1п х = ып 2х. 2167. уп+ 2у(у')з = О. 2168. упх1п х = у'. 2169. уп18у = 2(д')~. 2170. 1) ху" — у' = еехд; 2) уа , '2хуж = О. 2171. Определить кривую изгиба горизонтальной балки, один конец которой наглухо заделан, а па другой действует сосредоточенная сила Р (весом балки пренебречь и считать изгиб настолько малым, ч*о 1+ у'з 1). 2172.
Определить кривые, у которых радиус кривизны вдвое больше длины нормали. 2173. Определить кривые, у которых радиус кривизны равен длине нормали. 2174. Иа отрезке [О, 1] определить кривую, касающуюся оси Ох в начале координат, если кривизна ее ь = хз т. е. равномерно нарастает вдоль оси Ох (псрсходняж кривая). Привять приближенно, что ! + у'з 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
