Минорский - Высшая математика (1108568), страница 32
Текст из файла (страница 32)
2010. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности а = хг+уз в точках пересечения ее с примой х = у = г. хг 2011. Показать, гто касательная плоскость к поверхности — + аг уг г + + = 1 в точке на ней (хо, уо, -о) определяется уравнением ог сг ххо Ууо ххо аг + бг + сг 2012. Написать уравнения нормали к поверхности х~ + уг— — (х — 5)г = 0 в точке (4; 3: 0). Построить в первом октанте поверхность и нормаль.
2013. Найти углы с осями координат нормали к поверхности 2- = хг — уг в точке. (2; '2; 0). 2014. Найти расстояние начала координат от касательной плоскости к коноиду !2аг — хг)хг — агут = 0 в точке (а; аб а). Э 11. Скалярное попс. Линии и поверхности уровнсй 203 2015. Показать, что сумма отрезков, огсскасмых на осях координат плоскостью, касательной к поверхности хг12+ уг12+ -212 = = а 1, равна постоянной величине а.
2016. П какой точке касательная плоскость к поверхности - = = 4 — 22 — ут параллельна; 1) плоскости хОУ; 2) плоскости 2х + + 2у+ = О? Написать уравнения этих касательных плоскостей. 211. Скалярное пале. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент Уравнснис и = Г(х, у) определяет и в каждой точке ~х; у) нскоторой обласги, когорая называется по,илв скаднра и. Вдголь каждой из линий Р1х, у) = иг, ГГх, у) = из, ..., гдс им из, ... постоянные, скаляр и остаатся постоянным и мснягтся только при переходе точки 1х, у) с одной,линии на другунь '.)ти линии называнэтся изо.тнинии (изотсргаами, изобарами и т.
и.) или липин„ви уровней. Уравнение и = Г(нб у, ) определяет паде скалнра и в некоторой часпл трсхмерпого пространства. Ивоиоасднностн,ии, или лоссрхиостнжи уроттй будут 1'(х ° у, 2) — иг 1 Гн у 2) ит Пусть точка 12Л у; ) асргмсшастся по прямой х = хо +1совО, у = й1 уо + 1сов д, 2 = но + 1сову со скоростью = 1. Тогда скаляр Ж и = 1г(х, у. =) будет изменяться со скоростью ди г1и дЕ" дГ, д1г и = — = — = —,соьо+ — совд+ — сов; = М 1о, гд й1 д:с ду " д= дГ дГ дГ иоргдавиимй вектор изоиоасртноста, а 1о1сов гн сов д; сов "1) сдиничный вектор направлсння 1.
Производная ди дГ дГ дà — = — сов О + —, сов д+ — сов з — — М 1о й1 дх ду дг называется производной от убуикции и =- Г(х, у, 2) а даинод~ иаираалс иии 1о1 соа О; соь д; ОО8 1). Градисшии.,в скаляра и = Г(х, у, х) называется вектор кгас1 и = ди, ди, ди = — 1+ —,,1 + —,1с.
Градиент есть вектор скорости иаибьттрвдиисго дх с1У' дн изменения скадара и. 2017. Пусть - = 4 — тт — У2. Построить линии уровней и дгад =. в точке А(1: 2). 204 Гл. 11. Частные производные, полныс диффсрснцналы 2018. Пусть = = агстп —. Построить липни уровней и пзчи1 н: й 1) в лнюой точке прямой у = сц 2) в:побой точке прямой 9 = — д, в частности в точках 11/2; Ы/2). 11; ~1), ...
2019. Горизонтали возвышенности определяются уравнением .г Ь = 20 — — йг, Построить горизонтали, соогнзетствуюшие от меткам Ь = 20 м, 10 и, 18 м, 16 и и 11 м. Направленые кгас! Ь определяет здесь направление линии наиболее крутого ската, а величина крутизну этого ската возвышенности. Построить 8гаг! Ь в тачке к = 2 н у = 1. 2020. Найти наиболыпую крутизну поверхности вг = ту в точке 14; 2).
2021. Найти производную функции и = 1п1е + е") в направлении, параллельном биссектрисе координатного угла. 2022. Найти производную функции и = тг + уг + дг в точке 11; 1; 11 в направлении 1(сов 45', сов 60', сов 60') и найти йгай и в той же тачке и его длину. Построить поверхности уровней. 2023. Построить поверхности уровней скаляра п, = лг + уг— — йа и найти и построить пгас! и, в точках пересечения оси Ол с поверхностью и = 4. .,г г г 2024.
Найти производную функции и, =- — + — + — в тачке иг Ьг 1а; Ь: с) в направлении радиус-вектора этой точки. 4 2025. Пусть "=, . Построить линии уровней и йгай ". в точке ~ — 1; 2) и найти ~дгас! в . с!и 2020. Пусть и = лйд. Найти производную — в направлении, ьП составляющем с осязш координат равные углы, в любой точке и в точке 11; 2; 1).
2027. Построить поверхности уровней скаляра и = ъг+рг — аг, определить дгаг! и на поверхности, прахадяшейз через начала координат, и построить еза в тех точках этой поверхности, в которых д = 0 и а = 2. яоян.пу * ° —,,ЛггвтР. и.п* в ~ ° .' л»ч.
У 2029. Построить изапаверхности паля функции и = — —— с иг Ьг и найти производную от и в точке (а; Ь; с) в направлении радиус- вектора этой точки. !! 12. Экстре!!ух! функции двух переаленных 205 312. Экстремум функции двух неременных Р'. Необходимые условия. РРункпия = = Г(г, у) может иметь др дГ экстремум то.лько в точках, в которых — = О и — = О. Пти точки дх ду называнзгея критическими. 2'. Достаточные условия. Обозна шм через А, В и С значения д2Г д2Г дзр ЯРОРРзволнык ... и в кРитичеекой точке (хо, Уе). дх ' дхду ду Тогда, если: ,'А В 1)'В б! > О, то Г(хо, уе) = зт~ при,4 < О, Г(хо уо) = при:1 х О; А В 2) В - < О, то экстремума нет; А В 3)  à — О, то экстремум может быть, а может и не бьггР, (сомнительный случай). 3'.
Условный экстремум. Чтобы найти экстремум функции " = Г(х, л!) при условии, что х и у связаны уравпонием:р(х, у) = О, составим вспомогательную функцию и = Г(х, у) + Лр(х,, у). Координаты экстремальной точки (х; у) должшз удовлетворить трем ди ди уравнениям: !р(х, у) = О,, = О,, = О, ллз которых и находятся Л, дх ' ду ХР! У. Найти экстремум функции: 2030. 2 = хз — х у + уз + Ох — бу -)- 26. 2031. х = у,„>х — уз — х+ бу. ,э+Я!уз бгу+1 2033. =. = 2ху — 4х — 2у. 2034. х = е Рз(х + уз). 2035. х = вюх+ в!в!у!+ гйп(х+у) при О < х ( к/2 и О ( < у < плл2. 1 2030.
х = — + — при х + у = 2. Х У 1 1 2037. х = х + у при — +— хз уз 2 2038. Определить размеры прямоугольного открытого баесойпа, имеющего наименьшую поверхность при условии, что его объеч! равен 1'. 2039. Построить эллипс хо + 4уз = 4 и прямую 2х+ 3у — 6 = = О и на эллипсе найти точки! наиболее н наименее удаленные от прямой. 2040. На гиперболе хз — у = 4 найти точку, наименее удаленпун! от темки (О: 2). 206 Гл. 11.
Частные пропэводныс, полныс дифференциалы 2041. Определить размеры цилиндра наибольшего объема при условии, что его полная поверхность равна 6 = бпм . 2042. 1) В эллипс хт + Зу" = 12 вписать равнобедренный треугольник с основанием, параллельным большой оси, так, чтобы площадь треугольника была наибольшей. 2» Ось Од' расположена на границе двух сред. По какому пути должен пройти луч света из точки Л(0: а) в точку В(с; — 6), чтобы затратить на прохождение этого расстояния наименьшее время 1а > О, 6 > О, с > О)? а Ь указание. Нужно найти минимум функцтш?р = + ет сое о гэ сое 3 при условии и те о+Ь 18 3 = с, где ет и еэ скорости света в двух средах, а о и 6 углы падения и преломления.
Найти экстремумы функций: 2043. в = Зх + бу — хэ — ху — уэ. 2044. х = хт + у" — 2х — 4 'ху — 2у+ 8. 2045. = 2х~ — тут + бтхж + у . 2040 ч = Зхг — 2х /у -~- у — 8х -~ 8 2047. =. = ху при условии, гто т. + у~ = 2. 2048. Наргти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда при условии, что длина его диагонали равна 2зуЗ. 2049.
1) На параболе у = 1х найти точку, наименее удаленную ог прямой х — д + 4 = О. ,в,д 2) В эллипс — + — = ~ вписан прямоугольник паиболыпей аэ Ьв площади. Найти эту площадь. 2050. Определить размеры конуса наибольшего обт,ема при условии, что его боковая поверхность равна Я. Глава 12 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 21. Понятие о дифференциальном уравнении 1'. Обыкновенным дифференциальным уравнением и — г о и о р и д к а пазываетсп уравнение вида !" лх, д, дл, длл, ..., д!"1) = О, гпе д = длгх) искомая функпик.
Любая функция д = .р(х), обрашающаа ураллнение (1) в тождество, пазываетсп реилениклл этого уравнения, а график этой функции опгвеероаьпой кривой. 1".слн решение задано в наивном виде Ф1хц дл) = О, то олго обычгго называсгслг ллшпл аралов уравнении (1). г1)ункцип д = ло(х, Сл, ..., С„), содержащая и независимых произвольных постоянных, называется общим рсгиеписл уравнения (Ц, если опа лвляетсн его решением при любых значениях постоянных Сг, ... С„. Если эта лруггкцик задается в неявном виде выражением Ф1эз д, Сг, ..., Со) = О, то это выражение назьгвается обллож ишпегралол уравнении (1). Придавал в выражении у = ф~х, Сл,..., Сг) или в выражешли Ф(х, д, Сг,..., Со) = 0 определенные значсшлл постоянным Сг, ..., Со, получаем частное рсшсллис или соответствеш|о чостлльлй иилпеерол уравненип 11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
