Минорский - Высшая математика (1108568), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Опреде.шть и построить векторы скорости и ускорения при 1, = я,12 и 1 = и. В задачах 1827 182сй написать уравнения касательной к кривой: 1827. у = х, х = 2хг в точке т. = 2. 1828. хг + уг + хг = 14,:г + 2у — = 2 в то гке (1; 2; 3) (см. задачу 1818). 1829. х = 21, у =1п1, "' = 1г в точке 1 = 1. з 4. Кривизна и кручение пространственной призон !83 34. Кривизна и кручение пространственной кривой 1броаозна 1/и есть предел отношения угла зз поворота косотсльноп к длине дуги Ьз, когда гзз — ~ О. нрученое !/р есть предел отношения угла 0 поворота боноржоли к тзз, когда йз — т О.
Так как,о )Ьт и 0 ю ~)ЬО, то 1/Л и 1/р численно оказываются модулями векторов: гут ! — = — и, ба Л, сИ 1 — = — — и. оз р !'.ели кривая задана уравнением г = гО), то 1 )гхг~ ! ггг' Й )г)з ' р )г х г)з ' (2) 1833. Продифферснцировав равенство и = от по Ь с помощью первой формулы !1) получить разлолгенис ускорения тч на тангенцнальноо и нормальное: 02 тч =. от + — и.
Л 1834. Точка двилштся по параболе л = 1, у = 1 — !~, гче 1 время движения. Определить кривизну 1/Л траектории и тангенциальное и нормальное ускорения в момент ! и при ! = О. 1835. '!очка дни кется по иллипсу л = 4 сов!, у = ЗвбпО где время движения. Определить кривизну !/Й траектории и 7Г тангеяцнальное и нормальное ускорения при ! = —. 4 2 з 1836. Длн движения с уравнением г = Н + !а3 + —,!з)с опре- 3 делить кривизну )/Й траектории н таогенциальное и нормальное ускорения в любой момент ! н прн ! = !.
Определить кривизну 1,~Л и кручение 1,1р кривой: 1837. л = Рз у = !т, а = !з в любой точке и при ! = О. 1838. и = с~, у = с ', а = !ь'2 в лгобой точке и при ! = О. т2 гз 1839. у = , = в любой точке и прн т, = 1. 2' 3 1830. г = с'!+ с ~3+1~/2)с. Найти углы с осягии координат бинормальнога вектора Ь в точке ! = О. 1831. Написать уравнения главной нормали и бинормали кривой у=лт, а=уз в точке т= 1. 1832. Написать уравнения главной нормали и бнпормали кривой ж =- ! — зш О у =- 1 — соь 1, = 4 аш —, в точке ! =- л. 2 184 Гл. 10. 14рнвизна плоской и пространственной кривой 1840. Показать, что на правом винте (х = асов!, у = импе, в = Ы) кручение пможнтелыто, а па левом (х = асов!, у = = — а вьп 1, —.
= 6!) отрицательно. Определить кривизну 1/Л и кручение 1/р кривой: 1841. х = 21, у =!и!, = с' в:побой то.не и при ! = 1. 2 1842.:с = —, — = нт в любой точке и при у = 1. 2' 1843. х = е'вин 1, у = с'сов|., - = е~ в точке ! = О. Глава 11 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 81. Функции двух переменных и их геометрическое изображение 1'.
О и р е л е л е н н е. Переменная " называется однозначной функцией переменных х н у, сслн каж,зой парз зпачсннй т и у в некоторой области нх нзменекня поставлено зз соответсз ззне о зно значенне . зууззкднональнузо завнснмосгь - от х н у запнгьпзают в виде - = Г(х, у). й'.!'еометрнчсскос изображение. Уравнение (1) геометрнчески определяет пскоторузо поверхность. Пара,значсннй х н у определяет на плоскости хОу точку Р(х; у), а " = Г(х, у) еппзшкету соответствующей точки 41(тб у: х) па повсрлностп.
Поэтому говорят, что х есть функцня точки Е'(х; у), н пишут - = Р(1э). 3'. Предел функции 1цп Р(1з) =- А, сслн разность Р(1') — А я-з и есть бссконечно малая, когда р = 1зоР е О прн любом способе прнблнжсння 1' к Ро (напрнмер, по любой линии). 4'. Непрерывность функции. Пзуззкззнзз 1 (х, у) называется непрерывкой в точке Ро, есгш 1нп Р(Р) = Г(Ро). Иначе говоря, фуккпня Р(х, у) непрерывке в некоторой точке (х, у), есгш )пн Р(х+ злхз у+ зхзу) = 1'(с, у). а -зо ал- о 3) == 4 х2 + у2 ' Ц х = х2+ у2; 2) пх = а, — хэ — ух: ЗЗ*=ЗЗЗ * ГЧ) ЗЗг=,ЛтЗ: х71 6) .
= ; 7) х = г — .' н построить геометрические нзображешля фупкцнй по сечепням поверхностей плоскостямн х = О, у = О, х = О н - = )з. 1844. указать области изменений х н у, для которых следуюзцне функции имеют вещественные значения; 186 Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы .г 1) -= 1 — — — уг; 2) г=хг — у; 3) х=хг — уг; !) = ху. 1851.
Паказвт«п что при т, — «О и у — «О выражение и = у т, — у может стремиться к лкзбоь«у пределу. Привести примеры такого приближения точки (х; у) к точке (О; 0), при котором 1!ш и = 3, йпи=2, 1ппи=1, 1ппи=0, !пни= — 2. У к в з а н и е. Рассмотреть изм«пение х и у вдоль «трямых у = Ух. 1852. Поквзать, что: 2 — ь«ху+ 4 ! 1) !!ш х«о ху 4 д — «о и!и (ху) 2) !ип = 1; х о ху л — «о в!«з (ху) =0 х 3) !«и« х-«о ч-«о при любом способе приближения точки (х; у) к точке (О; 0). У к в з ац ив. Положить ту = о. 1845. Двн периметр 2р треучольннка. Определить плошадь о' треугольника как функцию двух его сторон х и у. Определить и построить область возможных значений,т и у. х — 2у 1846. Для функции Е'(х, у) = вычислить Е'!3, 1), Е'(1, 3), 2х — у Е:(1, 2), Е'!2, Ц, Ег!а, а), Ее~и, — о).
1847. Показать, что если Г(х, у) = ХЕхч + уч — йху, то Ег!йт, ту) = = !гЕг!х, у). 1848 «!ля -. хг ху уг а««!,едет«зт гл Вычислить Л х. ~Ллх, тхг, если х изменяется от 2 до 2,1, в у изменяетсп от 2 до 1,9. 1849. Показать, что уравне«««ле тг — уг — г = 0 определяет как бесчисленное множество однозначных функций х и у, из которых две непрерывны. Указать область определения всех зтих функций и построить геометрическое изображение положительной непрерывной функции. Привести пример однознвчной, но рвзрывной функции х = Г(х, у), определяемой тем же уравнением г г г 1850.
Построить линии уровней (при х = О, 1, 2 и т. д.) функций: 6 2. 'Еастныс пропзводпыс первого порядка !87 1853. Изобразить геометрически функцию при;гд е О, при ху= О, при хд( О я =Е'!х. у) = Π— 1 и указать линии ее разрыва. Указать лннгно ее разрыва 3 2. Частные производные первого порядка П ро из в одн в и функции г = Ег1:,с, у) цо х, найденная в предположении, что у остпетсп постоянным, незьгпвстся частной нронзчодной .-; дя по х и обозначается —. или Г'6т, у). Аналогично определяется и ободх дс,г значается частноя. производная г по у:, = Р'„'~х, у). ду Найти частные производные функций: 1858.
я = хз + 3хзу — дз. 1859. " = 1п !хз + уа), 1860. - = -'. у 1861. я = агсгйг — '. у гг ! 1ч! 1863. и = 1ц ~ — — ) . з. зг)' 1862. х = ху :г, *— у 1854. Указать области определения функций: уг 1); = х+ у:, 2) х =; 3) - = х+у с аз 6з' тд ге 4) — = 1 — ' — у; 51 = х+ ггтз — уз; с аз 6з б) чгх = гх+ 'у и построить геометрические изобралсенин этих функций. 1855.
Докнзцттн чгоесли Е'"1х, у) =, то Е'!а, 6)+Е'!6, и) =1. :г — у' 4 1856. Показать, чта уравнение = = — — — определяет 4 — хз — уз как бесчисленное множества одиозна нных функццй х и у, из которых две непрерывны. Указать область определения всех этих функций и построить геометрическое изображение функции, положительной в области х + у ( 1 и отрицательной вне ее. 1857. Пог'троить геометрическое изобрвжение однозначной функции "= 61х, у), опрадедпемой уравнением х~+у-+ я~ = и, а- положительной в ааласти х + у- ( — и отрицательной вне ее.
Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы 1864. с = у х 1865. и = — + — — —. 1866. и = хе х у 2х — / 1867. и = 1868. а = агсвн) (1чУх). х+ 21 1869. 1[овазать, что если - = ~п (~'х +, )у) . то д= д= 1 х— +у, дх дд 2 у 1870. Доказать, что если = т/хв1п — ', то 1871. Доказать, что если и = сед, то ди ди 2т:, +1 —,=О.
дх д1 1872. Доказать, что если и = х", то :гди 1 ди — — + —,=2и. удх 1вхду 1 ,.з „з: 4) '=е )в. Найти частные производные функций: у 1874. з = сов (ах — 5у). 1875. в = атсв1п — '. 1876. в — . 1877. и =!и в1п (л) — 21). Зу — 2х 1878. и = ыпз (л) + у) — в)п х — юпз у. 1873. Ниже, в задаче 1898, будет доказана следующая теорема Нй))ера: Если з = Р'(х., у) однородная функция степени и, то дл дх х, +у, =ил. дх ду Проверить эт1 теорему Эйлера для функций: и ' — + д' — 2~', 2) * —,/*' +*у +ф', !89 З 3. Полный диффсрснциал первого порядка 1879.Ли„„,„,„:„, =,/, с г «Р, — + —, + —, =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
