Минорский - Высшая математика (1108568), страница 25
Текст из файла (страница 25)
8. Неопределеииьш' интеграл 150 Найти интегралы: 3 6. Интегрирование рациональных алгебраических функций 1'. Если подьштегрвльиая дробь яеороеисьиоть то нужно игл!почить из иее целое выражение. 2'. Зяамсивтсль правильной дроби разлагается ив множители вида (х — о)~ и !х~ + рх + д)'с, а правильная дробь разлагается яе сумму злемеятариых дробей стедуялцим обрезом: 12 — и)" (х2+ рт+ о)сз х — о (х — о)2 '' ' (х — о)" 114!:с+ 0! Л422+ 02 Зудх+ с'д + + +»+ з+» х2+рх+с! (22 ррх+4)2 ''' схз+1х.! Ч)з где РСх) полипом стспеяи ниже степени знаменателя. Найти интегралы: 1409. (1+ 3 соя 2х) с)х.
1411. зсп~ х созз х ссх. 1413. яп х соьз х асх. 1415., сс т . (зсп х — соь.г) зсп 2Т, Гяп х+1 1417. / с)х. сове х ,3 1419. 1) / — --,- с)х; 2) х — 1 1420. с2х, (х — 2)(х — 3) з Зхз+ 2х — 3 х+2 1410. йсс~ сг с)х. 1412. созе х ссх. 1414. (1 + 2 зсп:г) Зх. 1416. яп Зт, яп х Зх. ш8. | 1 (.с б х~ 1 хз — — асх; 3) ( .— — асх. хз+ аз / хЗ ав 2:г+7 1421.
/ 2 сс'х. !',+:— ! 3х — 2сс 3 б. Интегрирование рационахьпых алгебраичес1 их функции 151 У к а з а и и е. В звдаче 1428 выделить в знаменателе полный квадрат и затем половсить х+ 1 = й У к в з а н н е. Положить х = б!8 Г и затем (ко втором примере) использовать формулу 2) звдачи 1407. Найти интегралы, не приьзепяя общего метода неопределенных козффидиентон: 1439. )х+ и) (х+ 5) 1 438. х(х+ а) Уквзвнис к зедвчам ~438 1442.
В числителе попьснтстральной дроби написать разность множителей знаменателя, разделив интеграл па соответствующее число. 1440. 1442. 2хг — 5х+1 1426. Пх. з 2гф 1428. сух. х х +2х+10 1430. г)х 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ х 2хг+х+ 4 хе+ хг + 4х + 4 1432.
з Пх 1434. 1) 1435. 1) / (хг+2с+5)г' 4х гйс 1436. |1+ х) |1+ хг)г ' 5х — 1 1427. Пт,. хз — зх — 2 цт, — 2,4 1429. дх, хг — 0,2х+ 0,17 7 ~ ~ ~ ~ ~ | | 7х — 15 1431., ггх. хз — 2хг+ бх Г Зх~+ 2:с+ 1 1433. | 8 ', г)х. (х+ 1)г(лг+ 1) пх (хг ф бг)з г )х (хг — бх + 10)з т+! 1437. г7х. хе+ 4хг+ 4 1441.
(хг — 3) (хг + 2) 1443. хе+ 4„' Гл. 8. Неопределенньш' интеграл Найти интегралы: В задачах 1454 1457 ньгполннть интегрирование, не прнбсган к методу неопределенных коэффициентов: гух 1454. хг+ 5х 1456. н о',у, 1455. ,ь4+ 3тг' 1457. 4 г 3 7. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций 1'. Интеграл | Л (ььь, ",ььах+ а) дх, где Л(х, у) рациональная функция, находитгн цодстанонкой ах+ 5 = Гь, а интеграл более общего ьэида | Л 1х"', эьььэхчь+ Ь) х" лх нодстаноакой а.г" + б = гьь. Мх+ эдг ь'.
ьь г1х находится подстановкой Ь вЂ”;- ь * э, 3', Тригонометрические подстановки. Е рациональному тригонометрическому аидэ прннопятся интсграььы ~ Л (х, э 'аг — хг) г1х Л ) .г гьаг + .г) подстаььопкой х = а аю попсэанонкой,ь = а 15 5 ~ ~| ~ ~ ~ ~ ~ ~ ь 2х — 1 1444. аьх. (х — 1Кх — 2) 5т — 14 1446. дх .з г 4,+1 ох — ьэ 1448.
— — — — — — -- г1х. „У тз — 4хг -1- йх 1450. з г)х. г хз+ агх 1452. з / 2хг+ х — 3 11х+ 16 1447. 2 ьэх. ( х+2 1449. — — — — — — — - Ых. .з 2„г+ 2х оьх 1451. ха+ хг+ 2х 1 2' х гэ'л 1453. ьхг+ 2т+ 2)г 'З" 7. 11ггтегрггроггагггге иррагбчоаальных влгг ебрагг*гесггггх фупцгзии 1бб р аох" + агх ' + " + а„, Р а «;, * 4 ~х=(х1,х-- ... х1, И А /" „х-+...+,.. И ' "' .| 11' , Гр — 'ЫГЬ*Г;.
9афг * Х * *«., фф цирования равенства и освооождения его от знаменателя сравнением коэффициентов слева и справа при одинаковых степенях х. б'. 1'1 н т е г р а л о т д и ф ф е р е н ц ги а л ь ц о г о б и н о и а х"'(а+ бх")" Ае берется в нопечном виде в трех случаях: Ц когда т+1 р целое число, разложением: 2) когда целое число,подстап т+1 ловкой а + бх" = Р; 3) когда + р целое число, подстановкой п ах " + б = Р, где а знаменатель дроби р. Используя подстановки и. 1'., найти интегралы; 1458., дх.
1459. х+1 ;У3х+1 ',/,/2х+ 1+ 1' ггх 1460. 1461. х,го — х 11х. г х+ з,1 / хз ггх 1462, . 1463. ~е ~4 l згхт+ 2 Используя подстановку п. 2', найти интегралы: гг'х й. 1464. 1465. х~й': Г .г .. 'Ы+'2' г.1 ~~ х ггх огх 1466.. 1467. г ( гц тгг2 гг 1!айти интегралы, используя подстановки п. 3'г ггг8. / à — .
г .. ггг9. гг г*о' х г1т гггО. 1 .'~ 4 ..'г.*. 1ггг. ~'+ ч' "г 1472. 3+ 2х — хт г1х. 1473. (б — * ~ Гл. 8. ЕЕеопределенный интеграл 1514. 1515. г!х. /'.' ' . /' 1+ сов х 2 вш х+ вш2х ,/ ын х 1516. / г!х. Ее +1 / е" — 1 1517. / —, гух.
Е 1+ гдх вш 2х 9 9. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки Интегралы от квадратов и других четных степеней сЬ х и вЬ х находятся применением формул: с!г 2х+ 1 т сЬ 2г — 1 вЬ 2г сЬг „ ! 2 2 ' 2 ' 2 Интегралы от нечетных степеней вЬ х и с!г х находятся тем гке способом, что н интегралы от нечегмых степеней гйп х и сов.с. Гипероолические подстановки иногда применюотся при пахогадении интегралов вида 1! ! х, тЕхт — ат) |Ех Е! ! х, тухл+ ат) г!х по,гстановкой х, = о сЬ И подстановкой х = а вЬ й гхл ол 11ри атом: если х = а сЬ/., то ! = !и о ~~2 + от го ! = !и если х = п вЬ! Найти интегралы: 1518.1) / ь!РЗхгух; 2) / (1+вЬ2х!тг1х, 1519. / сЬ х гЕх.
152О. / гЬ . Ех. 1522 Е оба+1 / с!гхг!х=в!гх+С лх =гЬ +С. '' / сЬхх 2. / вЬ;с гЕх = с!г.г + С'. Г Ех !. /, =- — сгЬх+~. / в1,тх— Ь ! О. Смешанные примеры иа, интегрирование !57 1523. / т хг+ аг )Гх. 1524. / .гГхг — г)г4х. гГх 1525. 1526. пх )" ))) !Ьйти интегралы: 3 10. Смешанные примеры на интегрирование !!айти интегралы: иге!8 х )Гг 1536. 1+ хг 1538. )Гх ! + в!п х )Гх 1540. в)пг хГ)аг + совг хг)5г л)г 1542. егв + с" 1543. / !/ ! + х сов х )!х в)п х совг,г г!г) я)г х КР+ 2,Гх ' гГх х4+хг 1527.
/ вЬв Зх)Гх. 1529. / вЬ~ х с1) х )Гх 1531. / у'сЬ х + 1 в)х 1533. / 1г35 ' тГТ+ х )1.е 1537. хз+д г' 1539. 1541. г/ х совг х г!х. 1545. г/ х!8 х )!х. ып;г )!г) 1547. Ьг + ) овг.г ' Г ах — 8 1549. / - —.— — ах / (ах+ 5)4 1528. / вЬг х сЬг х гГх. 1530. / с)Ьгх )Гх. 1532. 1 +2ььх г сЬ х Г,/хг+ 3 1544. 1546. / 1548.
/ 1550 г 10. Смешанные примеры иа, ннтенриронание (~х ЦЗ 1583. / г!и 1585. / 1584. / гд 1585 .,/ (.+1) р соаах+ 1 1589 а~и х 1590. / х — а Р 4х+1 1587. их. 1588. / а г их. ) ~2их+ х*г / Вха и х,г х Глава 9 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ П 1. Вычисление пир еделеннпга интеграла Пусть нз отрезке [а, 6] определена функция Т[т). Разобг,ем отрезок [а,, 6] нз и частей точками а = хо < хг < хэ «...
и„= 6. Из каждого интервала [х, и х„) возьмем произвольггувэ точку 6, и составим сумму о ~ Яг)Ьхсы где Ах; —.. х, — х, г. Сумма вида ~ /Я;)Ьх„называется ~=1 г=г ннтс:ральной суммой, а се предел при гпахглх; — > О. сели он супщсткуст и конечен, называется опредсленньи~ ннлщгралом от фуннпии 1 [х) в пределах от и до 6 и обозначается о У(з) д: = 11г ~~ Ю )Лх . г=г Функция З [х) в этом случае называется онтеерпруетной па отрезке [сц 6]. Ллп тете.рарус носта достаточно> стобы на отрезке [а, 6] функция была непрерывна, пли же имела конечное число коке шых разрывов. Пусть З [х) непрерывна на [а, 6]. Тогда па этом отрезке существует неопределенный интеграл у(х) дх = Р[х) + г' [и) и имеет место формула с 1 [х) дх = 1г[6) — 1'(а) = / 1 [ге) дх[ а [П) т.
е. определенный онтеерал от непрерывной функции раасн разности значений псреообразной функции [или неопределенного интеграла) при верхнем гл нижнем пределах. Формула (3) называется формулой Нью- т о н а — П с й б н и ц а. З 1. Вычи«м!ение определенного ин !егря«я 161 1591. Составлением интегральных сумм и переходом к пределу найти интегралы: а Я а к 1) х Их: 2) хд !1х; 3) ех «1х„1) йп х дх. о о о о У ко з а ни е. При решении второго и четвертого примерок воспо:и,— зовагься результатами задач ! 034 и 647. 1592.
Вычислить «пининоюэ п «всрхшоюэ интегральные суммы э Гбх вз и .6э для интеграла /, разбпн отрезок 11, 2) нз пять равных х ! частей. Сравнить с точным значением интеграла. 5 5 Указание. ээ = 2,' !п«Лх, оэ = А, ЛХ«Ьх, г.п* т! наименьшее, ~=! ~=! а М, наибольшее значение подынтсгральной функции в «-и частичном промежутке. Вы гпслитьл Указание. В задаче !601 нужно применить подстановку х = т; при этом пределы интеграле изменятся, что записывается в виде табх 4)9 лицы .
Аналогично в задаче 1602 при интегрировании подстанов- 1/2!6 кой !пх = ! ну«кно соответственно изменить пределы. 1593. х' «тх. ! 1595. ~'х !гх. ! а,~З 1597 2 г ! 1599. о 1601. 1594. х + — дх. ! ! 1596. о 1598. г "7~ !ух. о т!'4 1600. ып 1х дх. а тгз ! 1+1~эх 1602. / э гтх.
/ (1+1ь .)2 Гл. е. Определено!.гй илтегрел 1603.. 1604 ,/ 1+ з2'2х + 1 о ! 1605. о "(г 1607. язп х сояг и Их. 1608 о 1609. !п !':е+ 1) сХх. 1610 о еяз й: 1611.. 1612 !' -2 * ')' 1613. Ия формулы, задачи 1407 получить, что Г222 | и †( я!и" х дх = / яп!" т, дх, л и вычислить: 2222! г,, О 2222 г 1./2 2) яш' х егх; 3~ я!зз~ х дх. Вычислить: 1615- 'г е/я с ~ ~~ л 66Х 1617.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
