Минорский - Высшая математика (1108568), страница 17
Текст из файла (страница 17)
681. Найти корни хг и хт функции у = 4х — х~ и построить ее график на отрезке (хг — 1, ха+ 1). 682. Построить графики функций: 1) у = ~х; 2) у = -~х — 2~; 3) у = ~х~ — х. И задачах 683 686 найти области определения вещественных значений функцийг и настроить их графики 683. 1) у = чих+ 2; 2) у = Я вЂ” хэ; 3) у = ~У4х — хт. х — 1 684. 1) у = т/ — х + чЛ+ х; 2) у = ахсвш 2 685. 1) у =; 2) у = ~х~4 — т,. х 2~чу' 686. 1) у = — у'2я1п х; 2) у = — ' 687.1) У(х) =,' — х+1; .
~(6), Я), й-1), У(2)., 2х — 3 / 3'! ((а + 1); 2) р(х) =; вычислить че(0), гр( — 1), се ( — ), х+ ' " ' : Ы' х ' ~р(х)' 688. Г(х) = хх; вычислитги Г(5) — Г(а) и, + 6 о — Ь. У(б) — У( ) 689. 1(х) = хэ, ~р(х) = хз; вычислить (5) — р(а) 690. Г(х, у) = хз — 3гу — ут; вычислить Г(4, 3) и Г(3, 4).
691. 6)ункция 1'(х) называется чяпнегц если д'( — х) = д (х); нечетной, ес;щ д ( — х) = — д (х). Указать, какие из следующих функций четные и какие нечетные; 1) у(х) =; 2) р(х) =: 3) Г(;) =, + 4) Ф(х) = а — —; 5) Ф(т) = т Япх т. — х'; 6) Уг(х) = т; -(- хт. Гл. 5. Введенис в анализ 692. Середина любой хорды графика некоторой функции ?'(х) лежит выше графика этой функции.
Записать это свойство функции неравенстном. Проверить, что этим свойгтвом обладает функция ? (х) = х~. 693. Какая из злементарнык функций обладает свойствами /(Ц = !1, ?'(о) = 1, ?'(хд) = )'(х) + Дд) ". 694. Какая ггз элементарных функций обладает свойствами 7(0) = 1, Я) = а, ? (х+ д) = 1(х)Дд)? 695. Построить области изменения переменной х, удогьлетворяюшей неравенствам: Ц х~<3. 2)хх<!.
3) х 2~<2.,Ц(х Цг<4 1 696. Определить область изменения переменной х = — 2+ —, где ! принимает гпобое значение < 1. 697. Построить графики функций: хз Ц у = 4 — — на отрезке ~х~ < 2; 2 .э 2) д = 3, 5+Зх — между точками пересечения с осьн> абсцисс. 2 698. Построить графики функций: Ц д = х — 4+ ~х — 2 на отрезке [ — 2, 5]; 2) д = 1 — соек на отрезке )х < 2„. 699. Построить графики функций: 4 Цу= — —; 2)д=2". 700. Найтц области определения вещественных значений функций: Ц д= ~4 — ', 2) д — ъ'х+1 — ъ?3— 3) д — 1 — Ясоьйх: 4) д = 4 1+ т?хэ — 4 и построить их графики.
2х + 1 701. 1) Пчя функции у(х) = вычислить Д(0), Д( — 2), ага+ 1 у( — 1,?2), У(х — Ц, Д(1?2); .р(х + 5) — !л(х — 5) 2) для функции,е(х) = тз вы лислить Ь, 3) для функции у(х) = 4х — х вычислить ?(а+ Ц вЂ” Д(а — Ц. '3 2. 1эредслы пос.тсдоватс.тьности и функции 3 2.
Пределы последовательности и функции. Бесконечно малые и бесконечно большие 1'. Числовая после.<он атель пасть. !!усть каждому натуральному числу и = 1, 2, 3,... по некоторому закону поставлено в соответствие число х„. Тогда говорят, что этим опр<делена иоследосашсльносшь чисел хг, хж хз,... и<ш, короче, последовательность (х„) = = 1<с!, хж хэ, ). Отдельные числа пос.юдовательностп (х„у называются ее .э.<еленл<ала. Говорят с<не, что пер< меппая х„пробегает значение поглелова<ммьности (х„). 2'. Предел последовательности (предел переменной!). Число а называетгя пределол иогледоса<иеа<ьэ<остн (х„у, илн пределом пер<наш<он:га (ооозпачаетгя х„— ! й), сс<ш !<ля всякого с ) О найдется зависящее от а число ио такое, что (ха — й! < с длн всех натуральных и > ио.
11нтсрвал (а — с, а + с) называется с-окрешинос<йью числа й (или точки а). Таким образом, х„— э а обозначает, что для всякого =- > 0 найдется такое число ио, что для всех и > по числа хо будут находиться в "-окрестности числа а. 3'. 1! редел фу пкцип. !!усть функция У'(х) определена в некоторой с-опре<ггности точки й, за исключ<пнем бьгж может самой точки а. Говорит, что число 6 является иры1еиол функ<<па Д(х) ври х э а (пишут Г(х) — э 6 при х — э а илн 1пп <'(х) = 6), если для любого > 0 су<цсствуст х — <а завися<пес от с число 6 > 0 такое, что У(х) — 6~ < е при 0 < х — а~ < 6.
Аналогично, 1<ш Д(х) = 6, если лля всякого в > 0 существует оазисах-эа щос от а число А! такое, что ~Д(х) — 6 < в при ~х > Л. Употребляется также запись 1пп Г(х) =:ю, которая обозначает, что для всякого числа х — эа А > 0 существует зависящее от .4 число 6 такое, что /'(х)~ > А при О < )х — <!) < 6. Есои х — э й и <Цэи этом х < й; го ниш1т х э а 0; а<<а<<огичпо, если х — ! а и при этом х > а, то пишут х — э а + О.
Числа Д(а — 0) = !пп 1(а!) и 1(а+ О) = 1пп 1(х) назывжогся соответственно ирех — <а — О х-<а+О делал схсоа функции Г(х) в точке а и проделал спроса функции У(х) в точке а. Для существования предела функции У(х) при х — + а необходимо и достаточно, чтобы было у(а — 0) = !'(а+ 0). Въгесто х — э 0 — 0 и х — ! 0+ 0 пишут т э — 0 и х — ! +О соответственно. 4'. Бесконечно малые. Если!што(х) = О, т. с. сели )о(х) < с х — эа при 0 < х — а < 6( ), то функция о(х) называется бесконечно ла.,юй прв х — э а.
Аналоги шо опредслястсп бесконечно малая а(х) при х — э ош ба. Бесконечно большие. Гели длн любого сколь уго,шо большого числа <т<' существует такое б(А'), что при О < )х — а! < 6(А<) выполнено равенство /(<г)! ) <г<, то функпия Дх) называется б<.сконечно большой при х — ! а. Аналогично определяется бесконечно большая <'(х) при х Ф<ю. Гл. 5. Введение в анализ 702.
Полагая »» = О, 1, 2, 3, ..., написать последовательности значений переменных: г»= —, и= Начиная с какого и модуль каждой из переменной сделаегся и будет оставаться меньше 0,001, меньше данного положительного 7 703. Написать последовательность значений переменной х = ( — 1)" = 1+, . Начиная с какого и модуль разности х — 1 сделается и 2и+ 1 будет оставаться мепыпе 0,01, меныпе данного положительного зу 704.
Прибавлня к 3 (или вычитан из 3) сначала !. затем 0,1, потом 0,01 и т. д., записать «десятичными» последовательностями приближения переменной к пределу: хо — «3+ О, хо — «3 — О. 705. Записать «десятичпыми» последовательностями приближенин переменных к пределам: х„— «5+ О, х„— «5 — О, х, — « — « — 2+ О, х„— « — 2 — О, х„— «1+ О, х„— «1 — О, х„— «1,2+ О, х †« 1. 2 — О. 706.
Доказать, что 1пп хх = 4. Пояснить таблицами значений х-«х хил~. 707. Доказать, что 1пп (2х — 1) = 5. По данному числу л ) 0 ч — «3 найти наибольшее число д > 0 такое, чтобы при л«обом х из б-окрестности числа 3 значение функции у = 2х — ! оказалось в к-окрестности числа 5. Пояснить графически. 708. Доказать, что 1пп (3 — 2х — л:~) = 4.
Из какой наибольч — « — 1 шей б-окрестности числа — 1 нужно взять значение х, чтобы значение функции у = 3 — 2х — х отличалось от ее предела меньше ,г чем на л = О. 00017 709. Доказать, что сйп г«есть бесконе п«о малая при 㻠— «О. Указание. Сделать чертик и показать, что аппо~ < п~. 710. Доказать, что 11п«сйп т, = сйп а,. Указание. 11оложив х = а+ а, составить разность сйп х — сбп а и затем положить о — «О. Зх+4 711.
Доказать, что 11п« = 3. Пояснить таблицами знаЗх+ 4 чений х и при х = 1, 10, 100. 1000,... 4х — 3 712. Доказать, что 1пп = 2. При каких т: значения х — «аа 2х + ! функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,0017 'З 2. Пределы последовательности и функции ! — 2хх 713. Доказвтгн что Пп1 = — 0,5. При каких х значения — г- 2+ 4хх функции будут от.шчвться ат свогша предела меньше чем нв 0,013 ! 714. Доказать, что 1пп 0,333...3 = †, составив разности— и-эос ' — ~ — ' 3' 3 и знаков ! 1 — о,з; — — о,зз; — — о.ззз; ...; — — о, ззз...з.
'3 ' '3 ' '3 и знаков 715. Написать последовательности: и, и . ( 1)ии 1)хи=; 2)хи= —; 3)хи= и+! и+ 1 и+1 8 сов и (пгг2) „2и + ( — 1)" '1) хи оз хи п.+4 и 6) т = 2 иисовил. Существует ли Пш хи в каждом примере и чему он равен? и-Г+со 3 3 716. Найти 1шг . — и 1гш и панснить таблицами. к-гх+о х — 2 к-гх-о х — 2 717. Найти )пп 2~г и 1гпг 2~г и пояснить таблицами. и-+о-~-а к-гг~-а 718. Выяснить точный смысл чусловных» записей: 2 2 1) — =0; 2) — =шос; 3) 3 =ос; 4) 3 =0: со ' 0 5) !80 = — оо; 6) 1890' — ~ос. 719. Показать, чта 1гпг сбпх не сушаствует, составив последовательности значений в!гг х: гг и 1) прн х = ггк; 2) при х = — + 2гги; 3) при х = — —, + 2г;и 2 ' 2 (и = О.
!. 2. З,, ...) . 1 729. Паказаттн что 1шг вш — не сушествуег. к — го х 1 721. Показать, что )пп д; сбп — = 0 при снобам способе приблик;га х вшния х к О. 722. В круг радиуса Л вписан правильный лгногаугольник с числом сторон и и стороной ци. Описав около круга квадрат, показать, что а„( с, как только и ) 8Л?ге, т. е. гл„— + О, когда и — ~ "о. 723. Пусть ги анафема правильного, вписанного в круг и- угольника. Показатгн что Пп1 ги сс Л, где Л радиус круга. и — Зсо Гл.
5. Введение в анализ 724. Вершина В треу«ольника ЛВС перемешается по прямой ВЕ ~~ ЛС. неограниченно удаляясь вправо. Бак будут при этом изменяться стороны треугольника, его площадь, внутренние углы и внеп«пий игал ЙСО? 725. Написать «десятнчн«те» последовательности приблил епий переменных к пределам: х„— «4+ О: хн — «4 — 0; х„— « — 1,5+ О; х — « — 1. 5 — О. 726.
Доказаттн что: 1) !пп хз = 27: 2) 11ш (х~+ 2:г) = 3. к — «3 к — «1 5х+ 2 727. Доказать, что 1»ш = 2,5« показав, что разность к — «оо 2:г 511+ 2 — 2,5 ест« бесконечно малая при х бесконечно большом. 2х Пояснить таблицей, полагая х = 1, 10, 100, 1000« ... 728..1!оказатть что 1пв сов х = соьа (сх1. задачу 709).
729. Написать последовательности значений переменных: !) х„= 1+ — —,; 2) хн = ( — 1)" +, „; ,), ~ 1)-?2„+1).,» х 2 '' ( ?'2) л+! 1«акая иэ последовательностей имеет предел при и — «+ос? 739. Найти: 1) 1пп 2'?! '1; 2) 1пп 2'11 к-«1-а к-«1Ча 2 3) 1пп 3'и х ", 4) Пп« 3»к ~*: 5) !1ш — «?1 — а ' — «»?1.«о ' — « /1.«о 1 + 2»к 2 , а 6) 1пп,; 7) 1пп -+о/х-а1+2»а ' -«ч !+по 2 2 731. Наказать, что !пв 0«666...6 = —, составив разности —— н«оо ~ ' 3 3 н знаков 2 2 — 0,6; — — 0,66; ...; — — 0.666...6. 3 ' '3 н знаков 732. Пусть ов внутренний угол правильного и-угольнпка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
