А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Но в абстрактной модели необходимо учитывать лишь тот масштаб времени и амплитуды смещений, который может быть зарегистрирован в данном конкретном эксперименте. Например, не имеет смысла принимать во внимание очень быстрые и,малые смешения атомов и молекул в изучении движения физического маятника и, наоборот, возможное изменение положения тела в описании колебаний его кристаллической решетки. Однако даже после жесткого отбора значимых типов движений и связей лишь очень небольшое число физических систем может быть описано с помоппю одной независимой переменной, т. е. как системы с одной степенью свободы. Значительная часть физических пропессов описывается только с учетом бесконечного числа степеней свободы (распределенные системы) или многих степеней свободы (многоатомные молекулы, кристаллические решетки).
Наблюдая за движением системы со многими степенями свободы, можно заметить, что ее различные фрагменты (в нашем случае — маятники) периодически изменяют амплитуду колебаний, т. е, колебания отдельных элементов нестационарны. Вместе с изменением амплитуды колебаний происходит изменение среднего (за период колебаний) запаса кинетической энергии 'данного элемента, что свидетельствует о существовании в системе периодического перераспределения энергии.
Лишь в двух специальных случаях в системе наблюдаются только стационарные колебания (элементы системы отклоняются от положения равновесия с постоянной амплитудой): во-первых, при фиксировании положения всех элементов— маятников, атомов и др.— кроме одного. В этом случае система искусственно переводится в режим колебаний с одной степенью свободы. Частота такого типа колебаний называется нарциальной частотой, а «остаток» колебательной системы — парциальной колебательной системой.
Как указано в 11, 2], число независимых парциальных систем, которые можно создать из исходной, совпадает с числом' степеней свободы; во-вторых, удачным подбором начальных отклонений разных элементов иногда удается возбудить колебания с постоянной во времени амплитудой движения всех элементов системы. Такие колебания называются собственными или нормальными для данной колебательной системы. Их число также совпадает с числом степеней свободы. Рассмотрим движение двух математических маятников, связанных пружиной и совершающих колебания в плоскости рнсун- 248 ка (рис. 12.17).
Будем считать углы отклонения маятников малыми (з1пф-ф). В этом приближении уравнения движения системы имеют внд ЖАфт = — л2212йЧЪ+ йои (фи — ф2)» 2" 2л2122ф, = — т,12ури+ лаи (ф2 — фи), здесь л2».. л22 — массы грузов, й — коэффициент упругости. Рие. 12.17 Частоты парциальных колебаний получим из уравнений движения, приравнивая в первом из них фи=0, а во втором †О: 1 + ' 2 + 2 я йии я 2»22 1 1 2 ' 2» 2 (2) Решение системы уравнений движения, соответствующее собст- венным (нормальным) колебаниям системы, ищем в виде ф2=Асоз(Ы+2р)» фи=Веса(е1+ф)» где частота в и сдвиг, фаз ф одинаковы для обоих маятников, раз- личны лишь амплитуды смещений (знак амплитуды произволен).
После математических преобразований, изложенных в [3], полу- чим две возможные частоты колебаний: м2 = — тз+т2— ми = 2»2~+ 2»22+ 249 Соотношение амплитуд смещений маятников на частотах нормаль- ных колебаний составляет 2 2 2 В ! э»! — «!!» В ~ ~! "!» — т!1!=х,; — 1 = т!1! =х,. (4) А1э, Гга» ' А 1э, ЬР Измерение частот парциальных колебаний в изучаемой системе производится при поочередном закреплении одного из маятников в положении равновесия. Частоты нормальных (собствеиных) колебаний не удается измерить настолько же просто, так как при нарушении равновесия системы возникает суперпозиция собственных колебаний вида !р, = А, соз (а!1+ ф!) + А, соз (э!»1+ ф,), <р« = А!х! соз (!з!1+ ф!) + А хз соз (э!»1+ ч!»), где постоянные А!, Ах ф„фз определяются начальными условия- ми.
Колебание каждого из маятников есть сумма двух гармони- ческих колебаний с собственнными (нормальными) частотамн. Если эти (нормальные) частоты близки по величине, суммарные колебания имеют характер биений. Лишь в одном частном случае совпадающих параметров парциальных колебательных систем (т,=тз — — т; 1!=1»=1) можно напрямую измерить частоты нор- мальных колебаний, исходя из наблюдения свободных колебаний нашей системы. Действительно, в этом случае Ъ4=У = — + —; О!з= —, ОР= — +— — 2 — « ° «з ! 2 ! 1а' 1 ! ' 2 ! У! т. е.
на частоте а! маятники колеблются сннфазно, а на частоте э!з — в противофазе. Возбуждение того или другого типа колеба. ний не представляет труда. Несмотря иа относительно сложное выделение нормальных колебаний при свободном движении системы со многими степенями свободы, именно этн формы движения определяют резонансные характеристики системы при действии на нее периодической вынуждающей силы. Частоты поглощения и излучения многоатомных молекул в газовой и жидкой фазе, кристаллах совпадают с соответствующими нормальными частотами системы. Резонансные характеристики механических конструкций также определяются собственными (нормальными) частотами.
В пренебрежении затуханием колебаний амплитуда движения системы со многими степенями свободы под действием вынуждающей силы с частотой, равной одной из нормальных частот, стремится к бесконечности, что приводит к разрушению системы. Вынуждающая сила в пашей системе действует на один из маятников, обозначаемый далее индексом «1». Пусть частота вынуждающей силы равна р, а амплитудное значение момента отно- сительно точки крепления первого маятника М,. Уравнение движения под действием вынуждающей силы тд(1 1р, = — тд(дйчрд+ Йдз (рд — др,)+ М, з!п(р(), (5) т,12 рд = — тд(дадрд — йгдд (дрд — дрд). Будем предполагать, что собственные колебания в системе затухли (хотя явного учета затухания у нас в системе уравнений (5) нет!) и установились вынужденные колебания с частотой р.
Решение ищем в виде 1рд = Сд з(п (рг), 1рд = Сд 21п (р(). Используя соотношение (2), преобразуем систему (5) (тз — р') С,— — С2= —, (т — рд) С,— — 'Сд= 0 З 2 М, , Ь' . 1 2 2 2 тд11 тд11 Гт*(2, и определим амплитуды С1 и С2 м, (2~~ — Я С 2 12 г 2'ад ~ ('~~ — р ) (222 — р )— тд(21тд(2 Мд зддд 1 С вЂ” — ' ,„12 Р г Зд г тд1(тв(2 ~ Зависимость амплитуд смещения маятников от частоты вынуждающей силы представлена на рис. 12.18. Резонансное возрастание амплитуды наблюдается вблизи обеих нормальных частот. Интересен факт подавления колебаний первого маятника (к которому приложена вынуждающая сила) на парциальной частоте колебаний второго маятника. Такое подавление вызвано компенсацией момента вынуждающей силы моментом силы, действующей со стороны второго маятника.
Предлагается самостоятельно проверить выполнение условия компенсации. Отмеченный эффект широко применяется на практике: механические успокоители колебаний валов конструируются на основе дополнительной колебательной системы с требуемой парциальной частотой. Описание экспериментальной установки. Прибор для исследования колебаний связанных систем состоит из двух маятников, устройства возбуждения колебаний н системы регистрации периода колебаний.
Максимальная длина маятника — 0,5 м, масса перемещаемых грузов — 0,1 кг. Амплитуда колебаний регистрируется по отградуированной шкале, расположенной между концами —: указателями маятников. Частота вынуждающей силы может изменяться в диапазоне от 0,25 и до 1,5 Гц; амплитуда момента 2б1 ' силы варьируется перемещением соединительной пружины вдоль маятника.
На липевой стороне панели блока уяравлення я измерений находятся следующие тумблеры: Рис. 12.18 СЕТЬ вЂ” включение и выключение сети, ВКЛЮЧЕНИЕ ДВИГАТЕЛЯ вЂ” обеспечивает подведение питаю- щего напряження к схеме управления скоростью вращения двигателя, СБРОС вЂ” сброс показаний измерителя времени и начало нового цикла отсчетов, СТОП вЂ” окончание измерений, ЧАСТОТА КОЛЕБАНИИ вЂ” потенциометр настройки скорости вращения двигателя. Подготовка к измерениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
