А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Прибор готов к использованию непо- средственно после включения сетевого напряжения. Для приготовления прибора необходимо — подключить прибор к питающей сети, — проверить выравнивание прибора, — нажать клавишу СЕТЬ, проверяя, все ли индикаторы измери- теля высвечивают цифру «О», а также светится ли лампочка фо- тозлектрнческого датчика, — проверить, находятся ли стержни маятников на одной верти- кальной плоскости, — включить питание двигателя, — плавно вращая ручку лотенциометра, проверить, работает ли двигатель и колеблются ли маятники. Упражнение 1. Определение частот парцнальных и нор- мальных колебаний связанной системы из двух одинаковых маят- ников.
Согласно изложенной выше теоретической модели рассмат- риваемая колебательная система имеет два типа нормальных колебаний: сннфазное всф = 'У ф1, противофазное епе = =~/а/1+2йа'/т/«и два парциальных колебания, совпадающих по частоте: ч = )/д/1+ йп«/тР.
При изменении точки крепления маятников пружиной следует ожидать монотонного изменения частоты нормальных колебаний епф и частоты парциальных колебаний ч при сохранении посто- янной частоты нормальных колебаний всф. Измерение частот есф. апф и т советуем выполнить следую- щим образом: — установить обоймы, крепящие пружины, в верхней части стер- жней маятников, а грузы — на нижней части для обоих маятни- ков на одинаковом расстоянии; — отсоединить пружины от обоймы, соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания; — нажать кнопку СЕТЬ; — отклонить маятники в одинаковую (асф) или противополож- ные (впф) стороны на угол около 1О' и отпустить их; — при измерении частоты парциальных колебаний зафиксировать ближайший к наблюдателю маятник, овободный маятник вывести из положения равновесия на тот же угол и отпустить; — нажать кнопку СБРОС; — после подсчета прибором 10 периодов колебаний маятника нажать кнопку СТОП; считать с показателей время я количество периодов колебаний, вычислить частоту по формуле = 2"" где а †количест периодов, 1 †продолжительнос измерений.
Перемещая пружину, связывающую маятники, вдоль стержней маятников, измерить зависимость частот нормальных и парциальных колебаний от координаты точки крепления пружины. По окончании измерений построить в одной системе координат графики зависимостей аР(а), тз(а). Вычислить на основе экспериментальных зависимостей коэффициент жесткости пружины й. Упражнение 2. Изучение резонанса смещений в системе с двумя степенями свободы. Используя результаты первого упражнения, установить связывающую маятники пружину в положение, обеспечивающее максимальное различие всф и впф. Измерения советуем выполнять в следующем порядке: — соединить пружину с обоймой на стержне, возбуждающем колебания; — включить питание двигателя; — изменяя обороты двигателя и выжидая установления колебаний, провести измерение амплитуды колебаний второго маятника по шкале ~на передней панели установки.
Частоту колебаний вычислить по 10 периодам, отсчитанным измерителем времени; — зафиксировать прекращение движения первого маятника при р м т. Результаты измерений представить в виде графической зависимости амплитуды колебаний второго маятника от частоты вынуждающей силы. Литература: 1'11 — $55; 141 — 5 132 — 136; Мигулин В. В., Медведев В. И., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. М., 1978. Гл. 6. ГЛАВА 18 УПРУГИЕ ВОЛНЫ Если какая-либо колебательная система соединена некоторым образом со сплошной средой, то благодаря механической связи этой системы со средой и в силу того, что отдельные участки сплошной среды упруго связаны друг с другом, возникший в одном месте среды колебательный процесс будет распространяться в пространстве среды в виде упругой волны.
Рассмотрим этот процесс более подробно на примере распространения продольных упругих волн в изотропном твердом теле. Для этого поместим один конец достаточно длинного (полубесконечного) металлического стержня в начало координат, ось Х направим вдоль стержня. Если внешним устройством привести этот конец стержня (х=О) в колебательное движение по оси Х, то по длине стержня будет распространяться упругая продольная волна. Рассмотрим участок стержня, расположенный между сечениями с координатой х и к+ах (рис.
13.1). При прохождении волны левое из Рыс. 13.1 этих сечений будет испытывать смещение $(х) =х' — х, а правое й(х+ Ь х) =х'+ Ь х' — (х+ Ьх). В общем случае рассматриваемый участок стержня будет испытывать деформацию, т. е. Ьхтьбх', которая будет равна (см. гл. 11) Ц(к+ах) — $(х)1/Ьх или, переходя к пределу при Ь х-~б, е= —. (13.1) дк ' 255 Если е)0, то произошло растяжение участка стержня, если з(0, то сжатие. При смещении как левого, так и правого конца участка стержня за счет межатомного взакмодействия возникают силы, действующие на наш участок стержня. Отношение этих сил к первоначальной площади сечения стержня Яз называется напряжением Р а= —.
(13.2) При малых деформациях выполняется закон Гука а=Е а, (13.3) где Š— модуль Юнга для продольного стержня. Напишем уравнение движения для нашего участка стержня. Его масса равна р5,6х. Если $ — смещение его центра тяжести, то рЗ,Ьх — = З,о (х+ Ьх) — 8,о (х), Уй дР (13.4) где справа стоит результирующая сила. Разделив обе части (13.4) на З~Лх н устремив Ьх-+ О, полу. чаем р — = 1пп «~ 1 ~ (") = —, (13.6) м~ з«з зщ з«' учитывая (13.3) и (13.1), р — =Я ~ =ń— д% де з«$ дР д« " д«~ (13.6) — — -~а-=0, дх~ а~ дР (13.7) ч(х, г)=В(х)ззес.
(13.8) Подставляя (13.8) в (13.6) и сокращая е"", получаем ааВ («) ва + — $(х)=0 д«« а« где и=т/Е!р. Выражение (13.6) называется волновым уравнением. Его решение, как легко можно убедиться непосредственной подстановкой, бУдет иметь вид ~,(х — и1)+1«(х+и1), где )'~ и Гз — пРоизвольные функции. В частном случае гармонических волн конец стержня х=О будет совершать гармонические колебания. В этом случае можно записать ь ("1 + ))Р$ (х) = О, ехе (13.9) или его реальная часть (см.
уравнение Эйлера (12.12)) е й(х, г)=а1соз(Ы вЂ” Йх) (13.127 является уравнением бегущей волны смещения, распространяющейся по направлению х. Соответственно й(х, г)=а,соз(Ы+Йх) (13.13) бегущая волна, распространяющаяся в противоположном направлении — х. Это следует из того, что точка постоянной фазы (е)г ~ йх) (13.14) в первом сиучае двигается в направлении возрастания х, т. е. при увеличении 1 также возрастает, во втором случае — наоборот. При этом скорость движения точки постоянной фазы, или, что то же самое, фазовая скорость волны, находится путем дифференцирования (13.14) по времени, откуда (см.
(13.9) и (13.7)) дх в ГЕ зг з р р (13. 1Щ Длина волны Х, т. е. ближайшее расстояние между двумя точками волны, находящимися в одинаковой фазе, будет зв вя 1),=иТ=и — = —, з (13.16) где Т вЂ” период волны, а й — волновое число. Фазовую скорость распространения волны и, которая определяется (13.15) и не зависит от частоты а), следует отличать от скорости колеблющихся частиц стержня о, которую получим,дифференцируя по 1 смещение $ (х, 1) (13.12): и = — е)а) з(п (е)г — йх). (13.17) где йз=о)з/из. Общее решение этого уравнения будет й (х) = а,е-'ь'+ азен".
Тогда, подставляя (13:10) в (13.8), получаем й (х, 1) = а е)ха) — хо + а е).(а)+во. Выражение $(х, 1)=а,е'(ч'-з") (13.10» (13.11) Учитывая (13.1) и (13.3), для бегущих волн деформации и напряжения соответственно получаем е(х, !)=йа,з!п(в! — Ах), а (х, !) = Ейаг з!и (а! — Их). (13.18) Такая волна образуется только в том случае, если смещение, вызванное отраженной бегущей волной $2(х, !) в точке закрепления стержня (левый конец стержня, когда х=О), будет равно нулю.
В противном случае в $(х, !) следует учитывать вторичное отражение бегущей волны от левого л правого концов стержня, т. е. распределение смещений по стержню будет значительно сложнее. Таким образом, условием резонанса стержня будет [соей(! — х)] ~=созй1=0 и й1=(2л+1)п/2. Переходя от й к Х, получаем, что резонанс будет наблюдаться тогда, когда будет выполняться условие, что на длине стержня укладывается нечетное число четвертей длин волн 1=(2п+1) —. Х 4 (13.20) Такие колебания будут сохраняться в стержне сколь угодно долго (при отсутствии затухания) и без помощи вынуждающей силы, поэтому их еще часто называют собственными колебаниями стержня, закрепленного на одном конце.
Для стержня, закрепленного с обеих концов, расчет приводит к соотношению 1= л —. Х! 3 (13.21) Обычно длина стерщня задана и изменяют длину волны А, а следовательно, и частоту в для того, чтобы добиться условий резонанса (13.20) и (13.21). Соответствующий расчет для частот, Если стержень имеет конечную длину, то от правого конца стержня бегущая волна отражается и двигается в противоположную сторону. В этом случае возникает суперпозиция двух волн (13.!2) и (13.13). Рассмотрим стержень длины 1. Пусть правый конец этого стержня свободен (не закреплен). 'В этом случае бегущая волна отражается от свободного конца без изменения фазы.
Если пренебречь затуханием, то распределение смещений по стержню будет определяться суперпозицией бегущей $~(х, !) и отраженной $э(х !) волн, которые образуют так называемую стоячую волну !1, 2~: $(х, 4=3,(х, !)+~э(х, !)=а,соз(м! — йх)+а,соз]оЫ+й(х — 2!)]= = 2аг соз й (! — х) соз (оМ вЂ” й!). (13.19) удовлетворяющих (~13.20) и (13.21) '(называемых собственнымм частотами), дает т,, = — 'и= — '. $ —, где п,=1, 3, 5..., (13.20)ь "' а 41 З р' т,ь= — "' и= ~ Ч вЂ”, где л,=1, 2, 3, 4.... (13.21) 2! 21 т р Мы рассмотрели продольные колебания стержней. Аналогично рассматриваются и поперечные колебания стержней, учитывая только, что фазовая скорость смещения в этом случае будет определяться не модулем Юнга, а модулем сдвига (см. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
