А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 48
Текст из файла (страница 48)
11) Га и- о-= ы— Р Особый случай представляет струна [3], натянутая между двумя неподвижными зажимами, расположенными на расстоянии друг от друга. Линейная плотность струны массы М будет (13.23~ Если направить струну вдоль оси Я, считая координату первого. зажима а=О, а второго г=1„ и отклонить какую-либо точку по координате х, то возникают поперечные колебания этой точки и по струне побегут в обе стороны бегущие поперечные волны ф(в, 1). Отражаясь от зажимов, они будут интерферировать, образуя для определенных частот стоячую волну, аналогично рассмотренному выше случаю стержня.
Отличие заключается в том что фазовая скорость бегущей волны ф(з, 1) в струне, зависит от натяжения струны Тв Чтобы показать это, рассмотрим малый участок струим Ь з с центром в з. г, г г„ Ряс. 13.2 В общем случае, когда струна не находится в состоянии равновесия, а совершает колебания, среднее смещение нашего участка Ьз будет ф(г, 1) и на него начнут действовать силы Т~ и Тз (см.
рис. 13.2). Обозначая дар(г, С)/дг=Цг) и раскладывая )(г) и ряд Тейлора в окрестности точки гь а затем полоисив г=гм получаем 7"(г,)=1(гг)+(г,— гг) ( — ) + — (гг — га)' (1 — ) +.... (13.27) (, дг )г 2 1 дг )а Ограничиваясь линейными членами и учитывая, что гг — г1 —— Ьг-а4), получаем ~(г.) — 1(гг) =Аг ~ ) =д.
г д) ~ даа)(г, Ф) 1дг ) дг' откуда вместо (13.24) получаем Р (Г)=Т даг дга (13.28) (13.29) Учитывая, что согласно (13.23) масса нашего участка будет ЬМ=раЛ г, получаем уравнение движения Рааг, =Рг(г)=Тагхг дааа (г, г) А дааа (г, г) дга Та (13.30) Таким образом, мы получили волновое уравнение для струны, откуда следует (см. (13.6)), что фазовая скорость волны ар(г, г) будет / Т ие — — вуг — ° а а Ра (13.31) Литература: [31 — гл.
Х1Х, $153, 154; Крауфорд Ф. Волны. М.: Наука, '1974. Тл. 2. 260 Полная сила, действующая на Аг, будет Рг(г) =Тзяпй,— Т, яп О,. (13.24) Так как отклонение мало, считаем, что отклоненный участок приближенно не меняет своей длины. Тогда общее натяжение струны не меняется и остается равным Т„т. е. горизонтальные составляющие сил, действующих на участок, будут Т, = Т, соз О, = Т, соз О,. (13.25) Учитывая, что з(п 6=сов 6 (д ат, а 1и 6= дар(г, ()/г(г — наклон кривой ар(г, () в точке г, перепишем (13.24) в виде Р, (1) = Т, соз Ог (я О,— Т, соз О, (я О, = Лабораторная работа 26 Исследование поперечных колебаний струны Работа посвящена исследованию колебаний, которые возникают в гибкой однородной струне, натянутой между двумя неподвижными точками. Если в бесконечной натянутой струне, находящейся в состоянии равновесия, оттянуть маленький участок и затем отпустить его, то возникающее возмущение начнет передвигаться по струне в двух противоположных направлениях, образуя две бегущие волны.
Так как в этом случае смещение частиц струны происходит в направлении„ перпендикулярном направлению движения волны (совпадающим с направлением струны), то такие волны называются поперечными. Движение таких бегущих волн описывается волновым уравнением, приближенный вывод которого приведен во введении (см. (13.30)). При этом характеристики волны, такие как ее форма, частота ч, длина волны Х, фазовая скорость и, определяются начальными условиями и параметрами струны †плотностью р и величиной натяжения Т,.
Если струна конечна, то бегущие волны будут отражаться от ее концов, причем фазы и амплитуды отраженным, волн будут зависеть от положения и способа закрепления концов струны. Отраженные и бегущие волны будут интерферировать, образуя в общем случае сложную и нестационарную (зависящую от времени) картину распределения смещений вдоль струны. В силу всегда имеющей место диосипации энергии указанная картина с течением времени будет затухать. Чтобы наблюдать стационарную картину, в работе используются вынужденные колебания струны, когда возмущение в струне вызывается внешней периодической (в нашем случае гармонической) силой.
При определенных условиях в струне возникают стоячие волны — явление, которое, называют резонансом струны. Рассмотрим подробнее эти условия для конечной струны длины Т., пренебрегая затуханием волн. Прн отражении бегущей волны от закрепленного конца струны отраженная волна будет отличаться по фазе от падающей волны на и.
Таким образом, если уравнение падающей волны будет ф,(г, 8) =Асоз(м1 — йг), (1) то для отраженной волны ф,(з, 1)= — Ассм[а(+й(г — 2Ь)[. (2) Уравнение стоячей волны будет (сравнить с (13.19) ) ф(з, 8)=Ф,+ф,= — 2Аз(пй(Т.— з)з(п(Ы+йу). (3) Места, в которых амплитуда смещения стоячей волны 2А з1пй(1=я) равна нулю, называются узлами стоячей волны, места, где она равна 2А,— пучностями стоячей волны. Условием 261 образования стоячих волн ~в струне, закрепленной с двух сторон, будет необходимость создания узлов стоячей волны на концах струны. Для з — Ь зто условие выполняется автоматически; при г=О необходимо, чтобы 1з1пй(Ь вЂ” г)1=з(пИ.=О или И.=пи, откуда (4) Другими словами, резонанс будет наступать при условии, что на длине струны укладывается целое число полуволн (см. рис. 13.3).
Так как А=и/т, то резонансными частотами будут т„= — л, где а= 1, 2, 3, И, Р =аз Рзс. 13.3 Рас. 13.4 В отличие от стержней в струне фазовая скорость и зависит от натяжения струны Тс (см. (13.31)) (б) где Р=М/Ь вЂ” линейная плотность, М вЂ” масса струны. Это обстоятельство позволяет проводить зксперимент по наб- людению стоячих волн в струне двумя способами; Первый из них заключается в том, что при постоянном натяжении струны Тд изменять частоту вынуждающей силы т, наблюдая резонанс при условиях (5). Второй — при неизменной частоте вынуждающей силы ч изменять натяжение струны Т;, при этом резонанс будет наступать при условиях т 4™рб ч= гР Описание установки.
Струна А (рис. 13А) расположена вертикально в специальной установке. Внешнее периодическое воздействие на струну осуществляется в верхней точке, где конец струны прикреплен к железной пластине В. Конец этой пластинки находится между полюсами электромагнита С, питаемого переменным током частотой 50 Гц.
Сама пластинка является частью магнитной цепи электромагнита Р, питаемого постоянным током, изменение которого позволяет изменять амплитуду колебаний пластинки, а, следовательно, и струны. Нижний конец струны прикреплен к концу рычага Е с осью вращения и точке О. Ниже подвешена платформа М и ведерко )Ч, на другом конце рычага Е может перемещаться и закрепляться груз й. Вес платформы и ведерка может быть уравновешен этим грузом. Натяжение струны определяется весом грува яа платформе и весом песка в ведерке. Пользование песком позволяет незначительно изменять величину натяжения; вес песка определяется на весах.
Для наблюдения формы колебаний струны применяется стробоскопическое освещение. Для этого за матовым стеклом 8 в коробе Т помещена лампа дневного света, включаемая в цепь переменного тока (50 Гц, 220 В). Струна, совершающая 50 полных колебаний в секунду и освещаемая лампой, дающей 100 вспышек в секунду, кажется неподвижной в своих двух крайних положениях.
Измерения. Уравновешивают рычаг Е, включают цепи освещающей лампы и электромагнитов. На платформу постепенно накладывают гири, в ведерко насыпают песок, добиваясь того, чтобы струна давала устойчивую картину основного тона. Пользуясь шкалами 9, измеряют амплитуду колебаний в различных точках (не менее 1О) струны. По полученным данным строят график зависимости амплитуды колебаний от координаты точки струны. Полученную кривую необходимо сравнить с теоретической синусоидой, амплитуда которой равна амплитуде экспериментальной кривой. На этом же листе бумаги строят такую синусоиду. Совершенно так же поступают для двух следующих обертонов струны.
По формулам (5, 6) при в=1, зная т (50 Гц), Тз и ь, определяют величину плотности струны р (длину струны Е измеряют масштабной линейкой). Литература: 13] — гл. ХЧП1, $149, 150; 14] — гл. ХЧ, $138— 143. Лабораторная работа 27 Определение скорости звука и модуля Юнга в твердых телах Принадлежности: 1) прибор (с держателем стержня, возбудителем и приемником), 2) исследуемые стержни, 3) осциллограф, 4) звуковой генератор.
Цель работы †определен скорости звука и модуля Юнга путем измерения резонансных частот продольных звуковых колебаний в стержнях„изготовленных из слабопоглощающих звук материалов (металлы). При распространении звука в изотропных твердых телах наблюдаются как продольные, так л поперечные волны, причем скорость их распространения различна н зависит от упругих свойств тел, через которые проходит волна. Теоретический анализ этого процесса приведен во введении к гл. 13. В случае продольных волн теория дает следующее соотношение для скорости звука в стержне, длина которого велика по сравнению с линейными размерами его сечения (см, (13.7)): и= ~( / Е (1) Р где и — скорость распространения продольной звуковой волны, Š— модуль Юнга материала, из которого сделан стержень, Р— его плотность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
