А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(12.33)) (4) При изменении частоты вынуждающей силы сэ амплитуда пз возрастает, достигая максимума при сэжгэз (резонанс), после чего начинает уменьшаться (см. введение, п. 4.). Сдвиг фаз с язве 243 где У вЂ” момент инерции маятника, а — угол его смещения, а — угловая скорость, й — коэффициент момента возвращающих (внутренних) сил, Уз — амплитуда момента внешних сил, б=й/2/ — декремент затухания, сззз /с/Х вЂ” частота собственных незатухающих колебаний, Мз Уз// — амплитуда углового ускорения вынуждающей силы, с» — частота вынуждающей силы, 1 — время. Общее решение этого уравнения имеет вид (см.
(12.28)) а (Г) = ач яп (ссс+ ~р) + Аэе-з' з1п (Й/+ ~рэ). (2) Первый член этого решения соответствует вынужденным незатухающим колебаниям, второй — собственным затухающим колебаниям с амплитудой Аа частотой 41= "р'сзз — бз и начальной фазой ~рз. С течением времени последние затухают и в установившемся режиме останутся только вынужденные колебания а(1) = а,яп (а1+ <р) менением частоты го изменяется от 0 до — я. При резонансе ф = — я/2. В настоящей работе рассматриваются малые колебания маятника, точка подвеса которого сама совершает гармонические колебания по горизонтальной линии.
В этом случае точка подвеса будет испытывать периодически меняющееся со временем ускорение х(1). Для рассмотрения колебания такого маятника удобнее перейти к неинерциальной системе координат, в которой точка подвеса будет неподвижной. Однако тогда, чтобы свестн уравнение движения маятника к уравнению (1), необходимо кроме обычных моментов сил, используемых в этом уравнении, учесть момент снл инерции, равный — тИ, где т — масса маятника, 1— расстояние от точки подвеса до центра масс маятника '(его длина), а х — ускорение движения точки подвеса маятника в инерциальиой (неподвижной) системе координат [см.
1, гл. 101. Пусть точка подвеса движется по закону х=Ьз(поМ, (6) где Ь вЂ” амплитуда смещения точки подвеса. Дважды продифференцируя х по времени, получим для момента силы инерции, приложенной к маятнику т(х = т1Ьво з1п ок. (7) Учитывая это, для уравнения движения маятника имеем Ха = — Ма — Ьа+ т1ЬоУ з(п аг.
(8) (Это уравнение движения отличается от уравнения (1) тем, что амплитуда момента внешнего воздействия' зависит от частоты. Закон движения маятника после затухания его собственных колебаний приводит к вынужденным колебаниям а=аоз1п(ок+ф), (9) амплитуда которых в отличие от (4) будет (10) 1 $/(а~ ~— оР)о + 4аозо а сдвиг фаз (11) Амплитуда колебаний изменяется качественно так же, как и в первом случае, изменение угла сдвига фаз тождественно с описанным ранее.
Описание установки. Обычно для получения вынужденных колебаний применяется электромотор. В настоящей работе пользуются большим физическим маятником (см, схему рис. 12.16). 244 Он состоит из стержня АВ укрепленного на стальной призме, и двух массивных чечевиц дС, закрепляемых на нем.
Опираясь призмой в точке 0 на подставку, маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости. Перемещение чечевиц по стержню позволяет получать различные периоды колебаний. Угол отклонения от вертикали продольной оси стержня определяется по шкале М. Шарик Я на стальной спице (малый маятник) под- С С Рис. 12.16 вещен в точке Е на расстоянии Е от оси вращения большого маятника. При колебаниях последнего малый маятник с движущейся точкой подвеса совершает вынужденные колебания. Если угол отклонения большого маятника незначителен (з!и ()ж Р; соз рж1), то точку подвеса можно считать движущейся по горизонтальной прямой с амплитудой э=ф,.
Затухание колебаний большого маятника очень мало. Это позволяет считать его колебания незатухающими (за время установления вынужденных колебаний малого маятника) с амплитудой, равной начальному отклонению. Угловая амплитуда установившихся вынужденных колебаний малого маятника определяется по шкале У. Отсчет производится спустя время (устанавливаемое экспериментально) после исчезновения собственных колебаний малого маятника. Начальное отклонение большого маятника от его положения равновесия при всех частотах его колебаний должно быть строго постоянным.
'Во избежание порчи лезвия призмы освобождение и закрепление чечевиц на стержне следует производить только тогда, когда маятник повернут на 90' вокруг своей продольной оси и плоскости его призмы опираются на подставку. Каждый раз, возвращая маятник в рабочее положение, необходимо убедиться, что он установлен в нужной плоскости, а лезвие призмы заняло правильное (низшее) место на опорной площадке. Чечевицы лучше перемещать отдельно друг от друга. Закрепляется нижняя, верхняя опускается на нее и также закрепляется. Измерения. 1.
Получение амплитудной характеристики аз= =1(е). Предварительно необходимо определить циклическую частоту ьа1 и декремент затухания б собственных колебаний малого маятника, а также измерить время тм за которое они полностью затухают. Для этого при покоящемся большом маятнике отклоняют малый маятник на угол 10' — 15'.
Маятник отпускают, включая одновременно секундомер. Последний останавливают, когда останавливается маятник. Измерение времени тэ производят не менее трех раз, вычисляют среднее арифметическое значение тм которым пользуются в дальнейшем. Определяют период Т, собственных колебаний малого маятника. Период определяется из трех полных колебаний маятника. Время, затрачиваемое на эти колебания, измеряется секундомером не менее десяти раз. ~Вычисляют среднее значение периода Ть а затем среднее значение циклической частоты И=2п/У~ собственных колебаний малого маятника.
Для определения декремента затухания б малого маятника следует измерить время т целого числа л его полных периодов, за которое амплитуда его колебаний уменьшается от а1 до а,. Величины а1 и а отсчитываются по шкале У. Время т измеряется секундомером, или, зная величину~ полного периода колебаний Т1 и число периодов колебаний, вычисляют т=лТ,. Измерения величин аь а, и т проводятся не менее трех раз. Пользуясь средними арифметическими значениями этих величин, вычисляют декремент затухания по формуле б= — 1и — '= — 2,3 1а — '.
т ат т ат Последовательность измерения ао и в следующая. Укрепляют нижнюю чечевицу в самой нижней точке стержня. Верхнюю опускают на нижнюю и также закрепляют. Проверяют правильность положения призмы большого маятника на подставке. Большой маятник отклоняют на 5' н, отпуская его, включают секундомер.
Для определения периода Т колебаний большого маятника отсчитывают целое число полных периодов за время т1)тэ и выключают секундомер. 246 За это время затухают собственные колебания малого маятника, амплитуда колебаний большого маятника практически не меняется. По шкале М измеряют амплитуду установившихся колебаний ае малого маятника. Все измерения следует проделать не менее пяти раз. Вычисляют среднее значение амплитуды ар вынужденных колебаний малого маятника и среднее значение циклической частоты в=2п/У колебаний большого (частоты внешнего воздействия на малый маятник) маятника. Аналогичным образом измеряют величины а и в, помещая чечевицы последовательно на деления: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 (на этих делениях закрепляют стопор нижней чечевицы).
Полученный экспериментальный материал необходимо представить в виде графика на миллиметровой бумаге, откладывая по оси абсцисс частоту в, а по осн ординат амплитуду а,. Если график кривой окажется недостаточно выявленным (экспериментальные точки располагаются неравномерно), необходимо произвести дополнительные измерения и получить еще 2 — 3 точки для нужных частот. Следует отметить, что при ажЙ (резонанс) колебания малого маятника перестают быть лннейнымн (з)п аФа). Уравнение движения (8) малого маятника для верхней части амплитудной кривой неприменимо.
2. Получение фазовой характеристики ~р=[~ (в). Наблюдая колебания малого маятника, необходимо убедиться, что: 1. Прн малых частотах (в«П) смещение малого маятника находится практически в фазе со смещением точки подвеса (в противофазе со смещением нижней части большого маятника). Сдвиг фаз в этом случае близок к нулю (у-+.0). 2. При больших частотах (в»й) смещение малого маятника находится практически н противофазе со смещением точки подвеса (в фазе со смещением нижней части большого маятника). Сдвиг фаз в этом случае близок к 180' (~р= — и). Устанавливают предельные значения (О и и) угла сдвига фаз, что находится в полном согласии с уравнением (8р — —, 2вв 2вб (12) во Зная величины И и б, пользуясь втой формулой, можно рассчитать и другие значения угла сдвига фаз, находящиеся между предельными значениями.
Вычисления следует произвести для девяти частот вь Одна из них резонансная, при которой достигается наибольшая (на полученной амплитудной характеристике) амплитуда колебаний малого маятника, восемь других берут на восходящей (четыре) и на нисходящей (четыре) ветвях амплитудной характеристики, располагая их на равном расстоянии друг от друга.
Вычисленные величины угла сдвига фаз необходимо представить в виде графика на миллиметровой бумаге, откладывая по оси абсцисс частоту, по оси ординат — угол сдвига. Литература: [11 — гл. 13, $60; [31 — гл. 17, $ 140; [41 — гл. 14, $127, 128. 247 Лабораторная работа йб Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы Теория. Реальная физическая система при учете всех возможных в ией типов движений обладает практически бесконечным числом степеней свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
