А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 40
Текст из файла (страница 40)
с формулой (8) ): 2 — +У~=2 (23) 2 2 Это означает, что во всех следующих выражениях (9) — (21) необходимо сделать замену из-е-еы/2,. 1 в-С/2 и а-в-а/2. Поэтому выражения для времени соударения шаров н модуля Юнга будут иметь вид т=1 47К1100яы(дН) '1зр'(1 — ры)2Е ы]'жп Ыз д 10 (1,ы) ( 1 )ы4( 1 4тл )~~~ (24) (25) Описание установки.
Экспериментальная установка для первого варианта работы (рис. 11.15,а) включает в себя два сменных стальных или латунных шара, источник напряжения (ИН), осциллограф (0), частотомер (Ч). Порядок работы иа установке рассмотрен в дополнительном описании. Рыс. 11.15 Экспериментальная установка (вариант 2, рис.
11.15,б) включает в себя два сменных (стальных, латунных или из пластилина) шара, каждый из которых подвешен на двух металлических проводах (для того, чтобы избежать вращения шаров н обеспечить центральный удар), электромагнит (ЭМ) для удержания одного из шаров в отклоненном положении и электронный блок А, состоя- 212 щий из таймера и системы управления электромагнитом. Для включения электронного блока А необходимо нажать клавишу «сеть». Нажатием на клавишу «сброс» осуществляется обнуление табло таймера. В отжатом положении клавиши «пуск» замкнута цепь питания электромагнита, и он может удерживать один из шаров в отклоненном положении. При нажатии на клавишу спуск» (клавиша фиксируется в утопленном положении) разрывается цепь питания электромагнита, шар освобождается, происходит, соударение шаров.
Шары включены в электрическую цепь. В момент удара происходит замыкание цепи. Таймер измеряет время протекания тока по данной цепи, т. е. длительность соударення, которая фиксируется на табло электронного блока. Повторное измерение времени таймером возможно только после того, как клавиша «пуск» будет отжата и вновь переведена в утопленное положение, т. е. при повторении эксперимента. Все шары имеют проходящее через центр сквозное отверстие с резьбой и крепятся к подвесу путем наворачивания на вертикальный стержень, висящий на нитях подвеса.
Нижний выступающий конец этого стержня служит для считывания но шкале прибора величины угла отклонения шара. Шары из латуни крепятся так, чтобы стальные цилиндрические вставки на них были обращены к электромагниту. Аналогичным образом крепится шар из пластилина (для изучения неупругого удара), который изготавливается с помощью специальной пресс-формы.
Измерения. Измерения начинают с проверки правильности подвеса шаров. В случае необходимости проводят регулировку длин нитей и расстояния между точками подвеса нитей обоих шаров. Далее измеряют диаметры шаров (2Я) с помощью штангенциркуля н расстояние Н (высота подвеса шаров) с помощью линейки. Отклоняя от положения равновесия один из шаров (второй прн этом должен покоиться) на различные углы от 1' до 15', снимают зависимость времени соударения шаров т от величины а.
Рекомендуется снимать указанную зависимость через 1' от а=1' до а=15'. Для каждого значения угла а измерения времени соударения необходимо повторить 3 —:5 раз, а затем взять среднее значение т. Результаты измерений заносят в таблицу, в которой для каждого значения а указывают ть тв тв ..., тп (а=3 —:5), т, а также а-'~' (здесь угол а должен быть измерен в радианах). На основании проделанных измерений строят график зависимости времени соударения шаров т от величины а-'~з. Для этого сначала ставят точки а-'!', т, а затем, убедившись, что в пределах ошибок измерений полученные результаты можно аппроксимировать линейной зависимостью т=А х, где х=а-и', проводят оптимальную (на глаз нли методом наименьших квадратов) прямую. На основании этого графика определяют коэффициент углового наклона А и далее вычисляют мо- 2!3 ГЛАВА 12 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Введение.
Колебания широко распространены в природе и разносторонне используются в различных областях науки и техники. Особую роль различные колебательные процессы играют в физическом эксперименте, где на их основе созданы многочисленные' динамические методы измерений, такие как резонансные, баллистические, квазистатические и другие, которые широко используются в механических, акустических, радиотехнических и оптических исследованиях. Несмотря на различную физическую природу этих разнообразных колебаний, все они обладают некоторой общей сущностью, которая в первую очередь определяется возможностью их единообразного математического описания.
Это обстоятельство 'побудило выделить все колебательные процессы в отдельную главу, в которой мы будем рассматривать только механические колебания и волны, но основные понятия, методы нх анализа и выводы будут полезны при изучении электрических н оптических явлений. Все колебания могут быть разбиты на три группы: периодические, квазипериодичеокне и непериодические. Периодическими колебаниями мы называем те процессы, которые повторяются во времени и описываются такой функцией времени, что )(Г)=)(г+ . +Т), где Т вЂ” период данного колебания. Квазипериодичеокнми колебаниями будем называть такие непериодические колебания, которые в течение достаточно длительного времени сохраняют основные характеристики процесса при медленном изменении, например, амплитуды колебания, т.
е. слабозатухающие колебания. Колебательный процесс в системе может возникнуть в двух случаях. В первом из них за счет внешней силы система выводится из состояния устойчивого равновесия, т. е. ей сообщается некоторое достаточное количество потенциальной или кинетической энергии, после чего внешние силы (за исключением сил трения, если они присутствуют) полностью отключаются. Тогда, за счет работы внутренних сил, образующихся в системе, происходит переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
В этом случае. возникают колебания, которые называются собственными колебаниями системы. Другой случай реализуется, если на систему постоянно действует внешняя, зависящая от времени сила. В этом случае возникают там называемые вынужденные колеба- ния системы. В обоих случаях в системе могут возникнуть достаточно сложные движения, описание которых потребует большого количества параметров (координат), определяющих число степеней свободы системы. Рассмотрим первоначально наиболее простой случай, когда система обладает одной степенью свободы, т. е. ее движение можно описать одним независимым параметром (координатой).
Пусть рассматриваемый элемент системы имеет массу т и он может перемещаться только вдоль одной координаты х. Тогда уравнение движения этого элемента будет тх=1, +~, +г", (12.1) где !за в внутренняя сила, возникающая при отклонении элемента оистемы из точки устойчивого равновесия, в которой х=О, ~тр — сила трения, которой пока что пренебрежем (рассмотрим консервативную систему), и Р— внешняя сила.
П. 1. Рассмотрим вначале собственные колебания в консервативной системе, т. е. будем считать Р~О и ~,р — — О. В общем случае у,а может быть сколь угодно сложной функцией, но, рассматривая малые отклонения от положения равновесия, в большинстве физически. интересных случаев ее можно разложить в ряд Тейлора ~„„(х) = ~(0)+х1' (0)+ — ~' (0)+ — ~"' (0)+.... ' (12.2) Так как х=Π— точка устойчивого равновесия, то (ьи(0) =О. Если при заданном отклонении от х=О можно в разложении Тейлора пренебречь всеми членами кроме линейного по х, то получаем линейное дяфференциальное уравнение (учитывая, что 1'(0)(0) (12.3) птх+~' (0) х= 0 илн х+оРх=О, где а у' (о) а (12А) которое называется уравнением гармонических колебаний.
Общее решение уравнения (12.3) можно представить в виде гармонической функции (12.5) х(1) = Аз!пв!+Всозья, период изменения которой будет Т= — ". (12.6) Удобнее представить решение (!2.5) в виде х(г) = р'А'+В' ( з)п ья'+ сох ья) = ф/ лт+ ва ф/'л*+ в' = уА'+В'(сов ф з!ион+а)п <р соз ья) = А, соз (ьк+ <р), (12.7) 216 где (~ГА'+у называется амплитудой колебания, а (е1+~р) — фазой колебания; ее значение при 1=0 — начальная фаза ~р, определяемая из уравнения 18 р= —. В А (12.8) Амплитуда и начальная фаза собственных колебаний зависят от начальных условий.
В общем случае, если при 1=0; х(0) =хе и х(0) ='о,, то из (12.5) получаем ха=В. Дифференцируя (12.5) по времени, имеем х(1)= Авсозоя — Вез!па(, (12.9) х(1) =1 х'+ ~ з(п (вг+агс(а "~ ). (12.10) о в В частном случае, если при 1=0, х(0) =ха и х(0) =О, получаем х(1) =х,созв1, а в случае, если при 1=0, х(0) =О, а х(0) =со, х(1)= ~' з(пмГ. Как видно, смещение х(1) изменяется по периодическому закону, так же как скорость х(1) =о(1) и ускорение х(1).
При этом колебания скорости сдвинуты по фазе на и/2 относительно колебаний смещения х(1) и имеют величину амплитуды е Ам Колебания ускорения происходят в противофазе с колебаниями смещения и имеют амплитуду — оРАз (рис. 12.1). Для консервативной системы (1тр=О) полная механическая энергия сохраняется, причем происходит только периодический переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Величина кинетической энергии в этом случае будет ах~ ввэлоз 'Я = — = ' з(п'мт, кви з з э (12.11) потенциальной— В„„=~7(х)их=7'(0) ) хбх= соззмт, (12.12) таРАз~ так как согласно (12А) 1'(0) ='гив'. 217 и тогда х(0)=ор=Ав, откуда А=со/а и в общем виде вместо (12.7) получаем Полная энергия не зависит от времени н равна ма~лаз Е,»»= Е.„+ Е т (12.13) Рассмотренные консервативные системы являются абстрактными, так как во всех реальных случаях существуют силы трения, работа которых приводит к диссипацни энергии системы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
