А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Л/2 ' где ог — напряжение в слое, наиболее удаленном от нейтрального, находящемся на расстоянии д/2. ~Момент всех усилий относительно нейтрального слоя равен ю/г гг аа гг М=2 ~ ~(гз(па) ог" (г, а)= — ' ~ 1ггз!пгсиИа= — о,г(г. =л 53' 32 э о о о Используя закон Гука (11.3), находим связь между моментом М и удлинением 6 слоя, наиболее удаленного от нейтрального, М= — УŠ—, и б З2 41 ' учитывая, что при удлинении внешнего слоя на 6, угол д<р между поперечными сечениями проволоки пружины, расположенными на расстоянии 61, меняется на величину 6/(б/2).
Получаем связь между моментом внешних сил и углом закручивания всей пружины М = — г(гŠ— "' ф, З2 где 1=п Рп — длина проволоки, пружины. Отсюда следует, что коэффициент жесткости й, пружины при кругильных колебаниях (без учета деформации сдвига) равен й,= (2) Уравнение движения грува при малых вертикальных колебаниях можем записать в виде (3) тй= — /ггх и для крутильных колебаний в виде /гр= — /гггр, (4) где пг и / — соответственно масса и момент инерции груза, подвешенного к нижнему концу пружины, х и «р — соответственно координаты линейного и углового смещеннй груза.
Из уравнений (3) н (4) получим Т,=2п у —. Т,=2п у— где Т, — период вертикальных колебаний, Тз — период крутнльных колебаний. Уравнения (11.38), (!†: 5) дают 4 1 Т( 1р(= — — — ' — 1. (6) 0® т тз Этим уравнением и пользуются прн вычислении коэффициента Пуассона материала пружины. Если рассматривать задачу о колебаниях более полно, то груз, подвешенный на винтовой пружине, необходимо считать системой с двумя степенями свободы.
Груз одновременно совершает два вида движения: крутильные и вертикальные колебания. Формально это аналогично движению двух маятников, соединенных между собой легкой пружинкой (связанные маятники). Особенности таких колебаннй рассмотрены в гл. 12. В нашем случае роль «пружинки» играет связь между деформацией сдвига н деформацией сжатия (см. уравнение (11.38)). Устранить действие этой пружянки, как это делается в случае маятников прн нх отклонении в одну сторону на одно расстояние, не представляется возможным.
Нормальные частоты колебаний груза на винтовой пружине не равны между собой. В этом случае можно наблюдать каждое собственное колебание — это крутильные н'вертикальные колебания. Частоты этих колебаний — нормальные частоты груза. Не изменяя массы груза, можно изменить его момент инерции, а следовательно, н период крутнльных колебаний. Приближая друг к другу периоды колебаний груза, можно наблюдать, как и в случае двух связанных маятников, появление биений, т. е. периодических изменений во времени амплитуды крутильных н вертикальных колебаний. Частота биений а равна разности собственных частот, т.
е. разности частот двух видов колебаний груза (крутнльных а'з н вертикальных а~): ы газ — мь (Т) Для периода биений получим т, л-т,' т— (8) т,'— т, Описание установки. Пружина диаметром О (рнс. 11.13, а) с грузбм А на ее нижнем конце верхним концом прикреплена к консоли. Металлический грув имеет внд, изображенный на рис.
11.13,б. Это составной (для изменения массы) цилиндр А с двумя однна- ковыми симметрично укрепленными на нем стержнями В. Для из- менения момента инерции груза по резьбе стержней могут переме- щаться одинаковые диски С. 10 7гз Рис.
11.13 Момент инерции груза относительно оси симметрии 00' цилиндра может быть получен как сумма моментов инерции пяти тел, а именно: 1~ — цилиндра А массы т~ и,радиуса гь 2У~ — двух стержней В массы тз каждый, радиуса гз, длины 1з, 2Хз — двух дисков С массы тз каждый, радиуса гз, толщины 1з Вся масса т груза равна (9) т=т~+2тз+2тз моменты инерции тел, составляющих груз, вычисляются по формулам 1з= — тзг1, 21 =2т 4з+ — '(1зз+Згзз), 2 12 21з = 2тз ~4 + — [1з+ 3 (гзз+ гззН~, где Ьз и (.з — расстояния от оси цилиндра А до центра масс соответственно стержня В и диска С. Это дает .7 = Хз+ 21з+ 21з — — — тзг[+ 2тз 1(з + — (1з+ Згзз) ~ + 3 2 12 + — 'тз [1з+ 3 (гз+ газ)]+ 2тз(.з.
6 (10) Первые три члена этого выражения не зависят от положения дисков на стержнях и вычисляются заранее по данным, имеющим- ся на установке. Последний член, кроме массы диска т,, опреде- 207 ляется расстоянием Еь Эта величина измеряется при помощи штангенциркуля. Измерения. 1.
Коэффициент Пуассона определяется при условии, что возбуждение продольных колебаний вызывает минимальные крутильные колебания. Условия, при которых разность частот этих колебаний наибольшая, находится экспериментально. Очень осторожно, чтобы не сообщить системе других колебаний, создают небольшим опусканием груза вертикальные колебания. Пользуясь секундомером, измеряют время десяти полных колебаний и вычисляют период вертикальных колебаний Ть Не изменяя моменты инерции груза, осторожно, чтобы не сообщить других колебаний, небольшим поворотом груза вокруг вертикальной оси создают крутильные колебания.
Из десяти полных колебаний вычисляют период крутильных колебаний Ть Периоды Т~ и Тз необходимо вычислить не менее трех раз и пользоваться их средними арифметическими значениями. Измеряют величины Ез и Р. По полученным данным, пользуясь формулами (6), (9) и (10), вычисляют величину коэффициента Пуассона. 2. Перемещением дисков на стержнях груза изменяют его момент инерции. Следует убедиться, что по мере уменьшения разности частот при возбуждении крутильных колебаний все более заметными становятся вертикальные колебания и биения.
При достаточно отчетливом наблюдении биений приступают к проверке формулы (8). Для этого при очень малых осторожно называемых крутилвных колебаниях определяют их период Ть Не изменяя момента инерции груза, осторожно создают вертикальные не очень малые колебания. Период биений т определяют, измеряя секундомером время между двумя последовательными остановками груза при его крутильных колебаниях. Измерения повторяют не менее трех раз и пользуются средним арифметическим значением. Зная величины Ть Т2 и т, проверяют формулу (8). Не следует пользоваться очень близкими значениями величин Т, и Тз и сообщать пружине большие начальные отклонения. Литература: [41 — $86, 87, 133, 134; 121 — $78 — 80, Лабораторная работа 20 Определение времени соударения шаров и модуля Юнга Теория. Рассмотрим столкновение двух одинаковых абсолютно упругих шаров .в системе центра масс. Пусть в начальный момент шары удерживаются отклоненными от положения равновесия в противоположные углы на угол а, и поэтому каждый из них обладает потенциальной энергией и= дН(1— (1) где а=оН вЂ” угол, образуемый нитью подвеса с вертикалью, (,— расстояние по дуге, которое проходит шар до удара, Н вЂ” длина нитей подвеса, я4 — масса шара, и — ускорение свободного падения.
Если ЦН й0,1, то угол а мал, и, используя разложение сова 1 — аы/2, формулу (1) можно записать в виде ай1 ы (2) 2Н Когда шары начнут двигаться, их потенциальная энергия переходят в кинетическую. В момент времени непосредственно перед столкновением шары соприкасаются друг с другом в точке О, Рыа 11.14 лежащей на линии, которая проходит через центры обоих шаров (рис. 11.14, а). В этот момент каждый шар обладает кинетической энергией Иг= —, 2 где оы — скорость шара перед соударением.
Причем и=йг. (4) В процессе столкновения оба шара сдавливаются возникающими силами и сближаются, перемещаясь на некоторое расстояние Ь (рис. 11.!4, б). При этом каждый из шаров, двнгаясьсо скоростью о, имеет кинетическую энергию лтоЧ2 и некоторую потенциальную энергию сжатия. Скорость и можно выразить через относительную скорость шаров. Так как в системе центра масс из-за симметрии скорость шаров одинакова, то 6 Зак.
Гы где коэффициент я /~~ Š— модуль Юнга, р — коэффициент Пуассона, Я вЂ” радиус шаров. В течение столкновения полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии. В силу закона сохранения энергии имеем ~" +и..=2йг. (8) Используя формулы (3), (6) и (6), выражение (8) можно переписать в виде 2 — ( — ) + (9) т. е.
мы получили уравнение для Ь. Когда кинетическая энергия шаров полностью перейдет в потенциальную энергию сжатия, центры шаров максимально сблизятся, переместившись в процессе столкновения на расстояние Ьз. ~Максимальное сближение шаров соответствует моменту, когда скорость каждого из них й/2 обращается в нуль.
Используя это условие, из (9) находим Ь вЂ” ( м) ф/б (10) Продолжительность столкновения т — это, например, время, в течение которого точка проходит в системе центра масс путь от нуля до Ьз(2 и обратно (см. рис. 11 14,б) т= 2 и-' дх. Чтобы иметь возможность вычислить интеграл (11), перейдем к переменной Ь.
Из рис. 11.14 очевидно, что х= —. (12) 2 Скорость о, используя соотношение (5) и уравнение (9), можно выразить через Ь следующим образом: (13) Вывод выражения для потенциальной энергии сжатия У„, для двух шаров довольно сложен (впервые этот вывод получен Г. Герцем и имеется в 121), поэтому приведем окончательный результат и,.=ЬЬ"', (6) В случае, когда от положения равновесия отклоняют только один шар (другой в это время покоится), выражение для закона сохранения энергии во время удара в движущейся со скоростью иы/2 системе координат (связанной с центром масс двух шаров) будет иметь следующий внд (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
