А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Проводя анализ деформаций, следует учитывать, что нельзя переносить силу по линии ее действия, как можно было бы сделать в абсолютно твердом теле. Это легко продемонстрировать на примере системы тел, состоящей из последовательности масс, связанных пружинками (рис. 11.1). Деформации этой системы, очевнд- мо, будут различными в зависимости от того, к какому телу яриложена сила. В общем случае законы, связывающие силы н деформации, сложны, эти связи могут быть неоднозначными и зависеть от величины и характера приложенных сил и других причин.
Однако в практически наиболее важных случаях, когда деформации являются малыми, а сами тела упругими, силы однозначно определяют деформации и наоборот. Несмотря на громадное разнообразие возможных деформаций, все они могут быть сведены к двум элементарным — однородному растяжению (сжатию) и сдвигу. При анализе деформаций кроме элементарных видов принято выделять также и сложные виды деформаций — кручения и изгиба. Рассмотрим наиболее характерные типы деформаций более подробно. Деформации растяжения и сжатия. Деформацией растяжения нли сжатия называется деформация, связанная с относительным удлинением нлн укорочением деформируемого участка. Проаналиляруем мысленно опыт с растяжением упругого стержня (рис.
11.2). Если материал стержня однороден, то все одинаковые ку- сочки стержня будут растянуты одинаково при воздействии на стержень некоторой однородной нагрузки. Такую деформацию можно охарактеризовать относительным удлинением з: М а=в (1 1.1) где Ж вЂ” удлинение отрезка стержня, имевшего первоначальную длину 1. Для любого участка упругого стержня величина з одинакова н зависит от величины растягивающей силы Р.
Под воздей- Рис. 11.2 ствием втой силы в стержне возникают внутренние силы взаимодействия между различными участками стержня. Из условий равновесия каждого отдельного участка следует, что сумма сил, действующих на него, равна нулю, т. е. в любом поперечном сеченйи стержня возникают усилия, равные Р. Величину усилия, действующего на единицу площади поперечного сечения, называют напряжением и обозначают его о. Напряжение, возникающее в растягиваемом стержне, равно (11.2) где Я вЂ” площадь поперечного сечения стержня. Будем постепенно увеличивать растягивающую силу Р. При небольших усилиях напряжение и и относительное удлинение в приблизительно пропорциональны друг другу.
При ббльших значениях о связь становится нелинейной. При уменьшении нагрузки до нуля тело может возвратиться в прежнее состояние. Область 181 малых деформаций н напряжений, прн которых отсутствуют остаточные деформации н связь между о и е является однозначной, называется областью упругих деформаций, а максимальное для этой области значение о„называется пределом упругости. Прн дальнейшем увеличении напряжения деформации ведут к необратимым нзмененяям в теле.
Еще большее увеличение напряжения приводит к неоднозначной связи между о н е — эта область называется областью текучести. Область деформаций, прн которых выполняется соотношение о=Е е, (11.3) называется областью пропорциональности, а соотношение (11.3) называется законом Гука. Постоянный коэффициент Е имеет размерность Н/мз нлн Н~мм' н называется модулем Юнга. Максимальное значение о, при котором выполняется соотношение (11.3), называется пределом пропорциональности.
Для стали предел пропорциональности лежит близко к пределу упругости, но вообще онн могут и не совпадать. Рис. 11.3 Деформация сдвига. Рассмотрим деформацию кубика, вырезанного нз однородного нзотропного вещества, под действием распределенных касательных сил, приложенных к его противоположным граням. Для соблюдения условий равновесия необходимо равенство всех напряжений, приложенных к граням кубика (рнс. 11.3, а). тих=та=те=то (11.4) здесь т; — напряжение, определяемое, как отношение силы, действующей на соответствующую грань, к площади этой грани. Действительно, для отсутствия поступательного движения кубика как целого необходимо выполнение соотношений т1 т31 тв ъ4 а для отсутствия вращательного движения требуется, чтобы т1 Т43 тз тз» откуда н следует равенство (11.4).
162 При изменении напряжений т1 — . 'т4 будут меняться только углы между гранями кубика (объем при этом остается постоянным)., (см. рис. 11.3, б). Пусть под действием этих напряжений углы между соответствующими гранями изменятся иа малый угол у. Опыт показывает, что для многих материалов существует область пропорциональности, где выполняется линейная связь между у ит т=о У, (11.5) коэффициент 6 называется модулем сдвига. Размерность модулей Е и 6 одна и та же. Действительно, размерность модуля упругости а размерность модуля сдвига Деформация кручения.
Примером деформации кручения является закручивание однородного круглого стержня, когда одно основание стержня поворачивается вокруг оси на некоторый угол с» Дг Рис. 11.4 относительно другого основания (рнс. 11.4, а). Угол кручения при малых деформациях определяется законом Гука и связан с моментом сил М, закручнвающих стержень М=1 в, где ) — модуль кручения. Очевидно, что для каждого малого объема в рассматриваемом случае происходит деформация сдвига.
Поэтому кручение ие является элементарным видом деформации. Рассмотрим связь между модулем сдвига и модулем кручения. Если стержень однородный, то для любого выделенного участка стержня длиной Й основанйя этого участка повернутся на один и тот же угол относительно друг друга бсз. Причем между асс и 183 углом поворота оснований для всего стержня выполняется соот- ношение дв=д1. —" Ю (1 1.7) т (2пг . дг) = (2пгдг). б у = 2яг'б — дг.
дв 41 Момент этого усилия относительно оси стержня равен дМ = 2нгаб — дг. йо й Суммарный момент внутренних сил, действующий в произвольном сечении стержня, найдем, интегрируя дМ по радиусу: и М=2нб — ~ гЧг= ав и бя ° яа ав а1,) 2 д! о (11.8) Этот момент одинаков во всех поперечных сечениях стержня и равен моменту сил, закручивающему стержень. Подставляя (11.7) в (11.8), получаем бай' в М= — —. 2 1 Учитывая (11.6), находйм связь между модулем кручения и модулем сдвига 1= оп.й* (11.9) Деформация изгиба.
Если прямой упругий стержень неподвижно закрепить одним концом в твердой стенке, а другой конец на- Я г увить грузом Р, то этот конец опустится, т. е. стержень согнется. егко понять, что при таком изгибе верхние слои стержня будут растягиваться, нижние — сжиматься, а некоторый средний слой, который называют нейтральным слоем, сохранит длину и только претерпит искривление (рис. 11.5, а). Перемещение, которое получает свободный конец стержня, называется стрелой прогиба.
Стрела прогиба будет тем больше,-чем больше нагрузка, и, кроме того, она должна зависеть от формы 184 где 1 — длина стержня. Выделим из участка д1 кольцо с радиусом г и толщиной дг. Из рис 11.4, б видно, что угол кручения дв связан с углом у для деформации сдвига элементарного объема простым соотношением у д(=дв г. Здесь учтено, что углы у и дв малы и гдпт=у, з(п (дв), =дв.
Касательное усилие на поверхности кольца площадью 2пгдг определим, используя соотношение (11.5): стержня, его размеров и модуля упругости. Точный анализ деформаций и напряжений в упругом стержне довольно сложен. Приближенные результаты можно получить, используя гипотезу Бернулли о том, что при изгибе стержня или балки все поперечные сечения остаются плоскими. Это предположение соответствует предположению, что в каждом малом объеме стержня происходит только деформация сжатия или растяжения. 1+а рау Определим деформации стержня под действием момента силы, приложенной к его концу М=Р.Е. Вырежем из этого стержня кусочек малой длины И (рнс.
11.б,б). При малых деформациях нормальное напряжение в каждом слое выделенного участка пропорционально его удлинению или укорочению и будет линейно изменяться при удалении от нейтрального слоя (11.10) о=о,(1) —, з' где х — расстояние от данного слоя до нейтрального, оз(1) — напряжение в самом удаленном слое, находящемся на расстоянии Ь от нейтрального, 1 — координата элемента стержня 61. В том случае, когда сечение стержня имеет прямоугольную форму, нейтральный слой расположен посредине стержня и Ь= =Ь!2. На каждый слой толщиной Ж и удаленный от нейтрального слоя на расстояние х действует усилие дР=аадх= " ' ' хдх.
2ои (1) а ь Причем результирующая всех нормальных усилий, действующих на поперечное сечение стержня, в силу условия (11.10) равна нулю, а момент всех этих усилий должен равняться моменту силы Р относительно сечения с координатой 1, М~=Р(Š— 1) (это соответствует выполнению условий равновесия для выделенного объема). Момент всех нормальных усилий относительно нейтрального слоя находим, интегрируя по всему сечению Ь12 Ь/2 М,= ~ хс$Р(х)= '(1 1 хзбхь пь(1) — аЬ'. (11.11) -Ь/2 -Ь12 Определим линию прогиба стержня, закрепленного одним концом в стенке, под действием нагрузки Р (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
