А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Однако специальным подбором начальных отклонений можно возбудить лишь одну моду. Например, для определения начальных условий, соответствующих возбуждению одной «жесткой» моды с частотой ел=аз, нужно подставить это значение мэ в любое нз уравнений системы (10), (11), при этом получим ставим в~ в уравнение (12). При этом получим (с учетом лишь членов порядка г/1) (16) 2 г ~ Ро=(1 )Фе 5 Без специальных приспособлений создать начальные отклонения, удовлетворяющие условию (16), весьма затруднительно, так кан это требует высокой точности фиксирования углов фз и бэ Рис.
10.9 При начальном условии бэ=фз возбуждаются обе моды, но амплитуда высокочастотной моды при этом в силу условия г~1 мала. Кроме того, высокочастотная мода затухает быстрее низкочастотной. Поэтому спустя некоторое время можно считать, что в системе возбуждена лишь низкочастотная мода колебаний. При этом в качестве начала процесса можно взять момент времени, когда р=О. Новые начальные условия будут удовлетворять уравнению (16), которое можно рассматривать как соотношение между амплитудами бэ фэ в уравнениях (8), (9). Если пренебречь величинами порядка (г/1)', то уравнение (6) можно заменить урав- нением (1+г) р= — аФ, где ы2— я !+г ~е (19) го которое запишем в виде Р+ ыор=б, (18) Если вместо угла р измерять координату х центра шара, то уравнение для х будет иметь вид х+ « «=О.
(20) о4х= О. (22) начальных условий х(0) =х«, Решение уравнения (22) для У(0) ееэ(0) =0 имеет вид х (г) = "' е — з' соз («г'г — а), «05 е (23) где гэ = р ы' — 6', созе= —, з!па= —. а«' 03« (24) Амплитудные значения отклонений достигаются в моменты ! =пТ'/2, где а=О, 1, 2, ..., Т'=2п/в — период затухающих ко. лебаний. При этом амплитуды убывают по экспоненциальному за- кону — м а =е "а«(а«=х«). (25) В качестве начальной амплитуды а«в (25) может быть взята любая амплитуда, возникающая в процессе колебания, при этом время Г, должно отмеряться от момента, к которому относится эта амплитуда. Таким образом, зная два значения амплитуды а« и а и время /„ за которое произошло изменение амплитуды от значения а« до значения а„ можно определить декремент затухания по формуле б= — !п — "« .
(26) а„ При слабом затухании амплитуда за один период изменяется незначительно. При этом значения амплитуд, относящиеся к двум !7! В уравнении (20) не учтены процессы, приводящие к затуханию колебаний. Это прежде всего сопротивление воздуха движению шара, остаточные деформации нити, явления, происходящие в точках крепления нити, и, возможно, другие. Рассмотрим столь идеальную систему, что главной причиной, приводящей к затуханию низкочастотных колебаний, является трение шарика о воздух.
При достаточно малых скоростях сила трения шарика о воздух пропорциональна скорости /= — Во. (21) Вместо коэффициента трения В для дальнейшего рассмотрения характера колебания шарика удобнее ввести декремент затухания 6=В/(2т). При этом уравнение колебания с учетом силы трения вместо (20) примет вид х+ 2бх+ моментам времени, можно задать заранее в виде удобных для яаблюдения отклонений в одном определенном направлении. При этом разница между заданным значением амплитуды и фактическим значением амплитуды в соответствующий момент времени будет также незначительной, т.
е. может быть существенно меньше ошибки, связанной с определением амплитуды. Наряду с декрементом затухания вводят в рассмотрение логарифмический декремент затухания, равный логарифму отношения двух последовательных (через период) амплитуд. При этом логарифмический декремент затухания б равен б= — 1п( ~ ~. (26 А) и ~а„1 2. Нелинейные колебания. Движение маятника с трением, постоянным по модулю (трение качения).
Рассмотрим движение шарика, подвешенного на нити и опирающегося на наклонную плоскость. Нить параллельна наклонной плоскости (рис. 10.10). При Рис. 10.10 отклонении шарика (при натянутой нити) от положении равновесия на угол (1, который образует нить при этом отклонении с направлением нити в положении равновесия, шарик, если его не удерживать в отклоненном положении, начнет ускоренно двигатьея к положению равновесия и, пройдя положение равновесия, отклонится на угол Р~(6~(Р) в противоположном направлении.
Таким образом, возникает затухающий колебательный процесс. Если между шариком и наклонной плоскостью возникает сила трепня, то прн достаточном значении этой силы шарик в процессе колебания будет перекатываться без проскальзывания, а указанная сила трения будет являться силой трения покоя. Если кроме этой силы будет возникать сила трения качения, то амплитуда в процессе колебания будет уменьшаться. Рассмотрим уравнения движения шарика в приближении «) =р. Если наклон плоскости составляет угол у с вертикалью, то уравнение движения для центра масс шарика будет иметь вид «п(ф = — тя соз у(1 + Р (27) Направление силы трения покоя Р„определяется так, чтобы она была направлена против того движения, которое возникло бы 'прй отсутствии этой силы трения. Сила Р„ создает момент относительно оси ОС, проходящей через центр масс С и являющейся как бы продолжением нити. Сила трения качения тоже создает момент сил относительно оси ОС.
Обозначим этот момент сил через М„. Момент М„всегда чаправлен таким образом, что он замедляет вращение. Момент, вызванный закручиванием нити, учитывать не будем, полагая его малым. Аналогичным образом не будем учитывать влияние воздуха на движение шарика, так как возникающая в данном случае сила трения качения оказывает более заметное воздействие. Поворот шарика относительно оси ОС будем описывать углом «р. Соответствующее уравнение движения будет иметь вид '««««р = Ртиг+Мтю (28) где Уз=2/бп«г' — момент инерции шарика относительно оси ОС. Предположение об отсутствии проскальзывания приводит к кинематическим соотношениям 1«()=гт, (Ф= т, 1Ф=гя.
(29) так как точка касания шарика с плоскостью в этом случае является мгновенной осью, (Кривизной траектории, которую описывает при движении центр масс шарика, мы при этом пренебрегаем, а следовательно, пренебрегаем и вращением шарика относительно оси, перпендикулярной касательной плоскости.) Силу Рт«« из уравнения (27) можно выразить через (з и (1, а 8 н () с помощью (29) †чер «р и «р.
Уравнение (28) при этом примет вид уравнения моментов относительно мгновенной оси г« ,7«р = — — «пдсозу«р+М„, (30) 1« где )=1«г+тг' — момент инерции шарика относительно мгновенной оси. Момент силы трения качения пропорционален силе нормального давления и не зависит от скорости, т. е. М,„= -«- й,тя з(п у (31) (й«имеет размерность длины). Вместо угла поворота шарика «р удобнее ввести в рассмотрение смещение центра масс х.
При малых углах р х=г«р. Если в на- 173 (32) с учетом (31) уравнение (30) можно представить в виде гв ,7щ+ — 'тйсоз у(щ ~ йр) = О, 1в (ЗЗ) нлн ~р+ оР (<р ~ Ь|) = О, (34) ! (35) где циклическая частота а равна г~мд «о«т .а/5 со» тя Л» Т 71в Если вместо ~р ввести координату центра масс шарика х=г<р н вместо Лр ввести Лх=гб~р, то уравнение (34) запишется в виде х+ е» (х «- Ьх) = О. (36) Уравненне (35) описывает нелинейные колебания, так как прн смене направления движения меняется знак перед Ьх.
Рассмотрим характер этих колебаний. Положим в момент 1=0 о(0)=0 н х(0)=п»>0. Положительному значению х(0) соответствуют знак «+» в (32) н, следовательно, знак « — » в уравнении (36). Если а»>Ах, то возникает момент снл, создающий движение к положению равновесия. Прн а«(бх такого движения не возникает.~Маятник, предоставленный сам себе, остается в отклоненном положении, т. е. имеется тап называемая зона застоя.
Прн этом момент снл трения определяется не законом (31), а условием обращения в нуль правой части уравнения (30). Рассмотрим случай а»>2Лх. Введем величину З=х — Лх. Уравнение для 5(1) имеет вид (37) Решение уравнения (37) с учетом начальных условий 3(0) = =о(0) =О, ЯО)=а,— Лх 5,>Ах нмеет-внд Я=Я,созея'. (38) чальный момент времени и(0) =х(0) =О, то прн х(0) =х»>0 движение начнется в сторону отрицательных х, т. е.
на протяжении первого полупернода о(1) (О, такой же знак будет иметь и угловая скорость ~р(1). Прн этом нз условия замедляющего действия момента М,„в (31) должен быть выбран знак «+». При обратном движении (о>0) нужно выбирать в (31) знак « — », т. е. знак в (31) выбирается таким, какой имеет амплитудное отклонение х(1») (о(1«) =0) в начале полупериода. Вводя Через полпериода, когда скорость вновь обратится в нуль, Б(Т(2) = — Яо. При этом для отклонения х(Т/2) получим х (Т/2) = 3 (Т/2) + Ьх = — (ао — 2Лх), (39) т. е. за полпериода амплитуда уменьшится на 2йх, Если новая амплитуда а,=(х(Т/2) ~ )2Лх, то при обратном движении за следующую половину периода амплитуда опять уменьшится на 2Ьх. При обратном движении в уравнении (36) следует взять знак «+» и ввести 5(1) =х+Ьх (х(Т/2) <0). Таким образом, за каждую половину периода амплитуда будет уменьшаться на 2Лх. Так будет происходить до тех пор, пока какая-то амплитуда не станет меньше 2Лх.
Чтобы рассмотреть, что будет происходить в этом случае, положим начальное отклонение х(0) =по)0, но /ъх<ао< <24ъх. В соответствии с (39) при этом получим отклонение х в момент Т/2, равное х(Т/2) = — (а,— 2Лх) ) О, 0 < х(Т/2) < Лх, (40) т. е. маятник остановится в зоне застоя в области положительных значений х. Таким образом, до тек пор, пока амплитуды будут больше 4Лх, за каждый период они будут уменьшаться на 4Лх. Зная уменьшение амплитуды за и полных периодов, можно определить д ло лл оп (41) С другой стороны, из (32) и соотношения Лх=гбор следует, что /оо= ~ с(ну. (42) /о Из (41) и (40) получим 175 /оо — — с(оо у о (43) ' оо 4л Упражнение 1. Описание установки. На массивном основании (рис. 10.11) с тремя установочными винтами может вращаться вокруг горизонтальной оси АВ стержень Со) с плоскостью Б.
На плоскости Е укреплена подвижная шкала с вертикальным отсчетом и паз, в который закладывается стеклянная пластинка или полоска мягкой резины. Винтом с правой стороны можно закреплять стержень с плоскостью под некоторым углом у к вертикали. Величина этого угла измеряется по отвесу, который укреплен под плоскостью. Маятник — стальной шарик на тонкой нити — подвешивается на муфточке, закрепленной на конце стержня. Для получения линейных колебаний з)п р=р стержень необходимо отклонить к себе до упора. Это позволит маятнику совершать колебания в вертикальной плоскости. Для получения нелинейных колебаний стержень с плоскостью отклоняют от себя под углом Т)О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
