А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Лебедевым. Применяется (рис. 10.5) стальной цилиндр А, находящийся на плоской металлической плите В. Цилиндр закреплен в обойме С, которая имеет стержни В и Е. Первый является стрелкой к шкале Н. На втором, проходящем через ея ' 163 отверстие в плите, закреплен груз б. Подвижная часть установки может быть названа «маятником». При отклонении ее от положения равновесия она совершает нелинейные затухающие колебания. Ось цилиндра при этом двигается поступательно, сам цилиндр вращается вокруг этой оси.
Рис. 10.6 Рис. 10.5 Отклонение стрелки по шкале будет (рис. 10.6), следовательно, суммой двух отклонений: О, снйа,1 (1) пи = Ь1яа = 1.а, (2) где а †уг поворота цилиндра, К вЂ е радиус, Ь вЂ” расстояние от оси цилиндра до шкалы, а~ †отклонен оси цилиндра, о»в отклонение, вызванное вращением цилиндра вокруг его оси. Для суммарного отклонения получим Я=а,+аи=Яа+Е1йа.
(3) При малых углах а (а«1 рад) 1я а=а, в этом случае 5= (А+Я) а. (4) Для начального отклонения и отклонения после п полных периодов колебаний соответственно получим ас=, а„= —. 8в Ли (б) а+я ' " ь+я Уменьшение угла отклонения за известное число периодов колебаний маятника дает возможность (см. ниже) вычислить величину коэ фициента трения качения. од цилиндр могут подкладываться плоские пластинки из различного материала. Это позволяет определять коэффициенты тре- ния качения для различных пар материалов и сравнивать их между собой. Теория. Выведем формулу для расчета на-описанной установке коэффициента трения качения, считая силу трения не зависящей от скорости движения маятника.
Воспользуемся законом сохранения энергии. При начальном отклонении маятника на угол ао его Рис 10.7 потенциальная энергия может быть представлена (см. рис. 10.7) в виде Еа — — Рйа —— Р1 (1 — соз а,), (6) где Ьз — перемещение по вертикали точки центра. тяжести маятника, Р— его вес, 1 — расстояние между точкой центра тяжести и осью маятника. Через один полный период колебаний маятника аналогично получим Е, = Р1 (1 — соз а,), (7) (8) где о~ †уг отклонения маятника через один полный период ко- лебаний.
Уменьшение потенциальной энергии будет ЬЕ=2Р! (з1п' '~ — з(п' — '"' 1, 2 2 )' при а(0.1 радиана получим ЛЕ = 0.8 Р1 (аД вЂ” аз). (9) Это уменьшение энергии, если пренебречь силами трения о воздух, вызвано работой против сил трения качения. За один полный пе- риод колебаний маятника работа может быть записана так: АА = ИгР (оэ+ оыз+ яыз+ сгД, (10) где й~ — коэффициент трения качения, аыз †уг отклонения пос- ле одного полупериода. Произведение И~Р представляет момент силы трения качения. Исключим из этого уравнения угол аггг.
Пусть Ла — уменьше- ние угла отклонения за один полупериод. Пользуясь этим, можем написать апг=ао — Ла, а„=аыг — Ьа. Из уравнения (10) и (11) получим ЛА = 2й,Р(ао+ а,). (12) Приравнивая уравнения (9) и (12) одно к другому, получим й, = — 1(а,— а,). 1 (13) 4 Для и полных периодов колебаний имеем: 1 й, = — — (а,— а„).
4 л Пользуясь уравнением (5), окончательно получим о 1 1 Зо Ял кг= —— 4 л А+Я (15) Этой формулой и пользуются для вычисления величины коэффициента трения качения. Измерения. Для вычисления коэффициента трения качения по формуле (5) необходимо измерить: 1) начальное отклонение маЯтника 341 2) его отклонение 5, после и полных периодов его колебаний; 3) число и этих периодов.
Величины 1, Ь и Я даются на установке. Удобно заранее установить разность 5о — 5„ задав начальное и конечное (после и полных периодов колебаний) отклонения по шкале, В этом случае все измерения сводятся только к отсчету числа и полных периодов колебаний маятника. В применяемой установке начальное отклонение взято в 2,5 см, конечное — в 1,0 см.
В этом интервале отклонений маятника при Яо — 3 = 1,5 см и отсчитывается число и его полных периодов колебаний. Отсчет производится не менее пяти раз. Пользуясь средним арифметическим значением этой величины, по формуле (15) вычисляют коэффициент трения качения. Цилиндр на плите должен занимать положение, не препятствующее его перекатыванию. Шкала может несколько перемещаться в горизонтальном направлении. Это позволяет совместить нуль шкалы с концом стрелки покоящегося маятника.
Отклонение маятника производится вручную до упора, который может передвигаться в требуемое положение. Это позволяет каждый раз отклонять установленный маятник на нужное деление шкалы. Отклонение маятника н необходимо производить очень осторожно, Перекатывание цилиндра при отклонении маятника не должно сопровождаться его проскальзыванием по плите. После определения коэффициента трения качения для пары сталь — материал пластины нх определяют и для других пар материалов. Для этого под цилиндр подкладывают пластинки различных указанных на установке материалов. Поверхность пластинок обрабатывалась на обычном станке и не шлифовалась. Профиль шероховатости поэтому не одинаков в разных направлениях.
Естественно, что при перекатывании цилиндра вдоль по длине пластинки и поперек ее будут получать несколько различные значения величины коэффициента трения качения. Не следует поэтому изменять положение пластинок при повторных измерениях. Полученные значения коэффициентов трения качения для разных пар сравниваются между собой. Литература: [11 — $34, 36; [21 — $17; [3] — $69, 135 — 137; [41 — $72 — 76, 123 — 126. Лабораторная работа 16 Собственные линейные н нелинейные колебания, измерение коэффициентов трения (3) (4) Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер. Теория. $.
Линейные колебания. Движение маятника с тре- мнем, пропорциональным величине скорости. Рассмотрим колеба- ния шарика, подвешенного на тонкой невесомой нити и совершаю- щего движение в вертикальной плоскости. Движение шарика мож- но представить как совокупность двух движений: поступательного движения и вращения вокруг горизонтальной оси, проходящей че- рез центр масс. Обозначим угол отклонения нити от вертикали через 6, а угол, который образует с вертикалью прямая ОР, про- ходящая через центр шара О и точку крепления нити Р (рис. 10.8), через ф. Введем декартову систему координат.
Начало координат выберем в точке, совпадающей с центром шара в положении рав- новесия. Ось ОЕ направим вертикально вниз, ось ОХ вЂ” в плоско- сти колебаний, ось ОУ выберем перпендикулярно плоскости коле- бания. Пусть длина нити равна 1, а радиус шарика — г. При этом для координат центра шара получим х=!япй+гз(пф (1) г =1(1 — соз р) + г (1 — соз ф). (2) Уравнения движения для центра масс имеют вид тх= — Тяп[1, гпз=тй — Тсоз[), где Т вЂ” натяжение нити. Учитывая, что момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр, равен 2/бппа, получим уравнение моментов в виде 2/5 тг'у = — Тг з1 и (ф — ()).
(5) Из уравнения (5) видно, что при движении шарика углы 1р и Р не могут тождественно совпадать, так как иначе ие возникло бы угловое ускорение. Этим обстоятельством движение шарика, подвешенного на тонкой нити, отличается от движения шарика, закрепленного в виде маятника на тонкой упругой спице. Рис.
10.8 (р+ р= — аР, — г1р = — а (Ф вЂ” ()). 2 б (7) Рассматриваемая колебательная система при фиксированной плоскости колебаний является системой с двумя степенями свободы. Частные случаи, в которых обе переменные изменятся с одинаковой частотой, называются нормальными колебаниями (или нормальными модами). Мы ограничимся рассмотрением частных случаев, для которых в начальный момент (1(0) =ф(0) =О.
В этом случае нормальные колебания можно искать в виде () = ~л соз гав, (8) (9) Ж = три соз гэь1. 108 В случае малых углов з(п р и з1п~р можно заменить углами и в уравнениях (3) и (5) натяжение Т заменить силой тд. При этом получим уравнения' (6) Подставляя (8) н (9) в уравнения (6) н (7) (после сокращения на множитель соз вн1), получим систему уравнений (!гэз — а)1л+ го)2 $ = О, I 2 а(1 +~ — ' — а) Ь=0. (, 5 (10) (11) .
Эта система однородных уравнений имеет отличные от нуля реше- ння для ()э, ~р» лишь прн условии, что детерминант системы равен нулю, т. е. Уравнение (12) является уравнением для определения нормальных частот ан.' Обозначим корни гээз этого уравнения через аР н азз. С учетом малости г/1 вР н вз' можно представить в виде — (1» = 1+ г) ~ 1а 2 ~21 э о 5 (13) м»= — й ~ — + — ) 5 1 1 Ъ (14) Из (15) видно, что при таком колебании центр шара не смещается в направлении оси Ох.
Этн колебания можно легко наблюдать, если повернуть шар вокруг оси, проходящей через его центр (стараясь не сместить центр в направлении осн Ох), и отпустить (рис. 10.9). Соответствующим подбором начальных отклонений можно возбудить лишь одну «мягкую» моду с частотой ен. Для этого под- (Для получения (13) необходимо квадратный корень, возникающий в точном выражении для мэ', разложить как бином Ньютона с учетом первых четырех членов.) Заметим, что частота в~ совпадает с частотой маятника, который получится, если нить заменить тонким невесомым стержнем с горизонтальной осью, проходящей через точку подвеса. В общем случае колебательный процесс является суперпознцией обеих нормальных мод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
