А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 36
Текст из файла (страница 36)
11.5,а). Пусть уравнение искомой линии будет у=1(1) (рис. 11.5,в). При малой деформации стержня угол между направлением касательной к упругой линии в точке 1 равен а изменение направления касательной при переходе от точки 1 к точке 1+51 равно ба= — 11 — ~ б1= — Й. 4 2адз 82у е1 1 е1 ~ 812 Из рис. 11.5,б и 11,5,в ~видно, что относительное удлинение слоя, наиболее удаленного от нейтрального, равно а ь () = — —. Ь1 2 Используя закон Гука, получаем оь(1)=ЕзЯ=Е ДЬк' 2 812 (11.12) 186 Учитывая найденную связь между М2 и оь(1) (11.11), получаем окончательно уравнение для определения зависимости у=)(1).
д~у 12Р, (11.13) 412 азьЕ ляется шестью величинами (числами), которые представляют собой компоненты симметричного тензора второго ранга. Для рассмотрения связи между напряжениями на различных площадках, проходящих вблизи данной точки„ можно рассмотреть равновесие бесконечно малого тетраэдра, вырезанного из тела вблизи этой точки (рис. 11.7). Будем отмечать оси системы координат цифрами 1, 2, 3, а проекции векторов на эти оси — соответствующими цифровыми индексами.
Обозначим дЯ вЂ” площадь грани АВС, 45~ — площадь грани ОВС, джаз — площадь ОВА, 65з— площадь ОАС. Равновесие всех сил, действующих на поверхность тетраэдра, будет иметь место при условии а,45 — а,<Б, — авбЯв — азбЯз = О, (11.17) где о„, оь аз, аз — векторы напряжений, действующих на соответ- ствующие площадки. После деления (11.17) на бЯ получаем (11.18) а~ = тз ' аз+ тв ' аз+ тв ' аз а, = анез+а„е, +авзев, ав = а,ве, + оз,ев+ о,вев, оз = озвез+ оззез+ оззев (11.19) Здесь приняты обозначения: е„ев, ез — единичные векторы осей координат.
Компоненты с одинаковыми индексами: ан, оаь озв— нормальные к площадке напряжения, с различными индексами: онь озь озв -. — касательные напряжения. Подставим значения векторов аь оз, оз из (11.19) в (11.18) после скалярного поочередного умножения на еь ем ез, найдем проекции вектора а, на оси 1, 2, 3: а„,=опт,+а, т +а,рв, авв = авзтз + аввтз+ авзтв озз = аззтз + оввтз+ азвтв.
(11.20) Записи (11.20) соответствует более короткая запись, если исполь- зовать понятие тензора напряжений 7: (11.21) а=Т т, 188 где ть тз, тз — направляющие косинусы нормали к площадке ЙЗ, т. е. три вектора оь ов, ов определяют вектор а„— напряжение на любой площадке с нормалью т. Трн вектора представляют совокупность девяти чисел — проекций этих векторов на оси координат.
Запишем векторы аь ом 'аз в компонентах где ч — вектор нормали к площадке, тензор Т представляется мат- рнцей /авв авв авв'( Т = а, авв а (,ав1 авв авв/ (11.22у Используя условия равновесия выделенною объема, можно. показать, что авв=авв авв=авв. (11.23)~ т. е. тензор напряжения является симметричным, его компоненты с разными индексами попарно равны друг другу. Коэффициент Пуассона. При одностороннем растяжении стержня кроме изменения длины изменяются также его поперечные размеры.
Относительное изменение поперечного размера опрев деляется равенством И„ ех — — —, (11.24~ где 1 и Ых — некоторые линейные поперечные размеры стержня и их изменение. Величина ех (Ы /(„) р (11.25у е (ИЯ называется коэффициентом Пуассона. Знак «минус» учитывает, что при растяжении поперечные размеры уменьшаются, а„-,при сжатии увеличиваются. Пусть имеется куб со стороной 1 и объемом У=В. При растяжении его объем изменится У' =1(1+ е) /в(! + ех) = У(1+а+ 2вх) (11.26) При растяжении объем тела увеличивается, при сжатии уменьшается, поэтому ЛУ и е в (11.27) одного знака, а значит, (в(1/2. (11.28» Таким образом, максимальное значение коэффициента Пуассо« на равно (ьевх —— 1/2.
В этом случае при растяжении и сжатии объем тела не изменяется. Тензор деформаций. Рассмотрим деформацию произвольного малого объема тела. Пусть до деформации положение произвольных двух точек определялось векторами г~ и гв, а после дефор- (здесь отброшены члены второго порядка малости). Из (11.26) следует, что У' У У У = — = е+ 2ех = е (1 — 2(в). (11.27у мации — г ! и г'х. Расстояния между этими точками до и после деформации равны соответственно !11= (гх — г,~ =)~!(х!,+!(х'+бхх 3,2 .2 81'=!гг — г!~ = У бх! +бха+бхз, 1 где Нх!, х(х'! — расстояния между точками вдоль !-й координаты 1 1 —:3 до и после деформации.
Обозначим бх'!=бх!+бз! (1=1— — 3), тогда для малых деформаций (бз!/йх!«1) получим з з (Ж')х=~ (бх!+бз!)х=(с(1)'+2~~ бз!бх!, $=! !=! учитывая, что дк! дквп дх! получаем з з (2)!+2~ ~ ! ( дю! + дхт ) „ ! !1=! Коэффициенты перед бх!. бх! (11.29) (11.30) нзор, бг'=(5,+Б,) бг, где 5, — тензор деформаций, 5, — антисимметричный те определяющий поворот элемента рассматриваемого объема вокруг осей 1, 2, 3. Рассмотрим физический смысл отдельных компонент тензора дх! Л,.
Диагональные элементы зп = — (! = 1 —: 3) представляют дх! собой относительные удлинения или сжатия з! по соответствующим координатам. Остальные представляют собой повороты линий, которые были до деформации параллельны осям координат. Эти линии повернутся на некоторые малые углы; проекция линий, соответствующих осям 1, 2, на плоскость (1, 2) показана на рис. 11.18. Из чертежа видно, что дх, дх! + дк! дх! $90 являются элементами тензора деформации 5,.
Как видно из (11.29), он является симметричным. Можно показать, что выполняется соотношение х равно изменению вследствие деформации прямых углов в плоскости, нормальной к оси 3, которое обозначают аз=ухо Аналогично + =узз=узь + =7зз=узз дхз дхз дхз дхз йхз Рес 11.8 т. е. тензор Зс можно записать в виде 1 1 7зз 7зз ~ 2 2 1 — 7м ез 2 (11.31~ 1 1 2 7зз 2 7зз е Связь между напряжениями и деформациями. Для кристалли- ческого анизотропного тела, упругие свойства которого зависят от выбранного направления, существует зависимость каждой компо- ненты тензора деформаций от всех компонент тензора напряже- ний. В случае изотропного тела достаточно только двух коэффи- циентов, чтобы установить связь между деформациями и напря- жениями.
В частности, для произвольной деформации однородногзз кубика выполняются соотношения 1 ез = — ((1+ (з) оп — р (о„+ о„+ озз)), ! е, = — ((1+ р) ам — р (а„+ о„+азз)), Е 1 е, = — ((1+ р) озз — р (о„+ о„+ ом)). Е (11.32)з Действительно, пусть к малому злементу объема приложеньз произвольные напряжения, тогда относительное удлинение вдоль. например, оси 1 будет меньше величины оп)Е (см. (11.3)) на величину дополнительного сжатия, возникающего из-за действии .
растягивающих усилий по осям 2 и 3 (ом. (11.25)), т. е. откуда и следует .первое равенство из (1!.32), аналогичные соотношения выполняются и при рассмотрении удлинений вдоль других осей. Соотношения (11.32) позволяют определить изменение объема при произвольной деформации и связь между модулем Юнга н модулем сдвига. Пусть деформации подвергается тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами 1ь !ь 1е. Под действием приложенных напряжений при малых деформациях объем тела изменится на величину ЬУ = Л (11 1е(е) = 1е1Фе+ 1Ме(е+ б111 (э~ т. е. ЬУ а11 а)е а)в — = — + — '+ — '=е,+е +е.
1, При всестороннем сжатии, когда оп=ам — — оее=а, учитывая (11.32), получаем И~ 3 — = — (1 — 2р) о. Е (11.33) При деформации сдвига изменения объема не происходит, т. е. в~+ее+ее=О, позтому из (11.32) получаем — ((1 — 2р) оп+ (1 — 2р) о„+ (1 — 2р) о„) = О. 1 Таким образом, деформация сдвига возможна только при выполнении условия (11.34) ам+ох,+а =О, подставляя это условие в (11.32), получаем е,= — о„е,= о,з= — о. 1 11 )е 1+)е 1+)е Е Е а 3 — Е (11.35) т 1е,/(2У2) !+и 2 11(2-У2) ' Е (11.36) 192 Покажем, что деформация, при которой выполняются соотношения (11.34), (11.35), является деформацией сдвига.
Для простоты рассмотрим случай, когда 1е=1~=1 и ое — — О, т. е. оп — — — ааь з1= — ее (рис. 11.9). Деформацию в атом случае удобно рассматривать для параллелепипеда с основанием ЕРЙН, повернутого относительно АБСР на угол п/4 (ЕРИН вЂ” квадрат со стороной .а=11"12), На стороны квадрата будут действовать только касательные усилия т, изменение углов между сторонами квадрата ЕРИН можно выразить через относительные изменения длин его диагоналей е1= — ее (см.
рис. 11.9). Учитывая, что Е'0='е~(212), получаем аие (11.5), то получаем связь между модулем Юнга и модулем сдвига 6= (11.38) 21!+и) (11.39) бА, = (о„дх, дх,) (де, дх,). Аналогичные соотношения будут выполняться и для других направлений. Выражения для ан, ооь ооо определим из (11.32) (11.40) здесь обозначено Зе =о~+ее+ее. Учитывая (11.39), (11.40), а также (11.38), получаем окончательные выражения для элементарных работ бАт=26(е,+ Р Зе) детдо, 1 — 2о 6А =26(е + и Зе) деодо 1! — 2р бА, = 26 (ее+ " Зе) деодо. ,1 — 2р (11.41) Полную работу для нормальных усилий дА„затраченную на де- формацию малого объема, получаем, интегрируя (11.41): й~ оу е, оо дА„-26(~хдх+~хдх+) хдх+ " ~хдх) до= о о о о = 6 (ео+ е'+ ее+ В (Зе)о) ди.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
