А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В результате получим Вводя безразмерную относительную амплитуду смещения и= =Аз/Ри/й = Аий/Ро, 'получаем (12.38) т' (1 — т')*+— (Р Графики зависимости относительных амплитуд смещения и от у для различных Я приведены на рис. -12.4. гу Рис. 12.4 Рве. 12.5 Наряду со смещением важную роль играет зависимость квадрата смещения от частоты или т, имеющая смысл энергии осциллятора. Считая вблизи резонанса м~~ви н ви — в=А'еч. 'аи, из (12.32) получаем о ~г 1 О ° Д' В( + ) ° +4би( +ДЪ) ° 4 (дв)~аии+ 4Уа~ ~'и 4еии((дв)и+ Ди) Так как при резонансе Айзек=(рви/т')(1/4био4, то на половине высоты резонансной кривой 1/2Аар„,— — (Рй/а1и)(1/8биоф.
Приравнивая полученное выражение (12.39), получаем Д'в=б илн полушнрину резонансной кривой Де=26'в=28, а на безразмерной резонансной кривой (12.38) —, Ц=, (12.40) еи еи еи ев Ч '6 — ти где т1 н уи — два значения (слева и справа от резонанса), соответствующие значению 1/2 и'. Наряду с резонансной кривой смещения и важно рассмотреть резонансные кривые для скорости н ускорения. Для гармонической внешней силы частное решение уравнении движения будет У=Явим (см. (12.30)). Дифференцируя это решение по времени, получаем х = пеАаьэ' = це'"', (12.41» х= валье!а~=щ1ЕУ (12.42) Далее, действуя так же, как при получении выражения (12.32), и вводя безразмерные значении скорости с=оаГЬи/га и ускорении и=от/Рм получаем в безразмерных координатах следующие резонансные кривые, изображенные для разных Я на рис. 12.5 и рис.
12.0 соответственно: с= 3 Π— тези Ф" ЮЯ'~ г (12.43) (12,44)~ Рнс. 12.6 В заключение п. 4 рассмотрим фазово-частотную характеристику установившихся вынужденных колебаний, т. е. зависимость разности фаз между смещением в возникающих колебаниях и вынуждающей силой. Эта зависимость получена в (12.32). Приведем ее к безразмерным параметрам %= «Ц( —, ) Ив ( " ).. (124е 2036 ез ~— в' Я ( г — 1) Эта зависимость представлена для различных Я на рис. 12.7. При Я-~ оо (отсутствие затухания) при э=ар„(у=1) происходит скачок фазы на и. При всех конечных Я (наличие затухания) при резонансе т=1 'сдвиг фаз между смещением и вынуждающей си-' лой — и/2= — 90'.
Смещение отстает по фазе на и/2 от силы; Ис-' пользуя (12.41) и (12.42), легко показать, что при любом конеч-' ном Я скорость опережает внешнюю овлу по фазе на н/2 — ~р, а ускорение опережает внешнюю силу по фазе на н — ~р. При резонансе 2=1 скорость совпадает по фазе с внешней силой. Литература к главе 12: [11 — гл. ХП1; [2] — гл. Ч1; [3)— тл. ХЧП; [4) — гл. Х1Ч; [81 — гл. 1, 1П.
Рис. 12.7 Лабораторная работа 21 Собственные колебания пружинного маятника Введение. Рассмотрим пружинный маятник (рис. 12.8), состоящий нз тела массы т и легкой, имеющей достаточно большое число витков (см. лабораторную работу 19) пружины. В общем случае в зависимости от способа возбуждения (начальных условий) указанный пружинный маятник может совершать достаточно сложные колебательные движения в пространстве. Однако если оттянуть тело маятника т строго вертикально вниз на небольшое расстояние и отпустить маятник, то он начнет совершать колебания только вдоль вертикальной лйнии.
'В этом случае для описания указанных колебаний требуется только один параметр (координата), описывающий положение центра масс маятника по вертикальной оси. Таким образом реализуется случай колебания с одной степенью свободы. Начало координат на вертикальной осн Х выберем таким образом, что при к=О масса и находилась в состоянии равновесия. При, этом сила тяжести шя будет скомпенсирована некоторым начальным растяжением пружины и в. дальнейшем рассмотрении участвовать не будет. Рис. 12.8 В данной лабораторной работе исследуются собственные колебания пружинного маятника, т.
е. те колебания, которые возникают в системе после снятия воздействия внешней силы, выведшей маятник из состояния равновесия. Прн отклонении тела из точки равновесия будет возникать внутренняя возвращающая сила упругости ~„, направлеинная к точке равновесия. Если величина деформации (отклонения) маятника мала, т. е. много меньше- первоначальной длины маятника, то можно воспользоваться законом Гука, согласно которому 1ю= — йХ, (1) где Й вЂ” коэффициент жесткости пружины, зависящий от ее геометрических размеров и материала, из которого она изготовлена. Кроме возвращающей силы 1,а на маятник будет действовать- сила трения ~,р.
В данной конструкции отсутствует сила сухого трения. Однако маятник будет испытывать сопротивление воздуха, т. е. силу «вязкого» трения. При малых амплитудах колебаний скорость движения массы маятника будет мала, и тогда можно воспользоваться линейным приближением, считая г. = — Ьх=йо, (2). где Ь вЂ” коэффициент трения. Используя выражения (1) и (2), можно записать уравнение тх = — йх — /и, (3). которое совпадает с выражением (12.14) для затухающего гармонического осциллятора.
Таким образом, рассмотренный пружинный маятник можно. рассматривать как затухающий гармонический механический осциллятор, теория колебания которого рассмотрена во введении (П.1 — П.З). Описание установки Установка для изучения собственных и вынужденных колебаний состоит из следующих частей* (см. рис. 12.9): пружинного маятника, состоящего из пружины А, двух масс т, и тле, катушки возбуждения Ье и измерительной катушки 1.,сь Рве. 12.9 Одна из масс маятника пс1 выполнена в виде полого цилиндра, внутри которого находится постоянный магнит. Другая масса выполнена из железа и может быть помещена в стакан, наполненный водой. При движении груза в воде возникает вязкое трение, которое при небольшой амплитуде колебаний пропорционально скорости.
Величина силы трения зависит от формы тела. При наличии колебаний массы тль содержащей магнит, в измерительной катушке Е,м возникает злектродзижущая сила индукции, которая определяется скоростью изменения магнитного потока и числом витков измерительной катушки. Как известно, е В соадаввв уставовкв врввкмалв участке вывускввкк факультета Т. А. Крамаревко в В. А. Молодцов, которым автори вырамаие Златодарвость.
величина магнитного потока Ф равна произведению магнитной индукции В на среднюю площадь измерительной катушки Б. Йндукция магнитного поля В, создаваемая магнитом и измерительной катушке, плавно уменьшается с увеличением расстояния между магнитом и катушкой. Если колебания маятника малы по сравнению с расстоянием между магнитом и катушкой, то изменение индукции бВ можно написать в виде дВ/дх~,р дх, где бВ/дх~,р — среднее значение производной.
Используя выражение для ЭДС электромагнитной индукции, можно написать й =л — =п8 — =п8 — ~~ — = лЯ вЂ” ~~о, ЙФ ЗВ ЗВ ! Зх дВ 1 й й дх ~рй (Ь| где и — скорость движения маятника. Отсюда видно, что ЭДС Б, возникающая .на измерительной катушке, пропорциональна скорости движения маятника о.
При изучении собственных колебаний для задания начальною отклонения на катушку возбуждения подается постоянное напряжение (тумблер «вкл» на источнике напряжения) и груз притягивается к катушке. При выключении напряжения исчезает сила притяжения между грузом и катушкой возбуждения и в системе возникают собственные затухающие колебания. Для выполнения лабораторной работы студенту предоставляются две различные пружины и два тела маятника с известными массами. По указанию преподавателя исследованию подлежат все четыре пружинных маятника, образованных всеми комбинациями указанных пружин и масс, или часть из них.
' Первое упражнение заключается в определении коэффициентов жесткости предоставленных пружин статическим методом и вычисления на основе этих измерений собственных частот исследуемых маятников. Измерения проводятся на специальном стенде путем определения удлинения под действием известных по массе грузов. Коэффициент жесткости находится по формуле й= —. М~у ах~ Прн расчете собственных частот исследуемых маятников необходимо учитывать массу т~ магнита, величина которой указана на установке 1 / чч= = ь' 1 шв+п11 Второе упражнение заключается в измерении собственных частот исследуемых маятников динамическим методом. Для выполнения этого упражнения выбранный маятник, т.
е. пружину, массу с магнитом гп~ и тело маятника тз, подвешивают на установку (см. рис. 12.9). Рас. !2.!О Тремя установочными винтами корпуса установки добиваются того, чтобы масса и, располагалась строго по оси измерительной катушки так, чтобы при своем колебании она не касалась ее края. На возбуждающую катушку устанавливается пустой стакан или пластмассовая пластина, равная по толщине дну стакана. Находящимся в верхней части установки регулировочным винтом устанавливают зазор между пластинкой и массой тэ, равный ж1 см.
После этого необходимо подключить к установке осциллограф 1, генератор 2 и источник 3 согласно схеме, изображенной на рис. 12.9. Указанные приборы включаются тумблерами «сеть 220 В». Первоначально наблюдают вид собственных колебаний маятника на экране осциллографа (рис. 12.10). Для этого устанавливают чувствительность осциллографа (канал г') 1 на шкалу 1 —:5 мВ/см (см. рис.
12.9), а ручку плавной регулировки чувствительности устанавливают в крайнее (по часовой стрелке) положение. Переключатель развертки 3 устанавливается в положение «хХ1», а скорость развертки 4 — на уровне 0,5 —:1 с/дел. Ручку плавной регулировки развертки 5 установить в крайнее (по часовой стрелке) положение.
Положение луча на экране необходимо отрегулировать ручками «вверх-вниз» (6) и «влево-вправо» (7). Для возбуждения колебаний включают тумблер сеть источника питания возбуждающей катушки и через несколько секунд вы230 ключают его. Указанными регулировками добиваются наиболее полной картины колебаний иа экране осциллографа. Далее приступают к измерению частоты собственных колебаний маятника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
