А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 44
Текст из файла (страница 44)
13, $53; 131 — гл. УП, $140, 141; [5]— гл. 3, $10 — 15. Лабораторная работа 28 Изучение колебаний связанных маятников Два математических маятника, связанных между собой пружиной, являются простейшим примером связанной системы. Каждый свободный математический маятник, как известно, обладает двумя степенями свободы, т. е. для списания его движения требуется два параметра †уг смещения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Система из двух маятников описывается четырьмя парамет рами и, следовательно, имеет четыре степени свободы.
Если коле бания, соответствующие каждой из степеней свободы, независи мы, то задача описания движения системы является чисто кине магической, т. е. задачей разложения сложного движения на сумму более простых движений. Если между движениями по раз личным степеням свободы имеется динамическая связь, при кото рой движение по одной степени свободы вызывает динамические изменения во всех остальных степенях свободы, то это приводит к обмену колебательной энергии между степенями свободы, приводя к новым физическим явлениям, отсутствующим у независимой системы ~~11. В настоящей лабораторной работе изучаются колебания системы из двух связанных одинаковых маятников, имеющих только две степени свободы. Для этого подвес каждого маятника осуществляется при помощи маленьких подшипников, обладающих малым трением, которые позволяют маятникам двигаться только в вертикальной плоскости, проходящей через линию, соединяющую точки подвеса (рис.
12.12). Рис. 12.12 Рис. 12.13 Как известно, для свободного математического маятника у авнение моментов будет ика урав- дв 1 — = — тд! зщ а. аг Раскладывая з1па в ряд Тейлора з1п аида — а'/31+.... и огра-' ничиваясь линейным членом и учитывая, что У=т)з, получаем уравнение гармонического осциллятора (см. введение, п.
1) т1са+тй1а=О нлн а+а'а=О, (2) где о=~у/~. В случае связанных маятников на каждый мая уд д йствовать дополнительная сила со стороны пруж тник Рс кото ая рая при небольших отклонениях маятников может быть р ны пружины рассчитана из закона Гука — Р„=йЬх=й1~(аз — а~). Эта сила создает дополнительный момент, который необходимо учитывать, .и тогда вместо (2) получаем (см.
рис. 12.13) для первого и второго маятников, соответственно гни = — тд!зта,+Р 1,созо„ы — тд1а,+й1~~(а,— ат), тРаз = — тй4 зш аз — Р,„1, соз а,'ж — ту1аз — И1 (аз — ат), (3) (4) тде учтено, что соз а 1 — (аз/2!) +.... Из (3) и (4) получаем Ыз а + — а,— — (а — а,)=0, а1 М1~ а, + — а, + — (а,— а1) = О. т1 (б) Складывая и вычитая (5) и (6) и вводя обозначения %=а1+оз и Ч'з=а1 — оз, получаем Ф1+в1% =О, 2 ф,+взф,=О, ч /г я вы~~ где вх=')Я7( и в,= зт, — +— 1 вп Уравнения (7) и (8) являются уравнениями гармонического ос. циллятора, и их решение (см.
введение, и. 1) будет (7) (8) (9) (10) %(Г) =Аоз(п(М+фд ~Рз (1) = В, гйп (взг+ <рз), 1и р,= —.; (нр,= —. ФнФь . Мвв (12) Возвращаясь к прежним координатам а~ и оз и проделывая пре- образования, обратные тем, при которых были получены (7) и (8), получаем (13) (14) ат(1) = А з(п (е11+ ф,) + В гйп (взг+ <рз), аз(1) =Аз)п(е11+уД вЂ” Взш (езт+ ~рз). Таким образом, колебания каждого маятника удалось описать при помощи суперпозиции двух гармонических колебаний Ч"1 и Ч'з, которые получили название нормальных колебаний. 23З где Ав Вв ~р1 и ~рз определяются из начальных условий при г=О и будут равны Амплитуды А и В и фазы ~р1 и «ро определяются из начальных условий («0) и будут равны А= — =— А« 2 2 (18) в= — = —;, (-.,—.,) + н«1и/ «(аы — а««1' 2 2 ао (16) -р = '".+""."' 1ир = '".
'".*'"' '8%= ' КЧ«= а««+ ао«а««а«« (1Т) ао(«)= — «(сова,«+созао«)=ао«соз1 а«а' «)соз( ' «) . (18) 2 Считая, как в нашем случае, связь достаточно слабой, т. е. считая, что п«п«а~й«1Ла, получаем, что а1жиоо и Ьв=во — в1» »в' (а«+во)/2. В этом случае (18) описывает так называемые биения двух близких частот, т. е. а~(«) мы можем. рассматривать Рис. 12.14 '(см. рис. 12.14) как колебания, происходящие с периодом Т1= =2п/а'=4п/а1 + ао, амплитуда которого медленно (по отношению к Т1) меняется со временем по закону аосозЬв «/2 с периодом Т«=4п/ао — в, (т.
е. Т«~Т1). Рассмотрим конкретные примеры. А. Пусть в начальный момент времени второй маятник находится в состоянии покоя, а первый маятник отклонен на начальный угол а«1. Тогда ам=ам=О; а«1чаО; а«1=0, откуда А= =аоЛ; В=ам/2; 18«р~=18<ро=ос; <р1=«ро=п/2. Соответственно для первого маятника получаем закон движения Для второго маятника, находящегося в начальный момент в покое, аналогичным образом получаем а, (г) = 1 (соз в / — соз вот) = — а„яп — з)п вг. (19) 2 2 Б. Пусть в начальный момент времени 1=0 оба маятника от- клонены от положения равновесия в одну сторону на равный угол ао1=аоо. Тогда из начальных условий получаем ао1=аоо, 4то|=аое=О и соответственно А=ао~,' В=О; ф1 — — фо —— п/о, а1 ()) = ао1 соз в11, ао (1) = ао, соз в,г. Оба маятника синхронно колеблются с первой нормальной часто- той (21) (22) (23) Описание установки.
Установка состоит из деревянной рамы Р 2см. рис. 12.15) с установочными винтами В, на которой подвешены два одинаковых маятника А~ и Аз. Маятники состоят из длинных легких стержней Е, на нижнем конце которых укреплены чечевицы массы по. Верхние концы стержней Ь укреплены во внутренние шайбы приборных подшипников, внешние шайбы которых крепятся в раме таким образом, чтобы плоскость подшипников, а следовательно, и плоскость движения, маятников совпадала с плоскостью рамы.
На расстоянии 1~ от точки подвеса (центра подшипника) в стержнях Е просверлены маленькие отверстия для крепления легкой пружины связи, длина которой в нерастянутом состоянии точно равна расстоянию между стержнями маятников в неотклоненном положении. Ниже маятников установлен специальный стартовый механизм СМ, который позволяет плавно запускать маятник при различных начальных отклонениях от положения равновесия. Он состоит из поворачивающейся планки П, на которой в разных положениях устанавливаются неболь- 240 Действительно, в этом случае пружина связи не растягивается и ле влияет на движение каждого маятника. В.
Оба маятника отклонены иа равный начальный угол аоь но в противоположных направлениях от положения равновесия .(при 1=0). Тогда ав= — аоо, ао1 — — аоо — — 0 и А=О; В=аоб ф1 —— =фз=п/2, а, (1) = а„соз во/аз (г) = — а„соз во/. Оба маятника колеблются со второй нормальной частотой шие пластинки ПЛ, которые удерживают концы маятников в заданных отклоненных положениях.
При повороте планки пластины поворачиваются вместе с ней, освобождая концы маятников, которые начинают совершать колебания. Рис. 12.15 Установка комплектуется набором пружин с различной жесткостью, секундомером и специальным станком для определения жесткости пружин статическим методом, который представляет собой укрепленную вертикально на штативе линейку с миллиметровой шкалой и набор различных грузов с известной массой. Масса чечевиц маятников гп, эффективная длина ! '(расстояние от точки подвеса до центра чечевицы) и расстояние 11 известны и их величины указаны на каждой установке.
в з .и 241 Измерения. Прежде всего при помощи установочных винтов рамы устанавливают ее таким образом, чтобы маятники заняли в состоянии покоя строго вертикальное положение. В этом случае трение в подшипниках будет минимальным. Затем на специальном станке статическим методом определяют коэффициенты жесткости й~ используемых пружин связи.
После этого приступают непосредственно к измерениям. Первоначально определяются периоды собственных колебаний каждого маятника в отдельности. Для этого при помощи секундомера определяется время пятидесяти колебаний каждого маятника и вычисляется период Ть Убеждаются, что периоды обоих маятников совпадают. По среднему значению периода Т1 определяется первая нормальная частота оь1 —— 2п(Ть Загсы устанавливается заданная пружина связи и приступают к измерениям частот связанных колебаний.
Сначала на стартовом механизме устанавливают пластинки, соответствукпцие начальным условиям примера Б, т. е. оба маятника отклоняются в одну сторону на одинаковый угол. Запускают движение маятников и при помощи секундомера определяют время 20 — 30 колебаний сначала первого маятника и после повторного пуска †второ маятника. Из полученных измерений вычисляют первую нормальную частоту колебаний ю1 и с учетом экспериментальных погрешностей сравнивают ее с величиной, вычисленной- по формуле (21).
Убеждаются в правильности соотношений (20). Затем устанавливаются начальные условия, соответствующие примеру В, аналогичным образом определяется справедливость со. отношений (22), вычисляется вторая нормальная частота колебаний вз и сравнивается с вычисленной по формуле (23). В заключение реализуют начальные условия примера А последовательно для первого и второго маятника. Определяются период Тз и частота ае биений, для чего определяют время между двумя последовательными остановками в движении каждого маятника. Все измерения проводят не менее трех раз и определяют среднее значение полученных величин. В отчете представляются таблицы измеренных значений вь мь ее и в~ — взз=2й11з/(з и сравнение с ними величин, вычисленных из статических измерений и параметров установки. Литература: 11] — гл.
13, в 55; 151 — ч. П, гл. 1, $53 — 60. Лабораторная работа 24 Вынужденные колебания маятняка с движущейся точкой подвеса Теория. Вынужденные колебания в системе возникают в том случае, если на нее действует внешняя периодическая сила. Теория вынужденных колебаний при поступательном движении рассмотрена во введении к гл. 12, п.п. 3 и4.
В случае вращательного движения все полученные во введении уравнения и выводы сохраняют свой смысл, только необходимо вместо массы лс использовать момент инерции маятника /, а вместо сил — соответствующие моменты сил относительно точки подвеса маятника. В этом случае в инерциальной системе координат уравнение движения изучаемого маятника можно записать в виде (см. введение (12.27)) /а= — /са — /са+Жв з1псэг, а+ 2ба+сэеа = Мэ яп Ы, (3) с амплитудой (см. (12.32)) ае = Зге рс(, 2 э в 1 4 ща и сдвигом фаз (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
