А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. рассеянию и уменьшению полной механической энергии системы за счет перехода части энергии в тепловую и другие чады энергии. х Афш~ Рис. !2.1 П. 2. Рассмотрим основные закономерности собственных колебаний неконсервативной системы с одной степенью свободы. В этом случае в (12.1) ~трФО. Силы трения в механике могут иметь различную физическую природу (см. гл. Х) и в зависимости от реальной физической ситуации описываются различными законами. Воспользуемся наиболее простым Случаем ~жидкого» или евяэкого» трения, когда сила трения направлена против направ- лепна вектора скорости, а ее величина пропорциональна первой степени величины скорости /,р — — — Ьх, где Ь вЂ” коэффициент тре- ния.
Тогда вместо (12.3) уравнение движения массы ш запишется следующим образом: псх+ Ьх+ Йх= 0 (12.14)'' или х+26х+ о4х=О, (12.15) где 6=Ь/2пс и сооо=Ь/лс (так же как в (12.4) ). Будем искать частное решение этого уравнения в комплексном виде как х(/) = Ае'"'. Подставляя (12.16) в (12.15), получаем Ае'"' ( — а'+ 2/ба+ со~~) = О. Так как Азам не равно нулю, то ссо — 2(бсс — соо = 0 о (12.16) (12.17) (12.18) и его решение будет а=16*Уо4 — бо=(6~ И, где Я ='1/со' — б'. Подставляя (12.19) в (12.16), получаем два частных решения: (12.19) (1) А е ис а~вы хо(Е)=Аое~' е ' '. Общее решение будет суммой частных решений (12.20): х(г) = е ~'(А,е'о'+Аз~~ос).
Так как х(1) — действительное число, то Ас и Ао должны быть комплексно сопряженными величинами. Примем их равными А1 — есо, А — е-со. Р с Р 2 2 (12.20) Тогда ИЯИо) 1 о-о(ос+о) ъ х(/)-Пе-ос ~ о +о ) =бе-ассов(И+у), (12.21) где использованы формулы Эйлера для комплексных чисел ем созг+Фз(пз, а-'*= соз 3 — !31пз. Полученные выражения (12.21) не являются периодическими. Однако условно говорят, что периодом таких колебаний является Т=уп/И, подразумевая под этим временной интервал между соседними моментами времени, когда смещение х(1) =О. Также условно амплитудой этих колебаний считают модуль максимального отклонения Оз-ее в каждом «периоде» колебаний. Все сказанное относится только к случаю не очень больших коэффициентов трения /е, когда И действительное число, т.
е. ееес — 6') нли еес)/е/2еп. В противном случае И будет мнимой величиной и будет иметь место апериодический режим, когда при отклонении системы от положения равновесия система будет стремиться к нему по экспоненциальному закону, не совершая колебаний (см. рис. 12.2). мрее Ряс. 12.3 Рис. 12.2 Таким образом, величина затухания данного колебательного процесса при заданной основной динамической характеристике системы ес будет определяться величиной 6, которая получила название декремента затухания. Величина, обратная 6, равная т= 1/6, получила название времени затухания квазипериодического процесса и указывает интервал времени, за которое амплитуда колебания уменьшится в е раз.
Найдем изменение амплитуды колебания, которое произойдет за один период. Пусть в момент времени 1~ амплитуда будет А~=Асе-с", а в момент 1е — — 1~+ Т соответственно Ае = Аез-ал = Аез-а<ее+т1. Тогда отношение амплитуд А~/Аз-еет и изменение амплитуды за период будет характеризоваться величиной 9=6Т, получившей название /Ае~ логарифмического декремента затухания, причем б = 1п ~ — ~, 1Ае/ В ряде случаев удобнее определить число колебаний 6/, которое совершит система до момента, когда амплитуда уменьшится в е раз. Легко показать, что отношение амплитуд, разделенных интервалом времени в 6/ периодов, будет А Ае злт зле У+1 откуда, помня определение 9, получаем 1 Уж —, е 220 Приведем некоторые примеры порядка величин логарифмического декремента затухания 6. Электрические контуры †(2 †: 5) ° 10-' ,Камертоны — 10-з Кварцевые пластинки — 10-' —:10з Так, для камертона с частотой колебаний т=в/2п=50 Гц время затухания, когда его амплитуда уменьшится в е раз (- 3 раза), будет зя т — — — — — — — — — 20 с.
в е е е зо 1о В заключение рассмотрения собственных колебаний систем с одной степенью свободы приведем вывод общей формулы колебаний в зависимости от начальных условий. Из (12.21) получаем х(1)= — Ю ~]бсоз(ьл+ф)+Из)п(йг+ф)]. (12.23) Тогда, если С О, х(0)=ха и х(0)=хо-оо, из (12.21) и (12.23) получаем х,=0созф, (12.24) ц,= — 11]бсозф+Язш ф]. (12.25) Решая (12.24) н (12.25) относительно 1«и ф, получаем х(Г) = ~/ х'+ ~ ~ з-~' соз []/ а,'— Ь' 1+ ф], (12.25) е~ ~— е« где ф=агс(п «ее+ и~ «а ~о — е' Отсюда легко получить частные случаи, как зто сделано для формулы (12.10).
П. 3. Рассмотрим теперь колебация в системе с одной степенью свободы, которые возникают под действием внешней периодической силы Р(1) ФО. Если мы рассматриваем линейную систему, т. е. в' (12.2) ограничиваемся только линейным по х членом, то задача значительно упрощается. Дело в том, что в указанных системах действует принцип суперпозиции, согласно которому колебания, вызываемые различными внешними силами, независимы. Другими словами, если внешняя сила Р1(1) вызывает колебание х,(1), а внешняя сила Рз(Г) вызывает колебание хз(1), то действие силы Р(1)= =Р1(1)+Рз(1) возбудит колебание х(Г)=х,(1)+хг(Г). С другой стороны, известно, что произвольную периодическую силу Р(1) можно разложить в ряд Фурье, т. е.
представить ее в виде суммы снл, изменяющихся во времени ао гармоническому (синусоидальному) закону. Тогда в силу указанного выше принципа суперпознцни для анализа колебаний, возникших.в системе под действием произвольной,,внешней силы Р(1), достаточно знать поведение 221 этой системы под действием гармонической силы определенной частоты Р(г) =Ро сов в й В этом случае вместо (12.15) уравнение движения линейного осциллятора запишется в виде: х+26х+ вогх = — 'соз вт.
ог Из математики известно, что общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы частного решения этого уравнения и общего. решения однородного уравнения (Ро=0), т. е. общее решение будет (см. (12.21) и (12.26) ) х(г) = хг (1)+ 1'.)е-ог сов(оо(+ ф). (12.28) Здесь х1 (1) соответствует вынужденным колебаниям, а второй член — затухающим собственным колебаниям. Как видно из (12.28), х(1) представляет собой сложную функцию времени, определяемую как амплитудой и частотой вынуждающей силы Ро, в, так и динамическими характеристиками системы во и 6(йг=в'о — бг) и начальными условиями х(0) и по (см.
(12.26)). Однако такой сложный вид колебаний сохраняется в системе только в ограниченный интервал времени, который получил название .переходного режима, ибо вследствие наличия затухания е-о' собственные колебания спустя некоторое время, равное (4 —:5) т, затухнут, их амплитуда будет аренебрежимо мала и в системе реализуется .режим установившихся вынужденных колебаний х~ (г). Рассмотрим подробнее именно этот режим. С этой целью перепишем уравнение (12.27) в комплексном виде: х+ 26х+вох = — еии г Ро и (12.29) а его частное решение будем искать в виде х (1) = Ае'"~.
(12.30) Реальная часть этого решения будет решением уравнения (12.27). Подставляя (12.30) в (12.29), получаем Аког( — ао+2гбоо+в~о) о е~ Из условия стационарности решения (независимости его от времени) следует, что а~в, откуда го 1 Р. вго-в' — 2вв (12.31) во г— е'+ Мв в (во г— в')г+ 46гво А есть комплексное число, которое удобно представить в экспоненциальном виде А=х+1У=Аое"о.
Тогда модуль А будет Ао= р'Хо+У*, а его фаза 1яв= У/Х. Из (12.31) получаем 222 (12.32) ов Ъ/(во — ')в+ 4Ь в звЬ 1ач=— в~ ~— вв (12.33) Следовательно, решение (12.30) будет иметь внд х (г) = А,е""'+о', (12.34) оР = оР— 2бо рвв о (12.36) нлн, учитывая, что наше рассмотрение верно только прн достаточно малом затухании (см.
и. 2.), когда оРоФбо, в дальнейшем будем считать врвв =во. Прн анализе резонансных кривых ~в системах с различным затухавнем наряду с декрементом затухания б, логарифмическим декрементом затухания 6 широко пользуются величиной, которая называется добротностью системы Я. Она определяется как отношение амплитуды смещения прн резонансе (ю=во) Арво к амплитуде смещения Авв, когда в-оО. Из (12.32) получаем безразмерный параметр Я вв Рв я зь вы 9 (12.3У) Выразим резонансную кривую (12.32) через безразмерные параметры Я н у=в/во. С этой целью вынесем нзопод квадратного корня оо'о н, учитывая, что Рв/икот,=Ро1~'(0)=РоА получаем Ев 1 з 1 — — + (1 — т'1'+— во во яв а его реальная часть х (1) = Ке Авек"'+о> = Ао соз (вг+ ~р) = в соз (вг+ агс(н 1, (12.35) рГ:врвввв ~ О- в ~' П.
4. Из (12.35) видно, что н амплитуда установившихся вынужденных колебаний н нх фаза зависят как от характеристик вынуждающей силы, так н от параметров системы. Проаналнзнруем первоначально зависимость амплитуды установившихся вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы в — явление резонанса. Эта так называемая вмплнтудно-частотная харак; тернствка определяется выражением (12.32) н изображена на рнс. 12.3. Для нахождения резонансной частоты, прн которой указанная кривая достигает максимума, необходимо, как известно, первую производную по частоте от (12.32) приравнять нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
