Я.И. Френкель - Кинетическая теория жидкостей (1108150), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Преятде чем изучать интересующий иас вопрос в обтцей форме, рассмотрим, как и в предьтдутцем параграфе, литтетйттуттт»тодель кристалла, т. е. цепочку атомов„и начнем при этом с простейшего случая совокупиости двух атомов. Взаимная потеициальпая энергия сУ как функция расстояния меткду атомами г имеет вид„изображеииый иа рис. 24 (сплошная кривая).
Микп- дп . 'муму П в точке г, определяемой ураввеквем — =О, соответствует положо- о дт :::.иие равновесия. При небольших удалениях от последвего У может быть ::,: 'представлево приближеняым образом в виде тЕ=.— тЕ + —.Ес — — Ь'с т» 1 т» о 2 3 (17) Отсюда видно, что свободные иелинейиые колебания одного из ато»тоо тш отпошеяию т друго»ту долясшт ~~~р~~~~д~~~с~ увечичевяем средиего " 'расстояния между ними.
В случае тепловых колебаний это увеличение ;,представляет собой ие что иное, как тепловое расширение. ьт Заменяя с» его приблиткеивым выражением —, соответствующим ьт— получаем :-- -" —,.-)., 3дют., Если в этом выражении сохранить лишь квадратичный член, то свозя -'~,":;:;:.';::.меятду атомами придается упругий характер, т. е. сила К, притягиватос~!!:.;.:,-::-' щая один из нкх (иапример, правый) к положению равновесия по отнотт~е- дп ~';!!:,:! птпо и другому, оказывается линейной фуяьцвой расстояпия К- ~;:,'-',::.'.::-.
~ — ЕБ Под влиянием этой силы атомы могут совершать гармонические :~;:;":,'-'-,.;: ' коотебатшя малой амплитуды с частотой = —, 1~ —, где —,— пршоодозэая 2к1 2 к:-" ~~~-'-:,:,",."'масса (равная половине массы одного атома). При эхом среднее расстояние кк' ~.":::::-'!',:,житду атомами (одлипа» образуемой ими »цепочки») остается постоянвым Фт. г,.',,!'; ',и равным г, так как среднее значение о обращается в нуль. Что же кэтч» ~,;~~,:.':;,:;: дсается величины о», то ее среднее значение определяется равенством т — = — )сТ, Если в выражении (17) сохранить кубический член, учитывающий то ~~,,~=".!'::.-;06Стоятельство, что энергия возрастает медленнее с увеличением рас- т;.с(~."„,!-;:,,'!:: "стояния (по отвотпекшо к г= — г,), чем при его уменьптении, то для силы .',ооой~!::„получается квадратичное выражение Р— -- -Я+6'.
(18) Приравнивая среднее значение К нулю, получаем Е Свойства неидностей и леееанивм нлавленил Уравнение состоанил кристалли«вские тел и нлавление '.так что коэффициент теплового расширения и= — —, оказывается равным 14$ то /еТ $ ть а= —— 1« Если на атомы действует постоянная внешняя растягивающая сила го/ :(которую мы будет представлять себе приложенной к правому атому, -,Считая левый неподвижно закрепленным в пулевой точке), то прн отсут'ствии тепловых колебаний расстояние между ними возрастает на вели,.чину ро, определяемую уравнением '/«о+ К«о = т о- Положение равновесия смещается прн этом из точки С(г==г,) в точку С'(г=-го+со), которой соответствует минимум полной энергии (/ — г' г.
- Сила, исиытьшаемая подвижным атомом при смещении его на расстояние с Относительно исходного положения равновесия, т. е. на расстояние Г=- — — относительно нового положения равновесия, равна сумме г'о )тг выраясення (18). Заменяя внепппою силу ее выражением через со и : полагая 1 — -- со+ с', получаем 1'+ Ео = — — 1" + 2а(,Р+ Ф' ° (18) Если с' мало в сравнении с со, то это выражение сводится в первом приближении к Г+Р;= 1Р, (19а) 'где 1' = — 1 — 2д."„. (20) Отсюда видно, что около смещенного поло«кения равновесия атом может совершать гармонические колебания малой амплитуды с частотой ' которая тем мешше, чем оольше со, н прн 1о —.— —, обращается в пу:ш. 1 Впрочем, при столь больших значениях «о предыдущие приближения становятся непримениепами.
В общем случае сколь угодно больпюй вне«п' ней силы 1то смещенное полоткенне РавновесиЯ г=г,'=г,+ со опРеделЯетсЯ а'с,/ уравнением — +г' =О, т. е. И/ /'о — + л ИУ обусловленная неподвижным атомом и пзоией на рис. 24. Разлагая Св ряд по степеням олучаем (1= (1«+ — ', (с' — д А"1'"/ й' — внутренняя сила, енная пунктирной лин асти г — г,'=( — 1 =-Г, п и раньше. По мере приближения к максимуму склы крит тепенно уменьшается, от С может быть ле точке перегноа на кривой //'(г), соответствуюяжения г', коэффициент квазиупругой силы 1' обращаясь в нуль в этой точке. Расстояние гко вычислено, если известен точный впд выше значение с =.— метнет характеризовать о=2х цин с/' (г); даши/е лнип по порядку велпчш«ы.
Следует также обратить внимание на то обстонтельство, что с увели«ем г"„т. е, $о, возрастает таньке и коэффициент теплового расин«ренин — так как коэффнцпепт й остается полоткнтельшеи, стремясь °,е' т//1' нулю лишь при г -т со. Внутреннюю силу г', тривают как сумму у илы «теплового давле давление представляе приближении определяемую уравнением (18), обычно распругой силы, характеризуемой первым членом, нняо, выражаемой вторым членом. Это теплот собой растягивающую силу, равную в пер- р = — — 1ет, Т (21) 'т,»: е. пропорциональную абсолютной температуре, так же как и в случае пасов. С атой точки арення средние размеры рассматриваемой нами двух- 'атомной модели материального тела определяются равновесием между сйлой теплового давления, стремящейся расширить тело, н упругой силой.
Сохранением этого равновесия прн повьпнении температуры обусловлено и .тепловое расширение. , Перейдем теперь от дзухатомной модели материального тела к трех- 'атомной. При атом оба крайних атома А, и Ае мы будем считать неподвиясными. Сила, испытываемая средним атомом А со стороны одного Мз ннх, например А,, соответствует внутренней, а со сторонье другого— ,внешней силе в предыдущей аадаче. Впрочем, подобное соответствие получается лить в том случае, когда расстонвие .4«А« значительно болыпе '2го, так что кривая потенциальной энергии атома А в поле А„н А, имеет 'внд, изображенный на рнс. 25, т. е.
характеризуется двумя минимумами, в 'точках С и Се (С А,=С 4 =г ), и максимУмом посРедине. ПРн сбли- Сеойстеа жидкостей и механизм плаеленил !27 р'з = Г (а) — 1( — „) +;~ ( —;) и— Е( ) ~ 1~1Р~ з'г Рис. 25. г = Е (а) + — ", )ст. (22) Ит= И'с+У'Р, 2~' =( — „) = 2( — „) Кубического члена при а биквадратичным членом малые смещения с, для се ЬТ =1. др да д' — — + —,4са П да а'Т 2!' 12 Я. и. Френкель ;;. 'женин обоих крайних атомов этот максимум постепенно понижается, :: совершенно исчезая в тот момент, когда точки езд и зле, в которых потен.
циальная энергия А по отношению к А, и к А, в отдельности уменьшается несколько более чем вдвое, сливаются друг с другом. При дальнейшем .'' сближении Аг и Аг результирующая потенциальная энергия изображается кривой рис. 26 с одним минимумом посредине. В момент исчезновения максимума, т. е. при АзЛг=-АзО,+ОгЛе — -2А,Рп глубина этого минимума .', несколько больше Оо — минимума энергии Л по отношению к одному из соседей; при слиянии точек С, и С, (А,А,=--2г„) она увеличивается до 2Оо; дальнейшее сближение Лд с Ле приводит к быстрому узтеньтпению абсолютной глубины результирующего минимума, т.
е. поднятшо его по отношению к оси абсцисс (Π—.0), тогда как острота минимума монотонно возрастает (рис. 26, пунктирная линия). Результирующая потенциальная энергия атома Л по отношению ь его Соседям Ит= О(г,)+О(ге) представляет собой во всех трех случаях четную функцию его расстояния от центральной точки О. Имея в виду тот случай, когда эта точка соответствует минимуму Ит, т. е. полонсенню равновесия атома Л, мы обозначаем расстояние ОЛ (считая его поло>кительныи„ например, вправо) через с.
Полагая г„—.а+ ч и т,— -а — 1, где а =.ОЛ,=ОЛ, и разлагая Ит по степеням 1, получаем атом не получается вследствие четности Ит, мы будем пренебрегать, имея в виду лишь которых остается справедливой формула Ураенение состояния нриеталлинеспих тел и плаеление тсюда видно, что для устойчивости равновесия центрального атома тйзо'ч одилю, чтобы производная ( —.,-з! была больше ыдлл, !!нпболшшп ния а, удовлетворяющие этому требованию, соответствует, сле- ельно, максимуму силы, испытываемой .1 со стороны Л, илн Л ° е! образом.
указанные вьппе точки О, и Оа представляют собой точки юа индивидуальных кривых потенциальной энергии А по отпоше- к левому и и правому соседям. ла, испытываемая каждым из крайних атомов со стороны средт Нс'ч если последний покоится в центральной точке О, равна Г =( — ~ и о (дт) ащается в пуль при а=го. Если атом Л совершает колебания малой итуды около точки О, то эти силы также колеблются. При этом, ностьго до Р, сила, испытываемая правым атомом, дзр лз р зечая, что — =.= — — =-2д', мы видим, что среднее зпачекие ооеих дтз ' Ьз Р=Г(а)+д'Р ьТ случае тепловых колебаний Р= —, и, следовательно, 2Т торой член представляет собой не что иное„как уже рассмотренвьппе тепловое давление.
Двойка в знаменателе обусловливается что коэффициент квазиупругой силы в рассматриваемом случае, при наличии двух соседей, равен не Т', а 2Т'. ля того чтобы наша трехатомная модель твердого тела сохраняла меяную длину з' =-2а при повышении температуры, необходимо увеивать приложенные к ее концам внезпние силы так, чтобы оии уравпоивали тепловое давление. ели же внешняя сила сохраняет неизменное значение, то, согласно иству (22), расстояние а должно изменяться таким образом, чтобы а (22) оставалась неизменной. Пренебрегая связанным с этим измеЕмзкоэффициента —,, (что дает поправку второго порядка малости), и 2У лучаем Свойства ясидкостей'и неяанивн плавления уравнение состояния кристалликеския тел и плаелтнис 17« ' 'в так как ,1Р деы .
то окончательно да рЪ а 'дг — — ха/,г ° (22а) 1 ~/ 2/' дар увелгг геггггю и на ага соответствует нзчеиевне /г = — ва да" дев/ дае .= — г)а, т. е. г)/' = — 2д'г(а ' в согласии с формулой (20), которая относится к частному случаю и=т„ Отсюда следует д 1 д/' 2Р дс : 'Пользуясь этнлг соотношением, можно переписать вытекающее нз (22) выражение для теплового давления н выра>кение (22а) для коэффициента расширения в следующем виде: ьт р=-- — — 1и»г 2 да (22) Гг д л= — —,, — 1и»', 2/'а да г 23а) где 2и.=А — длина нашей модели прн данной температуре (и заданной внешней силе Г).
Этн результаты легко могут быть обобщены на случай линейной модели твердого тела, состоящей из любого числа одинаковьгх атомов. Если считать, что каждый атом взаимодействует лишь со свопмп двумя соседямн (лли с одним соседом в случае одного из крайних атомов), то в предыдущих рассуждениях практически ничего не меняется, за исключением 'гого, что при участии всех атомов в тепловых колебаниях (кроме крайних, Ыьг приходим, таким образом, к найденному ранее (в случае двухйгомной модели) выражению для коэффициента теплового распшренкя ;го поправкой на удвоенное значение коэффициента /').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
