Я.И. Френкель - Кинетическая теория жидкостей (1108150), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Таким образом, число нормальных колебакнй цепочки, 1 для которых волновое число — лежит в заданном интервале между й и ' й+йст равно сЬ-==2ьйс. Аналогичным образом в двухмерном случае (плоская решетка) число колебаний, для которых слагающне волнового вектора по двум осям х, у, лежащим в плоскости решетки, заключены в интервалах й, И„+йе, и )с„, й„+йс„, равно йт=.-$йс йс„или сете-- 2яЯсйс, если 1 принкмать во внимание все волны, для которых — лежегс в предела; еес жду й и я+йе, независимо от их направления (о' — поверхность ршпеткн).
Наконец, в трехмерном случае рассматриваемое число выражается формулой йе = уейс йсяйс, если опять-таки объединить волны всех направлений, для которых 1 новое число — лежит в интервале Й, 1с+йс, Л с)п = 4к'теесесй, У вЂ” объем тела. Смещение какой-либо частицы тела в заданном направлении под влияем теплового движения может быть представлено в виде суммы смещей, соответствующих различным нормальным колебаниям, 1. = ~„~„с =,"~, А,е 1«че-же. (б) Здесь индекс х — координата положения равновесия частицы в линейм случае, х, у — совокупность двух координат в плоскости н х, у, э— рех координат в пространстве.
Аналогичным образом)с обозначает обыквенкое число в первом случае, плоский векторсо слагающими и., ес,— втором и пространственный вектор есл, )с„, ес, — в третьем. Произведение в общем случае представляет собой скалярное произведение соответ- твующнх векторов. Величина соя представляет собой частоту колебаний н Внивана сй соотношением ияя пес, где о — скорость распространения волн. Длн определения коэффициентов Фурье, т. е. амплитуд колебаний А,, ставим производную от (6) по времени, возведем ее в квадрат, точнее, умножкм на комплексно-сопряженное выражение .', и на массу одной стнцы пе и составим сумму подобных произведений для всех частиц.
результате получпм удвоенное значение кинетической энергии частиц я колебаний рассматриваемого направления, т. е., ввиду равенства Едней кинетической и средней потенциальной энергии, полную энергию иковых колебаний. Эта энергия равна, следовательно, 'йе ъ '%'я я я я' =-=Х1".лтА ": Ж""' "' сумма ъ еепл "'": равна нулю, если lсчс1с', и числу частиц Й, еслее Й'. Таким образом, предыдущее выражение для )Уе сводится к простой РР = —,ееееЛЕ~~» оес„1Ас~с= — ЗХеое~~» есс~Ас ~в ебае л с (Ат —, масса всего тела).
Лддитизность туе по отношению к разлнчпым нормальным колебаниям при неучете квантовых эффектов соответствует „'Равномерному распределению тепловой энергии между пипи. Обозначив Свойства жидкоствй и жвхаиилм ялавлвния Ближний иорядоя в жидкостях 1. Дипейпая модель (цепочка атомов) :;:;-":~;",'!,";.'~-' тт-ив с (71с) Пространственная решетка: !с„„.! = ., ~ шп ~ — )с(Л. (7с) ! 1- !'= ! 1.!'+ ! 1" !' — 1.с"- — 1".1 яивя д х с о ! с„„!с = сопз1 ° г !'я..!в=2)1„)х---2~)Ая)в..1т, )1 ° )в= — 4 ~~~~! Ль )в зш' —.". 'произведение абсолютной температуры на постояннуто Больцмана через 0, , имеем, следовательно, —.
МгЧса ! Лв )л = 6. (66) Отсюда видно, что амплитуды Ая обратно пропорциональны соответ"ствующим волновым числам. Перейдем к рассмотрению основного вопроса, нас интересующего, о флуктуациях расстояния между двумя частицами х и х' или о среднем значении квадрата их относительного смещения в данном направлении в зависимости от расстояния (т — х') между их равповеснымн положениями Умножая это выражение па коьшлекспо-сопряженное, получим Нас интересует среднее значение этого выражения пе только во времени, по и в пространстве, при заданном от н ос и т е л ь н ом положении обеих частиц, точнее, нх положений равновесин, т, е. при заданпом значении (векторной) разности х — х'=-г.
Полагая х'==х — г, мы должны, следовательно, просуммировать полу,'' ченное выражение по всем значениям х (при г=сопз$) и разделить на йг. -, Мы получаем при этом, согласно (6), )в ~ Х Чч~1~,'(Л,Л~епвх' Я ~+ЛяЛсснх" Я' з)= У.йн,йы ч)~ )я 1 ~~~~~Ч~~А Л„,, ятЧ~~~сцн-яы 1 Ч~~~ч~~~Л; 1,сгв ~сня-яч .' изк, так как с'ввц'-Я> — — О прп )с'+)с и 1т' прп Й' = — 1с, 'т. е. окончательно, н связи с )Цв= ~~,'в)Лв!', Подставляя сюда выражение (66) для )Ая!в и заменяя суммирование интегрированием, получаем следующие выражения. —,...~ '('-') Плоская решетка: (в (йт1 в1нв ~ 2*ст При этом но втором и третьем случаях величина з)п — ооозначает 2 й т днев значение з1па —, длн различных нанранлешсй вектора 1с но отшэиию к г при постоянной величине )с. Во всех трех случанх интегрирование по й можно производить от нуля й ж— 1 , ""'х 2а ' В первом случае мы имеем, вводи в качестве переменной интегрнровадт я, величину —, = ьг, 2 Прн г «~ а, т.
е. при й, г ««1, верхний предел можно заменить бес- нечностью, так что получаем е. результат При~са, найденный выше злементарпын образом. Во втором случае имеем, обозначая угол между к н г через ~р, "" Ы=.-'- 1 "и'5""з )"' о ледовательно, я я в. 16адз 1 т дд Г, Гдт — — — — 1 з)пв 1.— гоз <р) ду. Ртов 2т. 1 Гс 1 ~2 Свойства жидкостей и явкояивя яловлеяия Бликеяий повязок в ксидкостял 157 — тсср зтбз таовв ! в Гол +27 ° 1" я>п —,) =. г1 — соз(>сгсо Ф)1, где св — угол между й и г, илн, так как соя()сг соя у) —.—.—,, ( сов(йгз)с(в = — '" тяв в — 16я>'З 1 1 с вю Б о При й „гав 1 эта формула переходит в (~„~'-'.=. ~~ АсАв .
вв Ср. ЖБТФ 7 627 1937 , Этот интеграл не берется в конечном виде. Нетрудно, однако, определить его приближенным образом, заменяя а1п ( — соя <р) через ( — ) со.'7 === (.2 ) (,2>) Уст я 1 Дт я Я 2 — - ялг прп — л" — ' н через — прн — ) —. В результате получаем "Хаким образом, при больших значениях г это выралсение возрастает погарифмически в согласии с результатом, полученным Пайерлсом. Наконец, в третьем случае получаем: т- .е.
(с „-( оказывается нрактнческн пе завнсящнч от г. Нетрудно доев дат>вся, что нри этом (~ ° (в имеет то же самое чнслешк>е значение, которое получается из эчемептарной теории для тепловых колебаний отдельного атома, связанного с поло>пением равновесия силой, пропорциональной расстоянию. В своей работе по термодинамнческой теории плавления Л.
Д. Ландау вв пытается, следуя Пайерлсу, доказать певозмояшость существования одномерных и двухмерных кристаллических решеток. При этом, укрощая сообра>кения Пайерлса, Ландау ограничивается вычислением средянх зисичепнй квадрата абсолютного смещения одного нз атомов нз соответствующего положения равновесии, т.
е. величины 1 Полагая здесь (А (в — йв, согласно (бЬ), н заченяя суммнропашп. >ш .: ..«егрнрованпом от О до й , Лацдау получает конечное значение )с >в :в случае пространственной решетки и бесконечно большое — в случае >йлоской и линейной решетки, откуда и делается вывод о невозможности существования одномерных и двухмерных кристаллов. Вывод этот получается в результате замены суммирования интегриро",'.-::::;:',,ваннемпо)сс нижним пределом нуль. Втрехмерномслучае Это не пРиводит к ошибке, так как подьштегРальнаЯ фУнкциЯ Ав„бп)св ;.:;-:::.:::-':.
сохраняет конечное значение при я -в. О. В двухмерном же н одномерном ,:.',!~1 случаях сумма ~',(Ав(е, имеющая, очевидно, конечное значение, заме- >с .;;.':с".-'„::- ннется совершенно незаконным образом расходящимся интегралом вида > твв > явв о Расходимость этих интегралов пепосредстве>шо свнзапа с возрастанием в!.".>: '(линейным или логарифмическим) квадратов относительных смещений разных атомов с увеличением расстояния между их равповеснымн положе- :Й „;::::: киями.
Зтот результат, однако, не только пе донааывает невозможности "'!!~р „'сушествования линейных илн двухмерных решеток, обрааованных пра,„';.-:,;:;:„'",,-, вильным распределением этих равновесных положений, при Т ) О, но, ',.>-::„':,:-'-";=:,':;:,,наоборот, п р е д п о л а г а е т их существование.
Из него вытекает >;=";::;::-;:!:,'-ли>пь то обстоятельство, что рассеяние рентгеновых лучей подобньпви 2:..:,:::.", решетками должно иметь относительно диффузный характер, сходный :,'с. „;;-.!!: > с тем, который обусловливается обычными — трехмерными — жидко- С экспериментальной точки зрения вопрос обстоит так же ясно, каь '$' '-.'-«~~~'-,!"':":",!=',.:...с и с теоретической. Плоские сетки встречаются в болыпом количестве кри- сталлов со сложным строением, например в графите. Правда, эти плоские =',::,'.: сетки слабо связаны друг с другом ван-дер-ваальсовскими силами. Однако :,.
-' последние вряд ли можно считать ответственнымн за стабилизацию свя- зываемых ими плоских решеток. Что касается линейных (одномерных) ':;:,: кристаллов, то в природе они также существуют в виде липен-:.'., ных макромолекул разных высокополимерных веществ типа каучука (см. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
