№ 41 (1107974)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЛаб. работа № 41ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕРаботу поставилидоцент Авксентьев Ю. И. и доцент Иванова Т. И.Москва - 2012ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕЦель работы - измерение скорости ультразвуковой волны в воздухе иопределение отношения CP CV , где C P - теплоемкость воздуха припостоянном давлении, CV - теплоемкость воздуха при постоянном объеме.ВВЕДЕНИЕВолнами мы будем называть распространение в пространствеизменений какой-либо физической величины.

Здесь рассматривается частныйслучай: распространение звуковых волн в воздухе. Звуковая волна в воздухепредставляет собой распространение сжатий и разряжений воздуха,происходящих периодически.1. ВЫВОД ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩЕЙРАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕПусть физическая величина  , распространяющаяся в виде волны вположительном направлении оси X , в начале координат изменяется стечением времени по гармоническому закону с круговой частотой амплитудой 0 и начальной фазой, равной нулю, т.е. 0,t   0 sin t .(1)В точке, находящейся на расстоянии x от начала координат, даннаяфизическая величина начинает изменяться по гармоническому закону сзапаздыванием на время   x V , где V - скорость распространения волны.Таким образом, фаза колебаний физической величины в точке x в моментвремени t будет совпадать с фазой колебаний этой величины в началекоординат в момент времени  t    , т.е.

в момент на   x V болeе ранний.Следовательно, x (2)  x,t    0,t     0 sin   t   VВыражение (2) представляет собой формулу, описывающуюраспространение плоской волны, в которой колебания происходят посинусоидальному закону. Ее можно записать в виде x (3)  x,t   0 sin   t    0 sin t    ,V гдеVx(4)3представляет собой начальную фазу в точке с координатой x . Расстояниевдоль направления распространения волны между ближайшими точкамипространства, в которых величина   x,t  колеблется в одной фазе, носитназвание длины волны  .

Согласно формуле (4) начальные фазы колебаний вточках с координатами x1 и x2 равны соответственно1  x1,V2  x2.V(5)Если на отрезке x1  x2 укладывается целое число длин волн, то фазыколебаний  2 и  1 отличаются на 2 n :  x2  x1 (6)2  1  2 n .VОтсюда следует2x2  x1  n.(7) V ОтношениеVk(8)называется волновым числом.Чаще всего волновое число k выражают через длину волны .kV2 2.TV(9)Используя соотношение (8) формулу (3) теперь можно представить ввиде  x,t   0 sin t  kx  .(10)Из соотношения (10) видно, что волновое число имеет смыслпространственной частоты волны.Найдем вторые частные производные (10) по координате x и времениt:Из формул (11) следуетd 2d 222k,22   .dxdtd 2  2 d 2  0.dt 2 k 2 dx 2(11)(12)Используя соотношение (8), уравнение (12) можно переписать в виде2d 22 d V 0.dt 2dx 2(13)Это уравнение в частных производных называется волновымуравнением.

Хотя мы вывели его, используя уравнение (10) длясинусоидальной волны, оно оказывается верным в случае волны с4произвольной зависимостью   x,t  , распространяющейся вдоль оси X спостоянной скоростью V . Смысл этого уравнения заключается в следующем.Если из каких-либо физических законов для некоторой величины   x,t  приопределенных условиях получится уравнение вида (13), то при этих условияхвеличина   x,t  распространяется в виде волны вдоль оси X с постояннойскоростью V .2. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫВ ГАЗЕРаспространение звука в газе от одной точки к другой представляетсобой процесс распространения колебаний молекул газа в направлениираспространения волны (продольная волна).

Происходящие при этом сжатияи разрежения сопровождаются изменениями давления. Так как сжатия иразрежения в звуковой волне совершаются очень быстро, то температурымежду сжатыми и разреженными областями газа не успевают выравниваться.Следовательно, эти процессы в рассматриваемом элементе объема V0происходят без теплообмена с соседними областями, т.е. адиабатически идля их описания можно применить уравнение ПуассонаPV(14)0 0  const ,где P0 - атмосферное давление.При прохождении звуковой волны давление и объем, занимаемойнекоторой группой молекул, изменятся и станут равными P0  P иV0  V . Величина P называется избыточным, или звуковым, давлением.Величина звукового давления очень мала по сравнению с давлением газа P0 вравновесном состоянии. Например, для силы звука, в шесть разпревышающей порог слышимости человеческого уха, что соответствует ужедовольно сильному звуку, величина звукового давления P составляет 2 ·10-5 Па, а нормальное давление воздуха P0 у поверхности Земли составляет105 Па.Используя уравнение Пуассона, можно записать следующееравенство:PV(15)0 0   P0  P V0  V  .Из равенства (15) найдем выражение для избыточного давления P взвуковой волне.

Для этого выражение V0  V  разложим в ряд по формуледля бинома Ньютона. Разложение будет иметь следующий видV0  V  V0   V0 1V .(16)5Члены разложения, содержащие более высокие cтепени V , отброшены всилу их малости. Подставляя разложение (16) в уравнение (15), посленесложных преобразований получим1V.(17)P   P0V0Если рассматриваемый элементарный объем V0 при похождениизвуковой волны деформируется так, что площадь его сеченияS,перпендикулярного направлению распространения, при деформации неVизменяется, то отношениев формуле (17) можно заменитьV0относительной деформацией длины x этого объема в направлениираспространения.

ПустьV0  S x .(18)ТогдаV  S   x   S  ,(19)где    x (20)представляет собой изменение длины x при деформации. Следовательно,V S .V0Sx x(21)Равенство (17) можно теперь переписать в видеP   P0.x(22)Рассмотрим распространение звуковой волны в трубе с площадьюпоперечного сечения S . Направим координатную ось X вдоль трубы. Пустьэлементарный объем V0 газа в этой трубе ограничен сечениями,перпендикулярными оси трубы и имеющими координаты x1 и x2 (рис. 1).Трением между газом и стенками пренебрежем.

Таким образом, стенки будутпрепятствовать поперечному движению газа, не мешая его продольномудвижению. Масса газа, заключенного в его элементарном объеме, равнаm  0 S x ,гдеx  x2  x1 , 1При раскрытии скобок (Р0 + Р) ( V0 +  V0отбросить как малый1(23)(24)V), член, содержащий произведение РV, следует60 - плотность газа в невозмущенном состоянии. Пусть вдоль оси трубы внаправлении оси X распространяется упругое возмущение, вызванноезвуковой волной. При прохождении этого возмущения через выделенныйобъем на данный объем в сечениях x1 и x2 со стороны соседних частей газабудут действовать силыf1   P0  P1  Sf 2   P0  P2  S(25)(26)Не имя возможности следить за движением каждой из огромного числамолекул, находящихся внутри объема V0 , воспользуемся теоремой одвижении центра масс материальных точек.

Согласно этой теоремеP1Smaц.м.   Fi ,P2 Si(27)где m - масса всей системы, aц.м. -Xx1ускорение ее центра масс, аx2Fi- суммаiвнешних сил, действующих на систему. Внашем случае масса определяется формулой(23), внешние силы, действующие вдоль осиРис. 1X - формулами (25), (26), а ускорениецентра масс системы представляет собойвторую производную смещения ц.м.

центра масс рассматриваемогоэлементарного объема. Следовательно, формулу (27) можно теперьпереписать в видеd 2 ц.м.0 S x f1  f 2  S  P0  P1   S  P0  P2   S  P1  P2  .dt 2(28)Знак минус перед f 2 означает, что давление P2 действует в направлении,противоположном оси X . P1 и P2 - звуковые давления в сечениях x1 и x2 ,соответственно [см. формулу (22)]. После деления правой и левой частейравенства (28) на произведение 0 S и подстановки значения P получимd 2ц. м.dt2P0 1             .0 x  x  1  x  2 (29)7  x Индексы “1” и “2” при означают, что выражения в скобкахвычисляются в окрестности координат x1 и x2 .

Уравнение (29) можнопереписать в видеd ц. м.2dt2P00    x .x(30)     - изменение величины   на участке x . x  x Здесь  Если теперь от рассмотрения малого, но конечного по величинеэлементарного объема высотой x перейти к элементарному объемубесконечно малой величины dV  Sdx , то для такого объема ц.м.   , авеличина       x    x превратится во вторую производную  по x . В этом случае из уравнения(30) следуетd 2 P0dt 20d 2.dx 2(31)Таким образом, движение частиц газа в трубе при распространении вней звуковой волны описывается уравнением, аналогичным волновомууравнению (13). Сравнивая уравнения (31) и (13) найдем, что скоростьраспространения звуковой волны в газе равнаV P00.(32)Эта формула впервые была выведена Лапласом.

Так как при даннойтемпературе давление P0 и плотность 0 пропорциональны друг другу, то,как показывает формула (32), скорость звука не зависит от давления в газе.Из этой же формулы следует, что скорость звука существенно зависит оттемпературы среды. Действительно, из уравнения состояния идеального газаможно получить следующее соотношение:P00RT,(33)8где  - молярная масса газа, R - универсальная газовая постоянная, T температура газа по Кельвину. Подставляя (33) в (32), получим формулу,определяющую скорость звука в газе в зависимости от температуры:V= RT.(34)3. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ЗВУКА ВВОЗДУХЕВ этой работе для нахождения скорости упругих колебаний в воздухеиспользуются колебания, частота которых лежит в ультразвуковом диапазоне( > 20000 Гц).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лабораторной работы