В.А. Артамонов - Группы и их приложения (1107634), страница 4
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â ª, un = rd ¨ b−rf ∈ B ∩H . ®í⮬ã b−rf = a1 f1 +· · ·+am fm , ai ∈Z. ª¨¬ ®¡à §®¬, b = rf + a1 f1 + · · · + am fm , r, ai ∈ Z, â. ¥. í«¥¬¥âë¥á«¨ãáâì(4)f, f1 , . . . , fm¯®à®¦¤ îâB.®ª ¦¥¬, çâ® í«¥¬¥âë (4) ¥§ ¢¨á¨¬ë. ãáâìrf + a1 f1 + · · · + am fm = 0,r, ai ∈ Z,(5)2. 21®íää¨æ¨¥â ¯à¨en ã í«¥¬¥â «¥¢®© ç á⨠(4) à ¢¥ rd = 0, ®âªã¤ r = 0,d 6= 0.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ (5) ¯®«ãç ¥¬, çâ® a1 f1 + · · · + am fm = 0, ®âªã¤ a1 = · · · = am = 0, ¨¡® í«¥¬¥âë f1 , . . . , fm ¥§ ¢¨á¨¬ë.¨¡®2.7. ¥«®ç¨á«¥ë¥ í«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï áâப¯à¥¤¥«¥¨¥(á⮫¡æ®¢) 楫®ç¨á«¥®© ¬ âà¨æë á®áâ®ïâ ¨§ ¤¢ãå ⨯®¢ ¯à¥®¡à §®¢ ¨©:••E + aEij , a ∈ Z,㬮¦¥¨¥ á«¥¢ (á¯à ¢ ) í«¥¬¥â àë¥ ¬ âà¨æë㬮¦¥¨¥ áâப¨ (á⮫¡æ ) -1.¯à ¦¥¨¥2.8. ®¢¥àè ï 楫®ç¨á«¥ë¥ í«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï áâப(á⮫¡æ®¢) ¬®¦® ¯¥à¥áâ ¢¨âì «î¡ë¥ ¤¢¥ áâப¨ (á⮫¡æ ).¥®à¥¬ 2.9. ãáâìA ∈ Mat(n × m, Z).¥«®ç¨á«¥ë¬¨ í«¥¬¥â à-묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ¬®¦®®¬ã ¢¨¤ãA¯à¨¢¥á⨠ª ¤¨ £® «ì-diag(d1 , d2 , . . .
), di ≥ 0.®ª § ⥫ìá⢮.®¦® áç¨â âì, çâ®A = (aij ) 6= 0.ãáâìδ(A) = min{|aij | |aij 6= 0}.ij।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ âà¨æã楫®ç¨á«¥ë¬¨ í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ -A¨ï¬¨ áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ¯à¨¢¥«¨ ¢ â ª®¬ã ¢¨¤ã, çâ® ¤ «¥¥¥«ì§ï.¬®¦® áç¨â âì, ç⮥¬¬ £¤¥ã¬¥ìè¨âì2.10.δ(A) = a11 .a11¤¥«¨â®ª § ⥫ìá⢮.r,δ(A)¥à¥áâ ¢«ïï áâப¨ ¨ á⮫¡æë ¨ 㬮¦ ï, ¥á«¨ ¥®¡å®¤¨¬®, -1,0 < r < a11 .a1j , ai1¤«ï ¢á¥åãáâì, ¯à¨¬¥à,i, j .a11¥ ¤¥«¨âa21 ,â. ¥.a21 = qa11 +q,δ(A) = a11 .ëç¨â ï ¨§ ¢â®à®© áâப¨ ¯¥à¢ãî, 㬮¦¥ãî ¯®«ãç ¥¬ ¬¥á⥠(21) í«¥¬¥âr,çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã® «¥¬¬¥ 2.10 ᮢ¥àè ï í«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï áâப ¨á⮫¡æ®¢, ¬®¦® ¤®¡¨âìáï, ç⮡ëa1j = ai1 = 0¤«ï ¢á¥åi, j > 1.®ª § -⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë § ¢¥àè ¥âáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® à §¬¥àã ¬ âà¨æë.¥®à¥¬ 2.11 (¥®à¥¬ ® ᮣ« ᮢ ®¬ ¡ §¨á¥) .
ãáâ쯮¤£à㯯 ¢ ᢮¡®¤®© ¡¥«¥¢®© £à㯯¥ à £ ¡ §¨án.B { ¥ã«¥¢ ïA áãé¥áâ¢ã¥â â ª®©d1 , d2 , . . . dk , k ≤ n, çâ®®£¤ ¢e = (e1 , . . . , en ) ¨ â ª¨¥ âãà «ìë¥ ç¨á« d1 e1 , . . . , dk ek á®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨á B .í«¥¬¥â뮪 § ⥫ìá⢮.§¨áë ¢A¨ ¢Bãáâìf1 . . . , fn¨g1 , . . . , gk , k ≤ n, { ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¡ -(á¬. ⥮६ã 2.6). ®£¤ gi =nXaij fj ,aij ∈ Z,i = 1, . .
. , k.j=1 áᬮâਬ 楫®ç¨á«¥ãî ¬ âà¨æãí«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï áâà®ªà §®¢ ¨ï¬ ¡ §¨á á⮫¡æ®¢Ag1 , . . . , gk ,A = (aij ) ∈ Mat(k × n, Z). ¥«®ç¨á«¥ë¥A ᮮ⢥âáâ¢ãîâ í«¥¬¥â àë¬ ¯à¥®¡- 楫®ç¨á«¥ë¥ í«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïᮮ⢥âáâ¢ãîâ í«¥¬¥â àë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬ ¡ §¨á ® ⥮६¥ 2.9 ¨§¬¥ïï ®¡ ¡ §¨á , ¬®¦® áç¨â âì, çâ®dk fk .f1 . . . , fn .g1 = d1 f1 , . . . , gk =222.
¯à¥¤¥«¥¨¥2.12. ¡¥«¥¢ £à㯯 Aa1 , . . . , an ∈ A, çâ®x = c1 a1 + · · · + cn an , ci ∈ Z.¢ãîâ â ª¨¥ í«¥¬¥âëáâ ¢«¥¨¥¯à¥¤¥«¥¨¥ª®¥ç® ¯®à®¦¤¥ , ¥á«¨ áãé¥áâ-ª ¦¤ë© í«¥¬¥âx∈A¨¬¥¥â ¯à¥¤-2.13. ¨ª«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯à¨¬ à , ¥á«¨ ¥¥ ¯®à冷ª ï¢-«ï¥âáï á⥯¥ìî ¯à®á⮣® ç¨á« .¥®à¥¬ A2.14 (â஥¨¥ ª®¥ç® ¯®à®¦¤¥ëå ¡¥«¥¢ëå £à㯯) .
ãáâì{ ª®¥ç® ¯®à®¦¤¥ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 .®£¤ Aà §« £ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãîá㬬ã ᢮¡®¤®© ¡¥«¥¢®© £àã¯¯ë ¨ ¯à¨¬ àëå 横«¨ç¥áª¨å £à㯯.a1 , . . . , an ∈ A ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 2.12.n, ¯à¨¬¥à,ãáâ쮪 § ⥫ìá⢮.᢮¡®¤ãî ¡¥«¥¢ã £à㯯ã áᬮâà¨¬à £ FF = Z ⊕ ··· ⊕ Z{z}|n롥६ ¢F¡ §¨áe1 , . . . , en¨ § ¤ ¤¨¬ £®¬®¬®à䨧¬nXξ(xi ei ) =i=1¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ®ξξ : F → A,k ≤ n.¯à¨ ª®â®à®¬xi ai .i=1ï¥âáï í¯¨¬®à䨧¬®¬. ãáâì६¥ 2.11 ¬®¦® áç¨â âì, çâ®{ âãà «ìë¥ ç¨á« ,nXd1 e1 , .
. . , dk ekB = ker ξ . ® ⥮B , £¤¥ d1 , . . . , dká®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨á®«®¦¨¬(Zdi ei ,Ni =0,¥á«¨¥á«¨1 ≤ i ≤ k;k < i ≤ n.® ⥮६¥ 1.70 ® £®¬®¬®à䨧¬ å ¨ ¯® ⥮६¥ 1.120 ¯®«ãç ¥¬A ' F/B ' (Ze1 /N1 ) ⊕ · · · ⊕ (Zen /Nn ). ᫨1 ≤ i ≤ k,(6)â®Zei /Ni = Zei /Zdi ei ' Z/Zdi .(7)® ⥮६¥ 1.117 £à㯯 (7) à §« £ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠯ਬ àëå 横«¨ç¥áª¨å £à㯯.k < i ≤ n, â® Ni = 0, ¨ ¯®í⮬ã Zei /Ni ' Z. â ª, ¯® (6)A ' (⊕i Ci ) ⊕ H, £¤¥ Ci { ¯à¨¬ àë¥ æ¨ª«¨ç¥áª¨¥ £à㯯ë, ¨ ᫨ç⮯®«ãç ¥¬,H = Z ⊕ ··· ⊕ Z.|{z}n−k® ¯à¥¤«®¦¥¨î 2.2 £à㯯 ¯à¥¤¥«¥¨¥H᢮¡®¤ .2.15. à㯯 G¥ ¨¬¥¥â ªàã票ï , ¥á«¨ ¢ ¥© ¥â ¥âà¨-¢¨ «ìëå, â. ¥.
®â«¨çë© ®â 1, í«¥¬¥â®¢ ª®¥ç®£® ¯®à浪 .«¥¤á⢨¥2.16. ®¥ç® ¯®à®¦¤¥ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 ¡¥§ ªàã票ï ᢮-¡®¤ .¯à¥¤¥«¥¨¥2.17. ®¤£à㯯 áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ®ªà¥áâ®áâì ã«ï¥®à¥¬ H ⊆ Rn ¤¨áªà¥â ,U , çâ® U ∩ H = 0.2.18. ¨áªà¥â ï ¯®¤£à㯯 ¢Rn᢮¡®¤ .¨«¨ à¥è¥âª , ¥á«¨2. 23® á«¥¤á⢨î 2.16 ¤®áâ â®ç® ¯®ª § âì, çâ® £à㯯 HH ¬ ªá¨¬ «ìãî «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ãî á¨áPk⥬㠢¥ªâ®à®¢ f1 , . . . , fk ,k ≤ n. ®«®¦¨¬ Γ = { i=1 αi fi |0 ≤ αi ≤ 1}. ®£¤ Γ ï¢«ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, Γ ∩ H ª®¥ç®.
áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì,çâ® H ¯®à®¦¤ ¥âáï Γ ∩ H, f1 , . . . , fk .®ª § ⥫ìá⢮.ª®¥ç® ¯®à®¦¤¥ . 롥६ ¢¥®à¥¬ 2.19. ãáâìG{ ¥¥ ¡ §¨á. ®£¤ ¢¥ªâ®àë ¨§®ª § ⥫ìá⢮.{ ¤¨áªà¥â ï ¯®¤£à㯯 ¢e¥§ ¢¨á¨¬ë ¢RnRn ,¨e = (e1 , . . . , ek ).ãáâì, ¯à¨¬¥à,e1 = λ2 e2 + · · · + λk ek ,λi ∈ R.®«®¦¨¬S = {α2 e2 + · · · + αk ek |0 ≤ αj ≤ 1,®£¤ SS∩Gª®¥ç®.j = 2, . . . , k}.ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥,«ï «î¡®£® âãà «ì®£® ç¨á« d¯®«ãç ¥¬de1 = [dα2 ]e2 + · · · + [dαk ]ek + (β2 e2 + · · · + βk ek ),β2 e2 + · · · + βk ek ∈ S ∩ G.d1 > d2 , çâ® d1 e1 − d2 e1 «¥¦¨â ¢£¤¥®í⮬㠩¤ãâáï â ª¨¥ âãà «ìë¥ ç¨á« ¯®¤£à㯯¥, ¯®à®¦¤¥®©(d1 − d2 )e1 = m2 e2 + · · · + mk ek ,â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î ¡ §¨á ¢¯à ¦¥¨¥«¨ ® ¯«®â ¢2.20.
ãáâìR?Ge2 , . . . , ek ,mj ∈ Z.G.{ ¯®¤£à㯯 ¢R,â. ¥.¯®à®¦¤¥ ï√1, 2.㤥â242. 3à¨áâ ««®£à ä¨ç¥áª¨¥ £à㯯ë1. àã¯¯ë ¤¢¨¦¥¨©3.1. ८¡à §®¢ ¨¥¯à¥¤¥«¥¨¥Φ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E §ë¢ -¥âáï ¤¢¨¦¥¨¥¬ , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¢¥â â ª®© ®à⮣® «ìë© «¨¥©ë© ®¯¥à â®àφ¨ ¢¥ªâ®àb,çâ®Φ(x) = φ(x) + b¯à ¦¥¨¥£à㯯ãG(E)â®x ∈ E.3.2. ᥠ¤¢¨¦¥¨© ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠¤«ï ¢á¥åΦ ¤¢¨¦¥¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠x, y ∈ E .ਬ¥à ¬¨ ¤¢¨¦¥¨© ïîâáï ᤢ¨£¨b∈EG(E),Φ(x) = x + b 䨪á¨à®¢ 멨 ®à⮣® «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï.¥®à¥¬ ¢®¡à §ãîâ -3.3.
®ª § âì, çâ® ¥á«¨kΦ(x) − Φ(y)k = kx − yk¢¥ªâ®àE®â®á¨â¥«ì® ®¯¥à 樨 ª®¬¯®§¨æ¨¨ ®â®¡à ¦¥¨©.¯à ¦¥¨¥E,¤«ï ¢á¥å3.4. ®¦¥á⢮N ¢á¥å ᤢ¨£®¢ ®¡à §ã¥â ®à¬ «ìãî ¯®¤£à㯯ãG(E)/N ' O(E), £¤¥ O(E) { £à㯯 ¢á¥å ®à⮣® «ìëå ¯à¥E . ஬¥ ⮣®, N ' E .¯à¨ç¥¬®¡à §®¢ ¨© ¢ξ : G(E) → O(E) ¯® á«¥¤ãîx ∈ E , â® ¯®«®¦¨¬ ξ(Φ) = φ.â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®à४â®. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì Φ(x) = φ(x) + b = φ0 (x) + b0¤«ï ¢á¥å x ∈ E , £¤¥ b, b0 ∈ E ¨ φ, φ0 ∈ O(E).
®£¤ Φ(0) = b = b0 , ®âªã¤ φ(x) = φ0 (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ E . ®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ξ ï¢ï«¥âáï £®¬¬®à䨧¬®¬£à㯯. ãáâì Φ ª ª ¨ ¢ëè¥, Ψ(x) = ψ(x)+d. ®£¤ Φ[Ψ(x)] = φ[ψ(x)]+φ(d)+b,¨ ¯®í⮬ã ξ(ΦΨ) = φψ = ξ(Φ)ξ(Ψ). ®«¥¥ ⮣®, ker ξ = N . ®í⮬ã N / G(E) ¨G(E)/N ' O(E).®¯®áâ ¢«ïï ψ ∈ N ¢¥ªâ®à ψ(O) ¯®«ãç ¥¬ ¨§®¬®à䨧¬ N ' E .®ª § ⥫ìá⢮.é¥¬ã ¯à ¢¨«ã.
᫨ ¤ ¤¨¬ ®â®¡à ¦¥¨¥Φ(x) = φ(x) + b3.5. à¨áâ ««®£à ä¨ç¥áª®© ¨«¨ ¯à®áâà á⢥®© £àã¯-¯à¥¤¥«¥¨¥¯®© §ë¢ ¥âáï ¯®¤£àã¯¯à §¬¥à®áâ¨n,¤«ï ¢á¥åΓ ¢ £à㯯¥ ¤¢¨¦¥¨© G(E) ¥¢«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E¯à¨ç¥¬1. ¯à¨ ®â®¦¤¥á⢫¥¨¨Ná®¡à §E®© ¯®¤£à㯯®© (¨«¨ à¥è¥âª®©) ¢2.Γ∩N¨¬¥¥â ª®¥çë© ¨¤¥ªá ¢®¥ç ï £à㯯 ∆ = Γ/(∆ ∩ N )¯à ¦¥¨¥3.6.L ¯®¤£à㯯ë Γ ∩ NE à £ n;ï¥âáï ¤¨áªà¥â-Γ. §ë¢ ¥âáï â®ç¥ç®© £à㯯®©.Γ ∩ N / Γ.∆ = Γ/(Γ ∩ N ) ⊂ O(E).f1 , .
. . , fn ®¡à § Γ∩N ¢ E .m1 f1 + · · · + mn fn , m1 , . . . , mn ∈ Z.¡®§ 票¥3.7. ®«®¦¨¬á®®â¢¥âá⢨¨ á ⥮६®© 2.18 ¡ §¨á¨§ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢à¥¤«®¦¥¨¥3.8. ãáâìφ∈∆¨25l ∈ L.®£¤ φ(l) ∈ L. 䨪á¨à㥬 ¢®£¤ L á®á⮨â263. ãáâì Φ(x) = φ(x) + b ¨ Ψ(x) = x + lΦ−1 (x) = φ−1 (x) − φ−1 (b), ®âªã¤ ®ª § ⥫ìá⢮.£¤¥Φ, Ψ ∈ Γ.®£¤ ¤«ï ¢á¥åx ∈ E,(ΦΨΦ−1 )(x) = Φ(Φ−1 (x) + l) = φ(φ−1 (x) − φ−1 (b) + l) + b = x + φ(l).«¥¤á⢨¥3.9. ãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ¬ âà¨æ X ∈ GL(n, R),çâ®X∆X −1 ⊆ GL(n, Z). ç áâ®áâ¨, ¥á«¨¥®à¥¬ A ∈ ∆,â®tr A ∈ Z.3.10 (®à¤ ) . ãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äãªæ¨ï¡®© ª®¥ç®© ¯®¤£à㯯ëG¢O(n, R)¯®à冷ªGτ (n), çâ® ¤«ï «îτ (n).¥ ¯à¥¢®á室¨â2. ¢ã¬¥àë© á«ãç © í⮬ à §¤¥«¥ ¬ë ®¯¨è¥¬ ªà¨áâ ««®£à ä¨ç¥áª¨¥ £àã¯¯ë ¢ ¤¢ã¬¥à®¬¯à®áâà á⢥.
áᬮâਬ á ç « áâ஥¨¥ ª®¥çëå ¯®¤£à㯯SO(2, R).㯯 SO(2, R)∆¢ £à㯯¥á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¢à 饨© ¤¢ã¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠. «î¡®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ í⮣® ¯à®áâà á⢠¬ âà¨æ ®¯¥à â®à ¢à é¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤g= ᫨g ∈ ∆,0, ±1, ±2,cos αsin α− sin α.cos αtr g = 2 cos α ∈ Z. ª¨¬π π 2πα = 0, ± , ± , ± , π. â ª, ¤®ª § 323â® ¯® á«¥¤á⢨î 3.9®âªã¤ ¥®à¥¬ 3.11. ®¤£à㯯 ®¡à §®¬,2 cos α =∆ ¢ SO(2, R) ï¥âáï 横«¨ç¥áª®© £à㯯®© ¯®-à浪 1, 2, 3, 4, 6.ãáâì ⥯¥àì ∆ ⊂ O(2, R), ® ∆ 6⊂ SO(2, R).
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