В.А. Артамонов - Группы и их приложения (1107634), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . , r.(25)¤«ï à §«¨çëå «¨¥©ëå £à㯯.G = SL(n, F ),â®G§ ¤ ¥âáï ®¤¨¬ ãà ¢¥¨¥¬f = det X − 1 = 0.âáî¤ TE§ ¤ ¥âáï ®¤¨¬ ãà ¢¥¨¥¬Pn∂( i=1 Aiq xiq )∂f∂(det X)=== Apq .∂xpq∂xpq∂xpq ª¨¬ ®¡à §®¬,â. ¥.TE§ ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬à¨¬¥àE.∂f= δpq , ®âªã¤ ∂xpqXX ∂fXδpq dxpq =dxpp = tr(dX),dxpq =∂xpqp.qp,qptr(dX) = 0.6.5. ᫨⮠®§ ç ¥â, çâ®G = O(n, R), â® G¤«ï i, j = 1, . . . , nnX§ ¤ ¥âáï ®¤¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ t Xxti xtj − δij = 0.t=151·X =526.
ª¨¬ ®¡à §®¬,Pn∂xti∂xtj∂ Pn( t=1 xti xtj − δij ) = t=1xtj + xti=∂xrs∂xrs∂xrsPnt=1 (δtr δis xtj + xti δtr δjs ).â ª,nX∂∂xrsxti xtj − δij!nX|E =t=1(δtr δis δtj + δti δtr δjs ).t=1âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ®TE § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨nX0=(δtr δis δtj + δti δtr δjs )dxrs = dxji + dxij .t,s,r=1«¥¤®¢ ⥫ì®,á®á⮨⠨§ ¢á¥å ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª¨å ¬ âà¨æTEdX = (dxij ). 䨪á¨à㥬 í«¥¬¥âg «¨¥©®© £à㯯ë G. â®¡à ¦¥¨¥ ¯à ¢®£® ᤢ¨£ x 7→ xg, ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¬ ®â®¡à ¦¥¨¥¬, ¯®áª®«ìªãRg : G → G,㬮¦¥¨¥ ¬ âà¨æ § ¤ ¥âáï «¨¥©ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨ ®â ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¬ âà¨æëx ∈ G.g , â.¬ âà¨æ¥©®í⮬㠤¨ää¥à¥æ¨ «dRgí⮣® ®â®¡à ¦¥¨ï ᮢ¯ ¤ ¥â á¥.dRg : Tx → Txg ,®R g1 g2 = R g 1 R g 2 .Tg ,â. ¥.(26)dRg (dX) = (dX)g.«¥¤®¢ ⥫ì®,§ ¤ ¥â «¨¥©ë© ¨§®¬®à䨧¬dRgg ∈ G.¨(27)Tg = TE g¤«ï «î¡®£®TE ç áâ®áâ¨, á¯à ¢¥¤«¨¢®à¥¤«®¦¥¨¥6.6.dim TE = dim Tg¤«ï «î¡®£®g ∈ G.6.7. ãáâì G { «¨¥© ï £à㯯 .
ã⥬ ¨§ í«¥¬¥â E ¢g ∈ G §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ p : [0, 1] → G,çâ® p(0) = E, p(1) = g . ¢ï§®© ª®¬¯®¥â®© E ¢ G §ë¢ ¥âáï ¬®¦¥á⢮¢á¥å í«¥¬¥â®¢ g ∈ G, ®¡« ¤ î騬 ¯ã⥬ ¨§ E ¢ g . à㯯 G á¢ï§ , ¥á«¨GE = G.¯à¥¤¥«¥¨¥í«¥¬¥â¥®à¥¬ 6.8. ¢ï§ ï ª®¬¯®¥â ®à¬ «ì®© ¯®¤£à㯯®© ¢®ª § ⥫ìá⢮.GE¥¤¨¨ç®£® í«¥¬¥â Eï¥âáïG.ãáâìGE{ á¢ï§ ï ª®¬¯®¥â E,¨g, h ∈ GEá ¯ã-âﬨx(t), y(t) : [0, 1] → G,®£¤ x(t)y(t)x(0) = y(0) = E,{ ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë© ¯ãâì ¨§x(1) = g,E¢gh.y(1) = h.஬¥ ⮣®, ¯®«ãç ¥¬¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ë¥ ¯ãâ¨x(t)−1E −−−−→ X −1 , ª ª ª ¨¬¥¥âáï «®ª «ì ï ¡¨¥ªæ¨ïTE (G).¯à ¦¥¨¥6.9.
®ª § âì, çâ®Zx(t)Z −1E −−−−−−→ ZXZ −1 .G¨TE¢ ®ªà¥áâ®áâ¨E,â®TE (GE ) =1. 1.2.GE ¨¬¥¥â ª®¥çë© ¨¤¥ªá ¢ G;O(n, R) ¥ á¢ï§®, SO(n, R) á¢ï§®.¯à ¦¥¨¥6.10. 㤥⠫¨ £à㯯 ।«®¦¥¨¥£à㯯¥G. ᫨ t0x(t) = (xij (t)).¨á¢ï§ ?x : [0, 1] → G { ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ë©g = x(t0 ) ∈ G, â® x0 (t0 ) ∈ Tg (G).ãáâìt ∈ [0, 1].¯ãâì ¢G § ¤ ¥âáï á¨á⥬®© «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©®£¤ fs (xij (t)) = 0,¤«ï «î¡®£®SL(n, R)6.11. ãáâì∈ [0, 1]®ª § ⥫ìá⢮.(24), ¨53i = 1, . . . , N,«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨á¯®«ì§ãï ¯à ¢¨«® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ïá«®¦®© äãªæ¨¨, ¤«ï «î¡®£®s = 1, . .
. , N¯®«ãç ¥¬∂fs(g)x0pq (t0 ) = 0.∂xpqâáî¤ ¢ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥¨ï 6.3 ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ã⢥ত¥¨¥.6.12. ãáâì £à㯯 ¥®à¥¬ ®ª § ⥫ìá⢮.ãáâìGX∈Gá¢ï§ . ®£¤ ¨x(t)G{ ¯ãâì ¨§®¯à¥¤¥«ï¥âáïE¢X.TE .®£¤ x(t)0 ∈ Tx(t) = TE x(t)¤«ï ¢á¥åt ∈ [0, 1]¢ ᨫã (27). â ª,x(t)0 = A(t)x(t),¡à â®, ¥á«¨A(t) = AA ∈ TE ,A(t) ∈ TE¤«ï ¢á¥åt ∈ [0, 1].(28)â® à áᬮâਬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (28), £¤¥á ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬x(0) = E .® ¨¬¥¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥®¥à¥è¥¨¥.롥६ ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥Mat(n, F ) â ªãî ®¢ãî á¨á⥬㠪®yj , j = 1, . .
. , n2 , çâ® TE § ¤ ¥âáï á¨á⥬®© ãà ¢¥¨© yi = 0, £¤¥ i¯à®¡¥£ ¥â ¯¥à¢ë¥ d ¨¤¥ªá®¢. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â «®ª «ì ï ¡¨¥ªæ¨ï TE ¨ G.®í⮬ã à¥è¥¨¥ (28) «¥¦¨â ¢ G.® íâ® à¥è¥¨¥ ¥áâì exp At. ª¨¬ ®¡à §®¬, exp : TE → G ï¥âáï «®ª «ì®© ¡¨¥ªæ¨¥© ¢ ®ªà¥áâ®á⨠U â®çª¨ E . ª ª ª ®â®¡à ¦¥¨¥ x 7→ x−1¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®, â® ¬®¦® áç¨â âì, çâ® U −1 ⊆ U . ¡®§ 稬ç¥à¥§ H ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯à®¨§¢¥¤¥¨© í«¥¬¥â®¢ ¨§ U . ᫨ x ∈ H , â® xU ⊆ Hï¥âáï ®âªàëâë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ ¢ G.ãáâì G \ H ¥¯ãáâ® ¨ z ∈ G \ H . ᫨ zU ∩ H ¥¯ãáâ®, â® zu = u1 · · · ut ,£¤¥ u, uj ∈ U . âáî¤ z = u1 · · · ut u−1 ∈ H , â ª ª ª u−1 ∈ U .
«¥¤®¢ ⥫ì®,zU ∩ H ¯ãáâ®. â ª, G ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¤¢ãå ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ®âªàëâëå ¯®¤¬®¦¥á⢠G = H ∪ (G \ H). ãáâì g ∈ G \ H ¨ x : [0, 1] → G,£¤¥ x(o) = E,x(1) = g . ®£¤ ®â१®ª [0, 1] ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¤¢ãå ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ®âªàëâëå ¥¯ãáâëå ¯®¤¬®¦¥á⢠x−1 (H),x−1 (G \ H), ç⮮न ⥢®§¬®¦®.ਬ¥àë6.13. áᬮâਬ íªá¯®¥æ¨ «ì®¥ ¤«ï àï¤ £à㯯 ¨å ¯®à®¦-¤ îé¨å í«¥¬¥â®¢.546. 1.
ãáâìG = SL(n, C). ®£¤ TE = sl(n, C).Eij , 1 ≤ i 6= j ≤ n,Eii − Ejj , §¨ásl(n, C)1 ≤ i < j ≤ n.¬ âà¨æëá®áâ ¢«ïîâਠ⮬i 6= j,exp(Eij ) = E + Eij ,jiexp(Eii − Ejj ) = diag(1, . . . , 1, e, 1, . . . , 1, e, 1 . . . , 1).2. ãáâìexp1√21iG = O(2, R), TE = o(2, R). ®£¤ "−1 #1 1 i1 1 iiα00 α√== exp √0 −iα−α 02 i 12 i 1−1 1 1 iiexp(iα)0cos α − sin α√=10exp(−iα)sin α cos α2 i 12. âàãªâãà «£¥¡àë ¨ ¥®à¥¬ 6.14. ãáâìG{ «¨¥© ï £à㯯 , ¨TEA, B ∈ TE .®£¤ [A, B] ∈TE .®ª § ⥫ìá⢮.G¤«ï ¢á¥åt ∈ F. ª ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 6.12exp(At), exp(Bt) ∈«¥¤®¢ ⥫ì®,√√[exp(A t), exp(B t)] ∈ G¤«ï ¢á¥åëç¨á«¨¬ ª á ⥫ìë© ¢¥ªâ®à ª (29) ¢ â®çª¥E.t ∈ F.(29)¬¥¥¬√√A texp(A t) = E + A t ++ o(t);2√√B2texp(B t) = E + B t ++ o(t);2√√√A2 texp(A t)−1 = exp(−A t) = E − A t ++ o(t);22√√√B texp(B t)−1 = exp(−B t) = E − B t ++ o(t);22 ª¨¬ ®¡à §®¬,√√√√√√[exp(A t), exp(B t)] = exp(A t) exp(B t) exp(A t)−1 exp(B t)−1 =√E + (A + B − A − B) t + 2AB2A2B222++++ AB − A − AB − BA − B + AB t + o(t) =2222E + (AB − BA)t + o(t).¯à¥¤¥«¥¨¥G1 ⊆ GL(n1 , F ), G2 ⊆ GL(n2 , F ), { «¨¥©ë¥f : G1 → G2 §ë¢ ¥âáï £®¬®¬®à䨧¬ «¨¥©ëå6.15.
ãáâì£à㯯ë. ®¬®¬®à䨧¬ £à㯯£à㯯, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¬®£®ç«¥ëfij (Xrs ) ∈ F [Xrs |1 ≤ r, s ≤ n1 ],çâ® ¤«ï «î¡®£®g = (grs ) ∈ G1 (i, j)-ë©1 ≤ i, j ≤ n2 ,ª®íää¨æ¨¥âë ¬ âà¨æëf (g)à ¢¥fij (grs ).¥®à¥¬ 6.16. ᫨df |E : TE (G1 ) → TE (G2 )f : G1 → G 2{ £®¬®¬®à䨧¬ «¨¥©ëå £à㯯, â®ï¢«ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ «£¥¡à ¨.2. ®ª § ⥫ìá⢮.JE (f )ãáâìTE55A ∈ TE (G1 ). ®£¤ df |E (A) = JE (f )A, £¤¥f ¢ â®çª¥ E . ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â®¡à ⮣®, f (exp(At)) = exp(df |E (A)t) ¤«ï «î¡®£®{ § 票¥ ª®¡¨ ®â®¡à ¦¥¨ï¦¥¨¥df |Et ∈ F.âáî¤ «¨¥©®. ஬¥√√√√f ([exp(A t), exp(B t)]) = [f (exp(A t)), f (exp(B t))] =√√[exp(df |E (A t)), exp(df |E (B t))].¨ää¥à¥æ¨àãï à ¢¥á⢮ (30) ¯®[df |E (A), df |E (B)].«¥¤á⢨¥¯à¨ç¥¬ £à㯯 ¥®à¥¬ F - «£¥¡à , Gt=0¯®«ãç ¥¬df |E ([A, B]) =f : G1 → G2 { £®¬®¬®à䨧¬ «¨¥©ëådf |E ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥â f .£à㯯,á¢ï§ . ®£¤ 6.18.
ãáâìA { ª®¥ç®¬¥à ï, ¥ ®¡ï§ â¥«ì® áá®æ¨ ⨢ ïDer A { «£¥¡à ¨ ¥¥ ¤¨ää¥à¥G «¨¥© ¨ TE = Der A { ¥¥ «£¥¡à ¨.{ £à㯯 ¥¥ ¢â®¬®à䨧¬®¢, ¨æ¨à®¢ ¨©. ®£¤ £à㯯 ®ª § ⥫ìá⢮.¤«ï «î¡ëå¨ ¯®« £ ïª ª ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 6.14.6.17. ãáâìG1t(30)ãáâìe = (e1 , . . . , en ) { ¯à®¨§¢®«ìë© ¡ §¨á ¢ A.®£¤ i, j = 1, . . .
, nei ej =nXckij ek ,ckij ∈ F.(31)i,j,k=1 ᫨α∈G¨¬¥¥â ¢ ¡ §¨á¥e¬ âà¨æãαei =(aij ),nXâ®ek akik=1«¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï ¢á¥åi, jPα(ei )α(ej ) = t,s es asi et atj =PPkt,s es et asi atj =t,s,k cst asi atj ek .P kPk ¤à㣮© áâ®à®ë, α(ei ej ) =k cij α(ek ) =k,l cij el alk .¥âë aij ¬ âà¨æë α 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨ï¬¨XXckij el alk =ckst asi atj ,k,l¨ ¯®â®¬ã £à㯯 G ⊆ GL(n, F )(32)®í⮬㠪®íää¨æ¨-t,s,k«¨¥© . ©¤¥¬ ¥¥ «£¥¡àã ¨. «¥¬¥âD ∈ TE ⇐⇒ exp(Dt) ∈ G = Aut Aâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¤«ï ¢á¥å¤«ï ¢á¥åt ∈ F.a, b ∈ Aexp(Dt)(ab) = exp(Dt)(a) exp(Dt)(b). ª¨¬ ®¡à §®¬,Dt D2 t2++ · · · )(ab) =1!2!Dt D2 t2Dt D2 t2(E +++ · · · )(a)(E +++ · · · )(b).1!2!1!2!¨ää¥à¥æ¨àãï à ¢¥á⢮ (33) ¯® t ¨ ¯®« £ ï t = 0, ¯®«ãç ¥¬(E +D(ab) = D(a)b + aD(b).(33)566.
â ª,TE ⊆ Der A.¡à â®, ¯ãáâìD ∈ Der A.®£¤ Dt ∈ Der A¤«ï ¢á¥åt ∈ F.âáî¤ ¯®ä®à¬ã«¥ ¥©¡¨æ exp(Dt)(ab) = (E +Dt D2 t2++ · · · )(ab) =1!2!1(D2 (a)b + 2D(a)d(b) + aD2 (btn ))t2 + · · ·2! n1 Pn+ ( i=0Di (a)Dn−i (b)) + · · ·n!iD2 (a)t2D2 (b)t2(a + D(a)t ++ · · · )(b + D(b)t ++ ···) =2!2!exp(Dt)(a) exp(Dt)(b).ab + (D(a)b + aD(b))t +â ª,exp(Dt) ∈ G. áᬮâਬ ¯®¤à®¡¥¥ ᢮©á⢠á¢ï§ëå ¨ ¥á¢ï§ëå £à㯯 ¨.¥®à¥¬ 6.19. à㯯ëSL(n, C),á¢ï§ë. à㯯륮६ GL(n, C),GL(n, R), O(n, R)SO(n, R),U(n, C),SU(n, C)¥á¢ï§ë.6.20.
î¡ ï ª®¬¯ ªâ ï ª®¬¯«¥ªá ï £à㯯 ¨ ¨§®¬®àä ¡¥«¥¢®© £à㯯¥Cn /Γ,¯à¥¤¥«¥¨¥£¤¥Γ{ ¤¨áªà¥â ï ¯®¤£à㯯 à £ 6.21. ®¬®¬®à䨧¬ £à㯯 ¨¢2nf : G → HCn . §ë¢ ¥âáï -ªàë¢ î騬 , ¥á«¨ ¢ë¯®«¥® ®¤® ¨§ íª¢¨¢ «¥âëå ãá«®¢¨©:1. ¯®¤£à㯯 2.3.ker f ¤¨áªà¥â ;df : T1 (G) → T2 (G) ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®àëåf ¨¤ãæ¨àã¥â ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ®ªà¥áâ®á⥩ x ¨ f (x).ਬ¥à6.22. ®¬®¬®à䨧¬¯à®áâà áâ¢;f : R → U(1, C), f (x) = exp(2πi).ï¥âáï ªàë⨥¬.¥®à¥¬ SO(3, C)6.23. ãé¥áâ¢ã¥â ªàë¢ î騩 £®¬®¬®à䨧¬á ï¤à®¬ker f = ±1.ਠí⮬ãáâ쮪 § ⥫ìá⢮.f : SL(2, C) →f (SU(2, C)) = SO(3, R).L = sl(2, C) { ¬®¦¥á⢮ ¬ âà¨æ á® á«¥¤®¬ ã«ì,â. ¥.a csl(2, C) = {|a, b, c ∈ C}.b −a áᬮâਬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥gxg −1 . ¬¥â¨¬, çâ®AdAd £à㯯ë G = SL(2, C) ¢ L ¯® ¯à ¢¨«ã (Ad g)(x) =á®åà ï¥â ¡¨«¨¥©ãî äãªæ¨î2 2a c = −a2 − bc = (ia)2 + i(b√− c) + i(b√+ c) .
b −a22Ad g ∈ SO(3, C).ker Ad = ±1. ਠí⮬ Im Ad = SO(3, C).«¥¤®¢ ⥫ì®,á®, çâ®â ª®áâàãªæ¨ï ®¡®¡é ¥âáï ¯à®¨§¢®«ì®¥n ≥ 2.¬¥®, ¯ãáâì «£¥¡à «¨ää®à¤ ®â áâ ¤ à⮩ ¡¨«¨¥©®© äãªæ¨¨(x, y) =Pn Cn {j=1 xj yj2. n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ CnCnTEá® áâà ¤ àâë¬ ¡ §¨á®¬57e1 , . . . , en .®£¤ ¡ §¨áá®áâ ¢«ïîâ ®¤®ç«¥ëei1 · · · eim ,1 ≤ i1 < .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
