В.А. Артамонов - Группы и их приложения (1107634), страница 8
Текст из файла (страница 8)
( «£¥¡à).¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 5.26 ï¢-5.28 (¥®à¥¬ ® £®¬®¬®à䨧¬ å) . ãáâì䨧¬ ª®«¥æ ( «£¥¡à). ®£¤ φ : R → R0{ £®¬®¬®à-Im φ ' R/ ker φ/.® ⥮६¥ 1.70 ®â®¡à ¦¥¨¥ ζ : f (R) → R/ ker φ, § ζ(φ(x)) = φ−1 (φ(x)) = x ker φ ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬Im φ ¨ R/I . áâ ¥âáï ¯®ª § âì, çâ® ζ(ab) = ζ(a)ζ(b), ¨®ª § ⥫ìá⢮.¤ ¢ ¥¬®¥ ¯® ¯à ¢¨«ã ¤¤¨â¨¢ëå £à㯯(18)αζ(a) = ζ(αa)a, b ∈ Im φ, α ∈ k . ãáâì a = φ(x), b = φ(y), £¤¥ x, y ∈ R. ªφ(x)φ(y) = φ(xy), â® ζ(a)ζ(b) = φ−1 (φ(x))φ−1 (φ(y)) = φ−1 φ(xy) = ζ(ab).¤«ï ¢á¥åª ª «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï (18).ਬ¥àë1.2.5.29. ®ª § âì, çâ®C[X, Y ]/(X) ' C[X];R[X]/(X 2 + X + 1) ' C.2.
¥®à¥¬ à®à¡¥¨ãá ¯¨è¥¬ ª®¥ç®¬¥àë¥ â¥« ¤ ¯®«¥¬ ¢¥é¥á⢥ëå ç¨á¥«.5.30. ãáâì¯à¥¤¥«¥¨¥Hz=¥®à¥¬ 5.31.{ ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªáëå ¬ âà¨æa−bba(19)H ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© ¢ R- «£¥¡à¥ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªáëå ¬ â-à¨æMat(2, C).®«¥¥ ⮣®,H®ª § ⥫ìá⢮.®£¤ ï¥âáï ⥫®¬ á æ¥â஬«ïz ∈ H ¨§ (19) ç¥à¥§ kzkp√det z = |a|2 + |b|2 .R.®¡®§ 稬kzk > 0, ¥á«¨ z 6= 0, kz1 z2 k = kz1 kkz2 k.z ¨§ (19), â® ¯®«®¦¨¬a −bz=b a ᫨¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, ç⮫¥¤®¢ ⥫ì®,Hzz = kzk2 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨z 6= 0,{ ⥫®.
® ¥ª®¬¬ãâ ⨢®, â ª ª ª ¥á«¨I=0 −1,1 0J=i 0,0 −iâ®z −1 =z.kzk2(20)46â®5. IJ = −JI . ©¤¥¬ æ¥âàH. á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¬ âà¨æw=çâ®wz = zw¤«ï ¢á¥å ¬ âà¨æª §ë¢ ¥â, çâ®v,uu−v¨§ eqref (19). ¥¯®á।á⢥ ï ¯à®¢¥àª ¯®-zw = λE , λ ∈ R.5.32.
®ª § âì, çâ® ¬ âà¨æë¯à ¦¥¨¥K=á®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨áH ¤R,IJ = K,E, I, J, K ,£¤¥I, J¨§ (20) ¨0−ii,0¯à¨ç¥¬I 2 = J 2 = K 2 = −E.JK = I, ¬ ¯®âॡã¥âáï àï¤ ã⢥ত¥¨©.5.33. ãáâì¯à¥¤¥«¥¨¥z ∈ A §ë¢ ¥âá童 f ∈ k[X],í«¥¬¥â z ¤ kA{ áá®æ¨ ⨢ ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¤çâ®k - «£¥¡à á 1. «¥¬¥âk , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¥ã«¥¢®© ¬®-¨¨¬ «ìë¬ ¬®£®ç«¥®¬ «£¥¡à ¨ç¥áª®£®f (z) = 0.f (X) ∈ k[X]f (z) = 0. §ë¢ ¥âáï â ª®© ¬®£®ç«¥¯¥¨ á® áâ à訬 ª®íää¨æ¨¥â®¬ 1, çâ®¯à ¦¥¨¥5.34. ãáâìz = X + (p) ∈ k[X]/(f ).f ∈ k[X]{ ¨¬¥¥â áâ à訩 ª®íää¨æ¨¥â 1, ¨®£¤ ¬¨¨¬ «ìë© í«¥¬¥â ¤«ïzà ¢¥f.k , ¨ z ∈ K { «£¥¡f (X). ®£¤ f ¥¯à¨¢®¤¨¬.®«®¦¨¬ k[z] = {a0 + a1 z + · · · + an−1 z n−1 |ai ∈ k, n = deg f }.
®£¤ k[z] ï¥âáï ¯®¤¯®«¥¬ ¢ K , ᮤ¥à¦ 騬 k , ¨à¥¤«®¦¥¨¥5.35. ãáâ쬨¨¬ «ì®© áâ¥-A{ ®¡« áâì ¤ ¯®«¥¬à ¨ç¥áª¨© í«¥¬¥â á ¬¨¨¬ «ìë¬ ¬®£®ç«¥®¬k[z] ' k[X]/(f ).।«®¦¥¨¥5.36. ãáâìA®£¤ ¬¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ ¤(21)ª®¥ç®¬¥à®¥ ⥫® ¤aR,¨a ∈ A \ R.R[a] '¨¬¥¥â á⥯¥ì ¤¢ . ஬¥ ⮣®,C.A ª®¥ç®¬¥à®, ¢á¥ á⥯¥¨ a § ¢¨á¨¬ë. «¥p ¤«ï a ¥¯à¨¢®¤¨¬ ¨¯®â®¬ã ¨¬¥¥â á⥯¥ì ¥ ¢ëè¥ 2 ¢ ᨫ㠯।«®¦¥¨ï 5.35. ª ª ª a ∈/ R, â®á⥯¥ì p à ¢ 2.
®í⮬ã a2 + αa + β = 0, £¤¥ p = X 2 + αX + β ∈ R[X].®ª § ⥫ìá⢮.¤®¢ ⥫ì®,a ª ª ª «£¥¡à ¨ç®. ¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥®«®¦¨¬®£¤ I 2 = −1,2a + αI=p.4β − α2¯à¨ç¥¬ ¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 5.35R[a] = R[I] ' R[X]/(X 2 + 1) ' C.¥®à¥¬ ¯®«ïR.5.37. ãáâì ¯®«¥®£¤ «¨¡®A = R,«¨¡®A ï¥âáïA = C. «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ à áè¨à¥¨¥¬3. 47A ⊇ R1 = R. ®¦® áç¨â âì, çâ® A 6= R.A ï¥âáï ª®¥çë¬ à áè¨à¥¨¥¬ C. ᫨ a ∈ A \ C, â® ¬¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ f ¤«ï a ¨¬¥¥â ª®¬¯«¥ªáë© ª®à¥ìλ. âáî¤ 0 = f (a) = (a − λ)g(a), £¤¥ g ∈ C[X]. ª ª ª ¢ A ¥â ¤¥«¨â¥«¥©ã«ï, â® a − λ = 0 ¨ a = λ ∈ C. ¬¥â¨¬, çâ®®ª § ⥫ìá⢮.A ⊇ C.® ¯à¥¤«®¦¥¨î 5.36¥®à¥¬ Aâ ª,5.38 (஡¥¨ãá) .
ãáâì{ ®¤® ¨§ ⥫A{ ª®¥ç®¬¥à®¥ ⥫® ¤R.®£¤ R, C, H.®¦® áç¨â âì, çâ® A ¥ ª®¬¬ãâ ⨢®. ª ¨ ¢ ¯à¥A ⊇ R1 = R. ®¦® áç¨â âì, çâ® A 6= R. ® ¯à¥¤«®¦¥¨î 5.36 A ⊇ C. ᫨ A = C, ⮠⥮६ ¤®ª § . ãáâì A 6= C. í⮬ á«ãç ¥A ï¥âáï «¥¢ë¬ ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮¬ ¤ C. áᬮâਬ ¢ A «¨¥©ë© ®¯¥à â®à L(x) = xi,i ∈ C. ¬¥â¨¬, çâ® L4 = 1. ®í⮬㠯®«ãç ¥âá类¬¯«¥ªá®¥ ª®¥ç®¬¥à®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ 横«¨ç¥áª®© £à㯯ë G ¯®à浪 4.«¥¤®¢ ⥫ì®, A à §« £ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㮪 § ⥫ìá⢮.¤ë¤ã饩 ⥮६¥ 5.37A = A1 ⊕ A−1 ⊕ Ai ⊕ A−i ,ãáâ쮣¤ £¤¥y ∈ A1 .
®£¤ yi = y, ®âªã¤ y(i − 1) = 0, â. ¥. y = 0. ãáâì y ∈ A−1 .yi = −y, ®âªã¤ y(i + 1) = 0, â. ¥. y = 0. â ª, A1 = A−1 = 0, ¨A = Ai ⊕ A−i ,¥¬¬ 5.39.®ª § ⥫ìá⢮.¥¬¬ AC.®£¤ ai = ia,® ⥮६¥ 5.37 ¯®«ãç ¥¬y ∈ Aεi , z ∈ Aτ i ,¬¥¥¬5.41. ãáâ쮪 § ⥫ìá⢮.a ∈ Ai .ãáâì5.40. ãáâ쮪 § ⥫ìá⢮.¥¬¬ C ⊆ Ai .Ai = C.ª®¥çë¬ à áè¨à¥¨¥¬ª ª ¢Aj = {x ∈ A|xi = jx}.£¤¥â. ¥. ¯®«¥C[a]ï¥âáïAi = C.ε, τ = ±1.®£¤ yz ∈ Aετ i .(yz)i = y(zi) = y(τ ia) = τ (yi)a = τ εi(ya).y ∈ Aεi .®£¤ yAεi = Ai , yA−εi = A−i .® «¥¬¬¥ 5.40 ¯®«ãç ¥¬yAεi ⊆ Ai ,yAi ⊆ Aεi . ª¥â ¤¥«¨â¥«¥© ã«ï, â®dimC Aεi = dimC (yAεi ) ≤ dimC Ai = (yAi ) ≤ dimC Aεi .âáî¤ á«¥¤ã¥â ã⢥ত¥¨¥.«¥¤á⢨¥5.42.dimC Ai = dimC A−i = 1. ¢¥à訬 ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë.
ãáâì j ∈ A−i . ® «¥¬¬ ¬ 5.40, 5.39j 2 ∈ C. ®£¤ ji = −ij . ® «¥¬¬¥ 5.40 ¬®¦® áç¨â âì, çâ® j 2 = −1. ®«®¦¨¬k = ij ∈ A−i . ®£¤ ki = −ik . ஬¥ ⮣®, k 2 = ijij = i(−ij)j = −i2 j 2 = −1, ¨jk = j(ij) = (ji)j = −ij 2 = i, kj = (ij)j = ij 2 = −i. â ª, Ai = C = R1 + Ri,A−i = Cj = Rj + Rk ¢ ᨫã á«¥¤á⢨ï 5.42. âáî¤ a ' H.3.
«£¥¡àë ¨¯à¥¤¥«¥¨¥á 㬮¦¥¨¥¬5.43. «£¥¡à®© ¨[x, y],L §ë¢ ¥âáï ¥ áá®æ¨ ⨢ ï «£¥¡à 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ⮦¤¥á⢠¬[x, x] = [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.ਬ¥à5.44. «£¥¡à A(−) , «£¥¡à R3 , [x, y] = x × y .485. 5.45. «£¥¡à¥ ¨ ¢ë¯®«¥® ⮦¤¥á⢮ ⨪®¬¬ãâ ⨢-¯à ¦¥¨¥®áâ¨[x, y] = −[y, x].¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.46 . ãáâì A { ¯à®¨§¢®«ì ï «£¥¡à . ¨¥©®¥ ®¯¥à â®àD A §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬ , ¥á«¨ D(xy) = D(x)y + xD(y). ¥à¥§Der(A) ®¡®§ ç ¥âáï ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨© «£¥¡àë A.।«®¦¥¨¥5.48. ãáâì¯à ¦¥¨¥à á⢥kn ,£¤¥kDer(A) ï¥âáïL(A)(−) A.f{ ¯®«¥.
¥à¥§á¨¬¬¥âà¨çëå ®â®á¨â¥«ì®{ ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ¯à ¦¥¨¥nC ¢ k , çâ®Mat(n, k)(−) .5.49. ãáâìfCn .®â®á¨â¥«ì® f¥à¥§su(n, f ){ ¯®¤ «£¥¡à ¨ ¢5.50. ¥à¥§¡®§ 票¥Mat(n, k)su(n, f )n-®¡®§ 稬 ¬®¦¥á⢮Cn , â. ¥. ¬®f (Ax, y) = −f (x, Ay).«¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢®ª § âì, çâ®k n . â. ¥. ¬®¦¥á⢮f (Cx, y) = −f (x, Cy). ®ª § âì,{ ¯®«ãâ®à «¨¥© ï íନ⮢ ä®à¬ ¬¥à®¬ ª®¬¯«¥ªá®¬ ¯à®áâà á⢥¢á¥å ª®á®á¨¬¬¥âà¨çëå¯à®áâ-«¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢f{ ¯®¤ «£¥¡à ¨ ¢o(n, f )n-¬¥à®¬{ ®¡®§ ç ¥âáï ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®á®-o(n, f )¢á¥å â ª¨å «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ç⮯®¤ «£¥¡à®© ¨ ¢ «£¥¡à¥ ¨ ¢á¥å5.47.«¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢nA ¢ C , çâ®Mat(2n, R)(−) .sl(n, k) ®¡®§ ç ¥âáï ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ¬ âà¨æ ¨§á® á«¥¤®¬ 0.¯à ¦¥¨¥5.51.।«®¦¥¨¥sl(n, k)5.52.
ãáâìH = E11 − E22 ,Mat(n, k)(−) .ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© ¨ ¢k{ ¯®«¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨6= 2,¨Y = E21 ∈ Mat(2, k).X = E12 ,®ª § âì, çâ®[X, Y ] = H,¥®à¥¬ 5.53. «£¥¡à ®ª § ⥫ìá⢮.[H, Y ] = −2Y.[H, X] = 2X,sl(2, k)ãáâì¯à®áâ , ¥á«¨0 6= I / sl(2, k),(22)char k 6= 2.u = αX + βY + γH ∈ I \ 0.¨®£¤ ¯® (22)[X, u] = β[X, Y ] + γ[X, H] = βH − 2γX ∈ I.஬¥ ⮣®,I = sl(2, k)ãáâìX ∈ I,[X, [X, u]] = β[H, X] = 2βX ∈ I. ᫨β 6= 0,(23)â®X ∈ I,¨ ⮣¤ ¢ ᨫã (22).β = 0.® (23) ¯®«ãç ¥¬, çâ®ãáâìI = sl(2, k).β = γ = 0, α 6= 0.[X, u] = −2γX ∈ I . ᫨γ 6= 0,⮨ ¯®í⮬㥮६ 5.54.
«£¥¡à ¨®ª § ⥫ìá⢮.e1 , e2 , e3®£¤ ᮢ (R3 , ×)X ∈ I.¯à®áâ .¡¥¤¨¬áï á ç « , çâ®{ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢[e1 , e2 ] = e3 ,R3(R3 , ×){ «£¥¡à ¨.. ®£¤ ¬®¦® áç¨â âì, çâ®[e2 , e3 ] = e1 ,[e3 , e1 ] = e2 .¥¯®á।á⢥ ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ®[x, x] = J(e1 , e2 , e3 ) = [[e1 , e2 ], e3 ] + [[e2 , e3 ], e1 ] + [[e3 , e1 ], e2 ] = 0.ãáâì3. ஬¥ ⮣®, ª®¡¨ J(x, y, z)ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥. âáî¤ ¢ë¢®¤¨âáï49(R3 , ×){ «£¥¡à ¨.ãáâìᮤ¥à¦¨âI { ¥ã«¥¢®© ¨¤¥ « ¢ (R3 , ×).
®¦® áç¨â âì, çâ® e1 ∈ I .e3 = [e1 , e2 ], e2 = [e3 , e1 ] ∈ I . «¥¤®¢ ⥫ì®, I = (R3 , ×).®£¤ I505. 6¨¥©ë¥ £àã¯¯ë ¨ ¨å «£¥¡àë ¨áî¤ã ¢ í⮩ à ¡®â¥ ¯®¤«¨¡® ¯®«¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«F ¯®¨¬ ¥âáïC.«¨¡® ¯®«¥ ¢¥é¥á⢥ëå ç¨á¥«R,1. á ⥫ìë¥ ¯à®áâà á⢠¯à¥¤¥«¥¨¥6.1. ®¤£à㯯 G¢ ¯®«®© «¨¥©®© £à㯯¥GL(n, F ) -§ë¢ ¥âáï «¨¥©®© , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ª®¥ç ï á¨á⥬ ¬®£®ç«¥®¢fs (Xij ) ∈ F [Xij |1 ≤ i, j ≤ n],çâ® ¬ âà¨æ A = (aij )s = 1, .
. . , N .¤«ï ¢á¥åਬ¥àë¯à¨ ¤«¥¦¨â6.2. ®¤£à㯯ëG(24)s = 1, . . . , N,⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ O(n, R),SO(n, R),SL(n, F )fs (aij ) = 0«¨¥©ë.6.3. ᫨ G «¨¥© ï £à㯯 , § ¤ ï á¨á⥬®© ãà ¢¥g ∈ G, â® ª á ⥫ìë¬ ¯à®áâà á⢮¬ Tg ª G ¢ â®çª¥ g §ë¢ ¥âáï¯à®áâà á⢮, á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ¬ âà¨æ dX = (dxpq ) ∈ Mat(n, F ) á¯à¥¤¥«¥¨¥¨© (24), ¨«¨¥©®¥ãá«®¢¨¥¬X ∂fi(g)dxpq = 0,∂xpqp,q áᬮâਬ ¯à®áâà á⢮ਬ¥à6.4. ᫨TEi = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
