В.А. Артамонов - Группы и их приложения (1107634), страница 3
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®ª § âì, çâ®1. ¢ £à㯯¥ ¯¥à¥áâ ®¢®ªSn [(i, j), (j, k)] = (i, k, j),®¬¬ãâ â®à®¬¥á«¨ ¨¤¥ªáëi, j, kà §-«¨çë;2. ¢ £à㯯¥ ¬ âà¨æGL(n, k), £¤¥ ki, j, k à §«¨çë.¥á«¨ ¨¤¥ªáëਬ¥àë1.90.{ ª®«ìæ®,¯à¥¤¥«¥¨¥[1 + aEik , 1 + bEkj ] = 1 + abEij ,1.91. ®¬¬ãâ ⮬§ë¢ ¥âáï ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯à®¨§¢¥¤¥¨© ª®¬¬ãâ â®à®¢ ¢1.92.।«®¦¥¨¥1.93. ᫨2.G/NN ⊇ G0 .{ ¡¥«¥¢ ;1.94.Sn0 = An .¥®à¥¬ ®ª § ⥫ìá⢮.¥®à¥¬ N / G,â® á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨¬¥à®¬ 1.89.1.95.
᫨n ≥ 3,¨GL(n, k)0 = SL(n, k)0 = SL(n, k).{ ¯®«¥, â®k¯à ¦¥¨¥1.96. ®ª § âì, çâ®1. ¥á«¨ ¯®«¥á®¤¥à¦¨â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å í«¥¬¥â®¢, â®k -G.G0 / G .।«®¦¥¨¥1. £à㯯 G0 = [G, G]GL(2, k)0 = SL(2, k);q, q − 1 ∈ k ∗ , q 01 (q − 1)−1 a,= 1 + aE12 ;0 101¨¬¥®, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥ââ®2.GL(2, F2 ) ' S3 ,¯à ¦¥¨¥à¨¬¥àë1.98.k[G , G ]. à㯯 Gçâ® G(m) = 1. ¬¥ç ¨¥A04 = V4 ,¨1.99. ᫨GL(2, F3 )0 .A0n = An ,G¥á«¨n ≥ 5.{ £à㯯 , â® ¯®«®¦¨¬G(1) = G0¨G(k+1)à §à¥è¨¬ , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ âãà «ì®¥ ç¨á«®1.100 .
«ï «î¡ëå।«®¦¥¨¥f (G(k) ) ⊆ H (k) .GL(2, F2 )0 6= SL(2, F2 ) = GL(2, F2 ).1.97. ëç¨á«¨âì¯à¥¤¥«¥¨¥k¨ ¯®í⮬ã1.101 . ãáâì ᫨f=m,m, n > 0 ¢¥à® à ¢¥á⢮ (G(n) )(m) = G(n+m) .f : G → H { £®¬®¬®à䨧¬f (G(k) ) = H (k) .{ áîàꥪ⨢®, ⮣à㯯.®£¤ 161. 1.102 . ®ª § âì, çâ®¯à ¦¥¨¥H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G, â® H (k) ⊆ G(k)ç¨á« k ;G(k) / G ¤«ï «î¡®£® âãà «ì®£® ç¨á« k .1. ¥á«¨2.1.103 . ãáâì।«®¦¥¨¥1. £à㯯ëN / G.¤«ï «î¡®£® âãà «ì®£®«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:G à §à¥è¨¬ ;G/N, ¨ N à §à¥è¨¬ë.2. £à㯯뮪 § ⥫ìá⢮.1.104 .
«ï £à㯯ë।«®¦¥¨¥1. £à㯯ëG®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ 1.101Gá«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:à §à¥è¨¬ ;2. áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© àï¤ ¯®¤£à㯯ëG = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gk−1 ⊃ Gk = 1,çâ®Gi+1 / Gi¨Gi /Gi+1®ª § ⥫ìá⢮.樥© ¯®k,{ ¡¥«¥¢® ¤«ï ¢á¥å㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ 1.103 ¨ ¨¤ãª-ã¡¥¤¨¢è¨áì, çâ® £à㯯 0A0BC 0A0B0C0=AA00C, C 0 ∈ Mat(s, k).AB 0 + BC 0CC 01.106 . à㯯 ¢¥àå¥âà¥ã£®«ìëå ¬ âà¨æà㯯 ¢¥àå¥ã¨âà¥ã£®«ìëå ¬ âà¨æ«¥¤á⢨¥à §à¥è¨¬ .B, B 0 ∈ Mat(t × s, k),A, A ∈ Mat(t, k),¯à¥¤¥«¥¨¥G11.105 . ãáâì।«®¦¥¨¥®£¤ i.U T (n, k), k1.107 .
áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥¨¥T (n, k), k { ¯®«¥.{ ¯®«¥.ϕ : T (n, k) → T (n − 1, k)¯®¯à ¢¨«ã: ¥á«¨X=A B0 câ®ϕ(X) = A.U T (n − 1, k).∈ T (n, k),®£¤ ।«®¦¥¨¥ϕA ∈ T (n − 1, k), B ∈ Mat((n − 1) × 1, k), c ∈ k ∗ ,ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ £à㯯, ¯à¨ç¥¬1.108 .®ª § ⥫ìá⢮.¥®à¥¬ £¤¥T (n, k)0 ⊂ U T (n, k)®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ 1.93.1.109 .
à㯯 ®ª § ⥫ìá⢮.ϕ(U T (n, k)) =T (n, k)à §à¥è¨¬ .® ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬ 1.108 ¨ 1.103 ¤®áâ â®ç® ¯®ª § âì,çâ® £à㯯 U T (n, k) à §à¥è¨¬ . 㤥¬ ¢¥á⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® n. ᫨ n = 1, â® U T (1, k) = 1 ¨ ¯®â®¬ã à §à¥è¨¬ .ãáâì ¤«ï n − 1 ⥮६ ¤®ª § . áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯 ϕ :U T (n, k) → U T (n − 1, k) ¨§ á«¥¤á⢨ï 1.107. ¬¥â¨¬, çâ®E Bker ϕ =∈ U T (n, k), £¤¥ B ∈ Mat((n − 1) × 1, k) .0 1® ¯à¥¤«®¦¥¨î 1.105 ¯®«ãç ¥¬, çâ®ker ϕ¯®«ì§®¢ âìáï ¨¤ãªæ¨¥© ¨ á«¥¤á⢨¥¬ 1.103 á{ ¡¥«¥¢ £à㯯 . áâ ¥âáï ¢®á-N = ker ϕ.9. 179. àï¬ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï £à㯯♥♥G ï¥âáï (¢ãâ२¬) ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥G1 , .
. . , Gn , (®¡®§ 票¥ G = G1 × · · · × Gn ) ¥á«¨:1.110 . à㯯ë¯à¥¤¥«¥¨¥¤¥¨¥¬ ᢮¨å ¯®¤£à㯯ª ¦¤ ï ¯®¤£à㯯 Gi ®à¬ «ì ¢ G;g ∈ G ¨¬¥¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥®¥¯à®¨§¢¥¤¥¨ï g = g1 · · · gn , £¤¥ gi ∈ Gi .¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¢{ £à㯯 ®â®á¨â¥«ì® á«®¦¥¨ï, â® £®¢®àïâ, ç⮯àï-ª ¦¤ë© í«¥¬¥â¢¨¤¥ ᫨G¬®© á㬬®© ᢮¨å ¯®¤£à㯯¯à ¦¥¨¥1.111 . ®ª § âì, çâ®à¥¤«®¦¥¨¥i 6= j .®£¤ 1.112 . ãáâì¨ ¯¨èãâG ï¥âáïG = G1 ⊕ · · · ⊕ Gn .|G| = |G1 | · · · |Gn |.G = G1 × · · · × G n¨gi ∈ Gi , gj ∈ Gj ,£¤¥gi gj = gj gi .«¥¤á⢨¥£¤¥G 1 , .
. . , Gn ,1.113 . ãáâìG = G 1 × · · · × Gn¨g = g1 · · · gn , h = h1 · · · hn ,¤«ï ¢á¥å i. ®£¤ gi , hi ∈ Gigh = (g1 h1 ) · · · (gn hn ),g −1 = g1−1 · · · gn−1 .1.114 . ¬¥îâáï á«¥¤ãî騥 ¯àï¬ë¥ à §«®¦¥¨ï:ਬ¥àëC∗ ' U × R∗+ ;R = R ⊕ Rn−k .1. £à㯯 2.nk।«®¦¥¨¥1.115 .
à㯯 Z¥à §«®¦¨¬ ¢ ¯àï¬ãî á㬬ã.।«®¦¥¨¥1.116 . ãáâìG = G1 × · · · × Gn¨g = g1 · · · gn .®£¤ |g| = (|g1 |, . . . , |gn |).¥®à¥¬ 1.117 . ãáâì £à㯯 G = G1 × · · · × Gnª®¥ç . «¥¤ãî騥ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:••£à㯯 G横«¨ç ;ª ¦¤ ï £à㯯 Gi横«¨ç ¨ ¯®à浪¨ £à㯯Gi , i = 1, . . . , n,¯®¯ ஢§ ¨¬® ¯à®áâë.ãáâì £à㯯 G 横«¨ç , ¨ mi = |Gi |. ®£¤ ª ¦Gi , i = 1, .
. . , n, 横«¨ç . ᫨, ¯à¨¬¥à, (m1 , m2 ) > 1, â®(m1 , . . . , mn ) < m1 · · · mn . ®í⮬㠢 ᨫ㠯।«®¦¥¨ï 1.116 ¢ G ¥â í«¥¬¥â ¯®à浪 m1 · · · mn = |G|.¡à â®, ¯ãáâì Gi = hai imi , ¯à¨ç¥¬ ¢á¥ ç¨á« m1 , . . . , mn ¯®¯ à® ¢§ ¨¬®¯à®áâë. áᬮâਬ í«¥¬¥â a = a1 · · · an ∈ G. ® ¯à¥¤«®¦¥¨î 1.116 ¥£®¯®à冷ª à ¢¥ m1 · · · mn = |G1 | · · · |Gn | = |G|. «¥¤®¢ ⥫ì®, G = hai.®ª § ⥫ìá⢮.¤ ï ¯®¤£à㯯 «¥¤á⢨¥1.118 . ¨ª«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯®à浪 d¥à §«®¦¨¬ ¢ ¯àאַ¥¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ¯®à冷ª ï¥âáï á⥯¥ìî¯à®á⮣® ç¨á« .ਬ¥à1.119 .
àאַ¥ à §«®¦¥¨¥ 横«¨ç¥áª®© £à㯯 ¯®à浪 12.¥®à¥¬ 1.120 . ãáâìNi / Gi , i = 1, . . . , m.®£¤ (N1 × · · · × Nm ) / (G1 × · · · × Gm )¨(G1 × · · · × Gm )/(N1 × · · · × Nm ) ' (G1 /N1 ) × · · · × (Gm /Nm ).181. ®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâà¥âì £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯π : G → (G1 /N1 ) × · · · × (Gm /Nm ),®â®¡à ¦ î騩 í«¥¬¥âg = g1 · · · gm 7→ (g1 N1 ) · · · (gm Nm ) ∈ (G1 /N1 ) × · · · × (Gm /Nm ),¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© ® £®¬®¬®à䨧¬ å.¯à¥¤¥«¥¨¥1.121 . ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥è¥£® ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ïG =G1 × · · · × Gm .¥®à¥¬ 1.122 . ¥è¥¥ ¨ ¢ãâ॥¥ ¯àï¬ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨§®¬®àäë. 2®¥ç® ¯®à®¦¤¥ë¥ ¡¥«¥¢ë £à㯯ë í⮩ £« ¢¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï áâ஥¨¥ ª®¥ç® ¯®à®¦¤¥ëå ¡¥«¥¢ëå £à㯯.ᥠ¡¥«¥¢ë £àã¯¯ë ¡ã¤ã⠯।¯®« £ âìáï ¤¤¨â¨¢ë¬¨.2.1.
«¥¬¥âë¯à¥¤¥«¥¨¥¢®© £à㯯ë♣A,e = (e1 , . . . , en )í«¥¬¥âë ¨§e¥§ ¢¨á¨¬ë , â. ¥. ¨§ ⮣®, çâ®m1 e1 + · · · + mn en = 0,í«¥¬¥â ¨§£¤¥m1 , . . . , mn ∈ Z,m1 = · · · = mn = 0.á«¥¤ã¥â, çâ®♠ïîâáï ¡ §¨á®¬ ¢ ¡¥«¥-¥á«¨¯®à®¦¤ îâ £à㯯ãA, â. ¥. ª ¦¤ë© í«¥¬¥â x ∈ A ¯à¥¤x = m1 e1 + · · · + mn en .ª ¦¤ë© í«¥¬¥â x ∈ A ¨¬¥¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥® ¯à¥¤-eáâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨,áâ ¢«¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥x = m1 e1 + · · · + mn en ,à㯯 £à㯯ëmi ∈ Z.A ᢮¡®¤ , ¥á«¨ ® ®¡« ¤ ¥â ¡ §¨á®¬.A §ë¢ ¥âáï ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¡ §¨á¥ A.।«®¦¥¨¥2.2. «ï ¡¥«¥¢®© £à㯯ëA(3) £®¬ ᢮¡®¤®© ¡¥«¥¢®©á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ -«¥âë:1. £à㯯 A®¡« ¤ ¥â ¡ §¨á®¬e = (e1 , .
. . , en );2. £à㯯 A ' Z ⊕ ··· ⊕ Z.{z}|n®ª § ⥫ìá⢮. ᫨e{ ¡ §¨áA,â® § ¤ ¤¨¬ψ : A → Z ⊕ ··· ⊕ Z|{z}n¯® ¯à ¢¨«ã: ¥á«¨x∈A¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (3), â®ψ(x) = (m1 , . . . , mn ).¡à â®, £à㯯 A = Z ⊕ ··· ⊕ Z|{z}n®¡« ¤ ¥â ¡ §¨á®¬e = (e1 , . . . , en ),£¤¥iei = (0, . . . , 1, 0, . . . , 0),।«®¦¥¨¥i = 1, . . . , n.2.3. ¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¡ §¨á¥ ᢮¡®¤®© ¡¥«¥¢®© £à㯯뮯।¥«¥® ®¤®§ ç®.à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, à £ ᢮¡®¤®© ¡¥«¥¢®© £à㯯뮯।¥«¥ ®¤®§ ç®.19202.
ãáâ쮪 § ⥫ìá⢮.¯®«®¦¨¬, çâ®m > n.(e1 , . . . en ) ¨ (f1 , . . . , fm ) { ¤¢ ¡ §¨á ¢ A.fj ¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥à¥¤-®£¤ ª ¦¤®¥fj =nXaji ei ,aji ∈ Z.i=1(aji ) ∈ Mat(m × n, Z) «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë ¤ Q. «¥¤®¢ Z. ®í⮬㠩¤¥âáï â ª®© ¥ã«¥¢®© ¡®àb1 , . . . , bm ∈ Z, çâ® a11 .
. . a1nb1 , . . . , bm . . . . . . . . . . . . . . . = 0.am1 . . . amnâப¨ ¬ âà¨æë⥫ì®, ®¨ «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë ¤æ¥«ëå ç¨á¥«âáî¤ b1 f1 + · · · + bm fm = 0,¯à ¦¥¨¥(e1 , . . . , en ).çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨2.4. ãáâìA।¯®«®¦¨¬, ç⮢®© £à㯯ëC.ψ : A → C,çâ®f1 , . . . , fm .{ ᢮¡®¤ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 á ¡ §¨á®¬c1 , . . . , cne ={ í«¥¬¥âë ¯à®¨§¢®«ì®© ¡¥«¥-®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë© â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ψ(ei ) = ci , 1 ≤ i ≤ n.«¥¤á⢨¥2.5. ãáâìA{ ᢮¡®¤ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 á ¡ §¨á®¬e = (e1 , . .
. , en ).®£¤ n| hom(A, Z2 )| = 2 .¥®à¥¬ ç áâ®áâ¨, ¢ à £2.6. ãáâì¥ã«¥¢ ï ¯®¤£à㯯 ¢A,AA®¯à¥¤¥«¥ ®¤®§ ç®.{ ᢮¡®¤ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 à £ â® ® ᢮¡®¤ ¨ ¥¥ à £n. ᫨B{≤ n.®ª § ⥫ìá⢮. 㤥⠢¥á⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® n. ᫨ n =1, â® A ' Z. ®£¤ £à㯯 A 横«¨ç ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ⥮६¥ 1.42 £à㯯 B = hbi 横«¨ç , ¯à¨ç¥¬ b 6= 0. ®£¤ í«¥¬¥â b ï¥âáï ¡ §¨á®¬ B .ãáâì ¤«ï n − 1 ⥮६ ¤®ª § , ¨ e = (e1 , .
. . , en ) { ¡ §¨á A. ®«®¦¨¬n−1XH={ai ei |ai ∈ Z}.i=1®£¤ H{ ᢮¡®¤ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 á ¡ §¨á®¬{ ᢮¡®¤ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 á ¡ §®©(e1 , . . . en−1 ). ® ¨¤ãªæ¨¨ B∩H(f1 , . . . , fm ), m ≤ n − 1. «¥¤®¢ ⥫ì®,B ⊆ H, ⮠⥮६ ¤®ª § .B * H . áᬮâਬ â ª®¥ ¨¬¥ì襥 âãà «ì®¥ ç¨á«® d, çâ®í«¥¬¥â f = c1 e1 +· · ·+cn−1 en−1 +den ∈ H. ®ª ¦¥¬, çâ® í«¥¬¥âë f1 , . . . , fm , fá®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨á H . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ b = u1 e1 + · · · + un en ∈ B,ui ∈ Z,â® un = rd ¤«ï ¥ª®â®à®£® r ∈ Z. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì un = rd + l, £¤¥ 0 ≤ l < d.®£¤ b − rf = u01 e1 + · · · + u0n−1 en−1 + len ∈ H, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã d, ¥á«¨l 6= 0.
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