А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Значит, сам вектор E можнобыло бы задать таким способом:       E    ex ey ez  .yz  xНапомним,чтоматематикииспользуют(9.14)втакихслучаяхспециальное компактное обозначение:E   grad (9.15)и называют эту величину «градиент» (от лат. gradiens – рост)**). Вчём же её смысл? Градиент потенциала – вектор, имеющий  компоненты  ;; и показывающий направление, вxyz*)Пояснения по поводу понятия «частная производная» см.

на стр. 76 данного пособия.**)С понятием градиента мы тоже уже, конечно, встречались в разделе «Механика» в п. 5.10.- 138 -§ 9. Работа. Разность потенциаловкоторомбыстреевсегоизменяетсяпотенциалэлектростатического поля в данном месте. В самом деле: еслипробный заряд перемещать вдоль этой поверхности, то работа несовершается. При наличии поля и перемещения это возможнотолько,есливекторнапряжённостиперпендикуляренкэквипотенциальной поверхности.

А в этом случае расстояниемежду эквипотенциальными поверхностями кратчайшее.Сами компоненты вектора градиента дают скорость ростапотенциала по координатным направлениям, а вот его модульопределяет скорость в направлении максимального роста  (внаправлении вектора grad). Знак «минус» перед grad в равенстве(9.15) означает, что напряжённость электростатического полянаправлена всегда в сторону убывания его потенциала.Стоит помнить, что в других координатных системах,выражение для градиента будет несколько отличаться. С этим вывстретитесь и разберётесь на семинарских занятиях. А сейчасприведём пример использования установленной взаимосвязинапряжённости с градиентом потенциала.Пример. Определим напряжённость электрического поля Е (x) на осиравномерно заряженного кольца радиуса R по известной зависимости потенциала(x). Заряд кольца q, x – расстояние от центра кольцаТакую задачу мы уже решили, опираясь на принципсуперпозиции напряжённостей (см.

пример в п. 7.5). А впредыдущем пункте получили мы и выражение для функции (x): ( x) =Чтобынайти14πε0напряжённость,q2R +x2.(9.11)используяэтот результат,достаточно воспользоваться соотношением E   grad  , и мыполучим ответ на поставленный перед нами вопрос простымдифференцированием этой функции по координатам:- 139 -Электричество и магнетизм1qxE= xx 4πε0 R 2 + x 2 E y  0; E  0. z3/ 2;1qxE ( x) 4πε0 R 2 + x 23/ 2 exРезультат, конечно, в точности совпадает с полученным ранее – (9.6). Заключительные замечания к §9Зачем нам понадобилось вводить какие-то дополнительныехарактеристики электростатического поля? С какой стати нампонадобился потенциал? Ведь применение закон Кулона всочетании с принципом суперпозиции позволяет рассчитать этополеполюбому заданному распределениюэлектрическихзарядов в пространстве.

По сути всё сводится к вычислениюинтеграла вида (9.11), а если повезет, то есть возможностьприменить более хитроумный приём – использовать теоремуГаусса.Попробуем обосновать полезность нового понятия.1. Ещё раз подчеркнём – потенциал скалярная величина. Сней гораздо проще «работать» математически: при вычислениина основании принципа суперпозиции достаточно суммировать(интегрировать) числа, а не векторы, как в случае напряжённости.А, уже имея функцию (x,y,z), получить зависимость Е ( x, y, z ) , т.е.интересующее нас векторное поле, совсем не сложно.

Ведь взятьпроизводную, как вы знаете, можно от любой функции (в отличиеот интеграла)!2. Давая определение напряжённости, мы, по сути,«прописали» и процедуру её измерения. Однако не существуетудобныхприборовдляизмерения- 140 -напряжённостив§ 9. Работа. Разность потенциаловлабораторной практике. Напротив, приборы для измеренияпотенциалаилиразностипотенциаловестьиширокоиспользуются. Один из таких приборов – «пламенный зонд»позволяет определять потенциал в любой точке пространствамежду заряженными телами. С различными электрометрами ивольтметрами, вероятно, вы давно знакомы ещё со школы.3. В совокупности с линиями напряжённости поверхностиравного потенциала (эквипотенциальные поверхности), как мыуже говорили, позволяют наиболее наглядно представить себеструктуру электростатического поля.- 141 -Электричество и магнетизм§ 10.

Проводники в электростатическом полеДо сих пор обсуждались, по сути, свойства электрическогополя в пространстве между заряженными телами. Правда,«авансом» мы уже декларировали, что если всё это пространствозаполнено жидкой или газообразной непроводящей средой(позже мы скажем: «однородным и изотропным диэлектриком»),то поле уменьшается в  раз.

Теперь нам предстоит занятьсяполем в веществе поподробнее.Вспомним, прежде всего, что среди веществ есть«проводники» и «диэлектрики». Первые отличаются тем, что вних есть значительное количество «свободных» заряженныхмикрочастиц. Даже минимальные знания о строении веществаговорят нам, что в любом веществе есть огромное количествозаряженных микрочастиц. Однако «свободные» – означает, чтоонимогутлегкоперемещатьсяповсемуобъёмумакроскопических тел, т.е. не связаны с каким-то отдельныматомом вещества. Такие вещества способны проводитьэлектрический ток, и именно поэтому они называются«проводниками». Диэлектриками же называются вещества, вкоторых,напротив,практическиотсутствуютсвободныезаряженные микрочастицы.

Начнём наш анализ с особенностейповедения электростатического поля в присутствии проводящихтел – проводников.10.1. Поле заряженного проводникаДляопределённостибудемсчитатьпроводникметаллическим. Внутри такого проводника всегда есть огромноеколичество свободных электронов – порядка 1023 в каждомкубическом сантиметре! Рассмотрим, прежде всего, к чемуприводит установление равновесия зарядов внутри заряженного- 142 -§ 10. Проводники в электростатическом полепроводника.Сформулируемосновныеследствияналичиясвободных зарядов в форме отдельных утверждений. 1. Напряжённость электрического поля в проводниках равна нулюПоявлениевлюбойобластивнутрипроводникаэлектрического поля вызывает немедленное «перетекание»свободных заряженных частиц (электронов) – электрический ток.Их пространственное перераспределение происходит ровно дотех пор, пока средняя напряжённость поля не обратится в нуль –т.е.

пока поле внутри проводника не исчезнет. Отметим, что повремени всё это занимает лишь мизерные доли секунды! 2. Потенциал всех точек проводящего тела одинаковТ.е.вусловияхэлектростатикипроводникявляетсяэквипотенциальным телом ( = const). Откуда это следует?Вспомним о взаимосвязи напряжённости и потенциалаE   grad  . Поскольку E  0 всюду внутри проводника, равеннулю и градиент потенциала! Это и означает его постоянство. 3.

Весь избыточный заряд проводника распределён по его поверхностиИначе говоря, полный заряд любой макроскопической областивнутри проводника равен нулю, т.е. внутри проводника везде (x,y,z) =0. Это утверждение легко обосновать, используя теорему Гаусса.Выберем замкнутую поверхность  в виде поверхности, охватывающейвсю внутреннюю область проводника (см. рис. 10.1) за исключениемтонкого приповерхностного слоя (толщиной порядка 10-9 м или 1 нм).Поскольку в любой точке внутри проводникаE  0 , поток вектора напряжённости через+ + +++выбранную поверхность также равен нулю: En dS  0 . Но ведь согласно теореме Гауссапоток пропорционален заряду внутриповерхности.

Отсюда и следует равенство- 143 -+++++E0 = const+ ++++q+Рис. 10.1Электричество и магнетизмнулю полного заряда. Конечно, это не означает отсутствия внутрипроводника заряженных частиц, просто заряд частиц разногознака точно скомпенсирован! 4. Вне проводника силовые линии электростатического полявблизи от его поверхности перпендикулярны к нейМы ведь знаем, что линии напряжённости всегдаперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, которыеони пересекают или подходят к ним. Поверхность проводника какразиявляетсятаковой,ведьвесьпроводник–эквипотенциальное тело. 5. Напряжённость поля заряженного проводника вблизи поверхностипропорциональна поверхностной плотности зарядаДокажем, прежде всего, что напряжённость поля заряженногопроводника вблизи его поверхности определяется поверхностнойплотностью избыточного заряда .

Выделим для этого малыйdSэлемент поверхностизаряженного проводника и применимтеорему Гаусса. Поскольку элемент мал, то можно считать егоплоским,аплотностьзарядапостоянной.Замкнутуюповерхность  (см. рис. 10.2), охватывающую элемент, удобновыбратьввидепрямогоцилиндра,основанияперпендикулярны++++ = const+ EdSdSE 0+++котороговекторуdS–одно из них располагается вне телана малом расстоянии от поверхности,а другое внутри.

Поскольку внепроводника поле перпендикулярноповерхности, а внутри его простонет, то поток вектора напряжённостивычисляется очень легко:Рис. 10.2 E   En dS  E  dS .- 144 -§ 10. Проводники в электростатическом полеПолный заряд, оказавшийся внутри поверхности , равен,очевидно, произведению поверхностной плотности заряда  наплощадь поверхности элемента d S . Поэтому по теореме Гауссаможем записать:1E  dS     dS.0Отсюда после сокращения на dS получаем результат:E.0(10.1)Напряжённость вблизи поверхности заряженного проводникапрямо пропорциональна поверхностной плотности заряда.Очевидно, эта связь имеет локальный характер и нам стоитпоинтересоваться вопросом – а чем же определяется самораспределение заряда по поверхности заряженного проводника? 6.

Плотность поверхностного заряда проводника зависит от еёкривизныПопробуем лишь качественно подобраться к прояснениюэтого вопроса. Для этого заменим реальное проводящее телопроизвольной формы (с различной кривизной поверхности) егогрубой моделью.

Пусть минимальная кривизна поверхностипроводника характеризуется радиусом R1, а максимальная R2.Тогда наша модель будет состоять из двух проводящих шаров срадиусами R1 и R2, соединённых тонкой проводящей проволокой.Если расположить шары далеко друг от друга, то можно считать,что избыточный заряд по их поверхности распределёнравномерно.

Запишем систему уравнений, сопроводив ихкраткими пояснениями:q1, 21, 2  k R1, 22q1, 2   1, 2  4 R1, 21   2 потенциал заряж енного шара; заряд каж дого шара; потенциалы шаров одинаковы,поскольку они соединены проводником.- 145 -Электричество и магнетизмПодстановкапервыхдвухсоотношенийвпоследнееравенство даёт:k 1  4 R12R1k 2  4 R22R2.Откуда получаем после очевидных сокращений: 1 R2. 2 R1Мы видим, что поверхностная плотность заряда оказаласьобратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности:1(10.2).RЕсли учесть, что напряжённость вблизи поверхности заряженногопроводника прямо пропорциональна , то можно сделать вывод,что в нашем примере и напряжённость зависит от кривизныповерхности так же:Е Замечания1.R(10.3)1.

Характеристики

Список файлов лекций