А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Поскольку речьидёт только о выше оговоренных типах конденсаторов, для этогоудобно применить теорему Гаусса. 2. Найти разность потенциалов между обкладками можно( 2)теперь, используя соотношение 1   2   El dl и выбрав для этого(1)простейшую траекторию от положительной обкладки (1) котрицательной (2) – вдоль силовой линии.

Как мы уже с вамизнаем из анализа понятия электроёмкости конденсатора (см. 10.6),результатом обязательно будет величина, пропорциональнаязаряду обкладок q. 3.Воспользоватьсяопределениемэлектроёмкостиконденсатора, поделив модуль заряда обкладок q на полученныйв предыдущем пункте результат для разности потенциалов 1 – 2.- 154 -§ 10. Проводники в электростатическом полеПример. Покажем, как реализовать на практике эту программудействий на примере расчёта электроёмкости плоского конденсатора 1. Плоский конденсатор, как мы хорошо помним изшкольногокурса,проводящихсостоитпластиниздвухразделённыхплоскопараллельныхтонкимдиэлектрическимзазором (см.

рис. 10.7). На первый взгляд теорема Гаусса негоднадляопределениянапряжённости поля в области пространства между обкладками E (r ) в такой системе – ведьочевидно, что поле существенно несимметрично по отношению ккаждойиззаряженныхсоответствующуюобсуждаяпластин.требованиям,применениеотеоремыВыбратьповерхность,которыхГауссамы(см.п.говорили,10.4),непредставляется возможным. Всё, однако, меняется, если мыуберём на время одну из пластин, а оставшуюся будем считать«бесконечной плоскостью» (на практике – тонкой пластиной оченьбольших размеров). Процедуру применения теоремы Гаусса дляэтого случая проведём «по укороченной схеме» – надеемся, выхорошо её уже освоили на наших практических занятиях.Начнём,какобычно,срисунка,ибольшуючастьнеобходимой «работы» проиллюстрируем именно на нём – см.рис.Поток10.8.векторанапряжённости через выбраннуюнамизамкнутуюповерхностьn  Eпрямого кругового цилиндра равен: En dS  E  2Sосн.

.+Заряд,оказавшийсяnE++внутри+этой поверхности, равен  · Sосн.. В+соответствии с теоремой Гаусса+приравниваем:+Рис. 10.8- 155 -0++XЭлектричество и магнетизмE  2S осн. 10   S осн.и получаем отсюда значение напряжённости поля:E.2 0(10.8)Как видим, напряжённость не зависит от координаты х –расстояния от заряженной плоскости, т.е. это поле являетсяоднородным.Конечноже,этосоответствуетлишьгипотетическому случаю «бесконечной заряженной плоскости». Вреальности таких бесконечных зарядов быть не может –практически это означает, что полученный нами результат (10.8)будет справедлив на небольших расстояниях от заряженнойплоскости вдали от её краёв.Теперь вернёмся к вопросу о поле между обкладкамиплоского конденсатора.

Оказывается это поле совсем нетруднотеперьнайти,используяпринципсуперпозиции.Проиллюстрируем его применение на рисунке – см. рис. 10.9.Изобразим силовые линии полей, созданныхq –qкаждой из пластин разными цветами по++отдельности. Видно, что между пластинами+напряжённостиполейсовпадаютпо+направлению,авнеэтойобласти++направлены в противоположные стороны.+–0 –+Рис.–+ 10.9XПоскольку заряды пластин q (а значит иплотности зарядов ) равны по модулю, то–равны по модулюи напряжённости.

Это означает, что поляснаружи пластин взаимно уничтожают друг друга инапряжённость результирующего поля равна нулю. Напротив, вобласти между пластинами направление полей совпадают ирезультирующая напряжённость оказывается вдвое больше, чему поля одной пластины. Обобщим эти выводы:- 156 -§ 10.

Проводники в электростатическом поле E в не  E (  )  E (  )  0 поле вне конденсатора; ()   в нутри  (  )  (  )EEE2Ee e  поле внутри конденсатора.2 02 0Здесь для придания векторного характера нашим записям мыиспользовали обозначение e – единичный вектор направленияполя положительной пластины в области между обкладкамиконденсатора. Выпишем ещё раз результат уже только длямодуля напряжённости:E в не  0 поле вне конденсатора; в нутри E поле внутри конденсатора.0(10.9) 2. Чтобы найти разность потенциаловмежду обкладками плоского конденсаторавыберем траекторию вдоль любой силовой+q – q++линии, а значит и вдоль оси ОХ, (рис.

10.10) отположительной обкладки до отрицательной.Получим: d1   2   El dl   E x dx   dx .00(1)00( 2)ddS+++++-Xd––+Рис.10.10+0– 3.Теперьостаётсятольковоспользоваться определением электроёмкости конденсатора иочевидным соотношением между зарядом пластин,ихплощадью и поверхностной плотностью заряда  = q/S:С0 qq0S  q.1   2   d /  0qdСократив q, мы получаем электроёмкость «воздушного»плоского конденсатора. Учтём теперь, что электроёмкостьконденсатора, заполненного однородным диэлектриком, какследует из соотношения (10.7), равна электроёмкости воздушногоконденсатора умноженной на диэлектрическую проницаемость .- 157 -Электричество и магнетизмОкончательно получаем хорошо знакомую со школы «формулу»для электроёмкости плоского конденсатора:C    C0С 0 S(10.10).dгде S – площадь обкладок конденсатора, а d – расстояние междуними.10.4.

Энергия заряженного конденсатора.Энергия электрического поляЕщёсозаряженногошколывамизвестно,конденсаторачему(«формула»равнаCu2 /2).энергияКакэтообосновать? В разделе «механика» мы договорились считатьэнергию «запасом работы» системы. В данном случае запас этотвозникает, благодаря работе по разделению зарядов междуобкладками конденсатора в процессе его зарядки. Рассчитаемэту работу. Элементарная работа внешних сил по перемещениюзаряда dq в электрическом поле конденсатора равна:dA  dq  (1   2 )  dq q *),C(Заметим в скобках, что тут нам нет необходимости беспокоиться о правильностизнаков – ясно, что такая работа внешних сил осуществляется против сил поля и,конечно, положительна) Полную работу можно найти суммированиемэлементарных работ, т.е.

интегрированием:qQ2A   dq .C2C0QЗдесь мы временно использовали обозначение Q для предельного значения зарядаконденсатора из соображений математической корректности записи, и чтобы отличать егоот обозначения «промежуточного» («текущего») значения заряда 0 ≤ q ≤ Q. Этаработа и определяет энергию «запасённую» конденсатором.Используя ещё раз связь заряда конденсатора с разностью*)Мы использовали определение электроёмкости конденсатора С = q/(12).- 158 -§ 10.

Проводники в электростатическом полепотенциалов (1–2) между ними Q = C·(1–2), можно записатьэнергию заряженного конденсатора в виде:C (1   2 ) 2Cu 2,или(10.11)We 22В последнем равенстве мы для большей компактности заменилиWe обозначение (1–2) на u. Эту величину часто называют ещё«напряжением» на конденсаторе.

А вот саму энергию мыобозначилинаассоциироватьэтотэтуразWe.энергию?Почему?ПоСнашимчемследуетсовременнымпредставлениям – это энергия электрического поля.*) Сегодня мыможем утверждать это достаточно определённо, поскольку намхорошо известны случаи, когда само поле «отделяется» отзаряженных тел и, распространяясь в пространстве в видеэлектромагнитныхволн,переноситэнергиюнабольшиерасстояния, «забывая» об источнике.Раз энергия присуща полю, попробуем выразить её черезхарактеристику самого этого поля – его напряжённость. Хотярезультат (10.11) получен для любого конденсатора, используемего для электрического поля внутри плоского конденсатора. Вопервых, мы заем, что это поле однородно, а значит, существуеточень простая связь разности потенциалов и напряжённости поля:1–2 = E·d.

Кроме того, для такого случая мы знаем выражение дляэлектроёмкости (10.10). Получим:Cu 2  0 S ( Ed ) 2  0 E 2 0 E 2We  Sd V ,2d222(10.12)где V – объём области между обкладками конденсатора.Однородность поля внутри плоского конденсатора позволяет,используя полученный только что результат, легко выразить ещё*)Индекс «е» означает как раз, что речь идёт о поле электрическом.- 159 -Электричество и магнетизмодну весьмаполезнуюхарактеристику–такназываемуюобъёмную плотность энергии электрического поля.

Чуть позжемы дадим более точное определение этой величины. Пока же,для однородного поля, это просто отношение энергии поля We кобъёму той области пространства V, в которой есть это поле:We 0 E 2(10.13)we  we V2Важно, что плотность энергии нам удалось выразить черезосновную характеристику электрического поля. Важно ещё и то,что, хотя мы получили результат (10.13) для поля однородного,он остаётся справедливым и в случае неоднородного поля.Объёмная плотность энергии – локальная характеристика поля,т.е. она относится к любой малой области пространства, впределах которой модуль напряжённости поля равен E.Уточним понятие объёмной плотности энергии.

Для общегослучая выделим малый элемент неоднородного поля объёмомdV, положение которого можно задать, как обычно, радиусвектором r или координатами {x,y,z} – рис. 10.11.(Опр.) Объёмной плотностью энергии называется величинаwe Эл.поле dV0Рис. 10.11(10.14)где dWe – энергия, сосредоточенная в этоймалойrdWe *),dVобластиполя.Еслиизвестнанапряжённость поля как функцию координатточек электрического поля E (r ) , можнорассчитать полную энергию этого поля в тойили иной области пространства  конечных размеров (см.

рис.10.11):*)Иногда говорят для краткости, что это «энергия, приходящаяся на единицу объёма пространства,где есть электрическое поле.- 160 -§ 10. Проводники в электростатическом полеwe  0 E 2 (r )2We Интегрирование (суммирование!) 0E 2 (r )dV .2 ведётся(10.15)по всейобластипространства , для которой вычисляется энергия поля. Здесьмы опять сталкиваемся с проблемой вычисления объёмногоинтеграла, который в ряде актуальных (практически важных)случаев может быть сведён к обычному определённому.

Как этоделается мы, как обычно, будем отрабатывать на практическихзанятиях.Следует заметить, что соотношения (10.15) записаны длядиэлектрическойсредысоднороднымиэлектрическимисвойствами, т.е. для случая  = const. В противном случаедиэлектрическаяпроницаемостьостаётсяподинтегралом.Отметим, кроме того, что они остаются справедливыми и вслучае переменного во времени электрического поля, например,электромагнитной волны (в частности, света)!- 161 -Электричество и магнетизм§ 11.

Характеристики

Список файлов лекций