А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Запишем цепочку хорошо понятных нам равенств:А1поля2( 2)А1поля2FdlqЕdl l Еl dl .0  l12q(1)(1)(1)0( 2)( 2)по любойтраекторииВыпишем последнее равенство ещё раз( 2)1   2   Еl dl .(9.6)(1)*)Вспомните процедуру расчёта потенциальной энергии для произвольной консервативной силы вмеханике.**)Только при решении модельных задач о заряде, распределённом по бесконечной областипространства (гипотетический случай) с плоской или осевой симметрией, подобная нормировканедопустима.- 130 -§ 9.

Работа. Разность потенциаловОно даёт «рецепт» поиска разности потенциалов по известнойфункции напряжённости. Аналогично для потенциала:АРполя Р0( Р0 )( Р0 )( Р)по любойтраектории( Р) Fl dl  q0   Еl dl ( Р) АРполя Р0q0( Р0 )  Еl dl .( Р)И окончательно для потенциала произвольной точки поля Р скоординатами (x,y,z):( Р0 ) ( x, y, z )   Еl dl .(9.7)( Р)9.2. Потенциал поля точечного зарядаОпираясь на процедуру расчёта потенциала, получимвыражение для случая поля точечного заряда.

Это очень важнодля дальнейших расчётов потенциала поля системы произвольнорасположенных в пространстве зарядов.1. Нормировка. Будем считать потенциал равным нулю там,где поле точечного заряда практически отсутствует:  ()  0 .2. Выбор траектории. Пусть произвольная точка Р(x,y,z)находится на расстоянии r от заряда-источника. Посколькурезультат не зависит от формы траектории, для расчётакриволинейного интеграла вида (9.7) выберем простейшуюрадиально направленную прямую из данной точки поля вдольсиловой линии и «уходящую в бесконечность».3.

Расчёт. В соответствии с определением потенциалавыполним расчёт «удельной» работы поля, созданного точечнымзарядом q, по переносу пробного заряда вдоль выбраннойтраектории. Нижеприводимая цепочка равенств, надеемся,выглядит достаточно «прозрачно». Однако дадим к ней всё жеминимальный комментарий. Прежде всего, отметим, что в силунашего выбора траектории в виде радиально направленного от- 131 -Электричество и магнетизмзаряда луча можно обозначения El и dl (произвольная кривая «L»)поменять на Er и dr (полярная ось «r»). Более того, посколькуЕвекторнаправлен радиально, для любогоперемещениявдоль траектории проекцияdrнапряжённости равнамалоговектора1q.

В итоге мы можем сделать4 0 r 2важный шаг в нашем расчёте – совершить переход откриволинейного интеграла к обычному определённому:( Р0 )( Р0 )( Р)( Р) ( x, y, z )   Еl dl   Еr dr .*)Теперьпослеподстановкипроекциинапряжённостиполяточечного заряда, исходя из равенства (7.5), нам остаётся всеголишь математическая «рутина»: 1 qq  1 q  11 qdr .   Еr (r ) dr     2 dr 2 4 0 r  r 4 0  r  r 4 0 rrr  4 0 r Выпишем результат ещё раз, дополнив его учётом возможногоналичия газообразной или жидкой однородной диэлектрическойсреды с диэлектрической проницаемостью , заполняющей всёокружающее точечный заряд пространство: (r ) 14 0q.r(9.8)Потенциал поля точечного заряда, как видим, убывает срасстоянием по закону 1/r.*)Как обычно, в процессе подобной процедуры интегрирования мы будем использовать одинаковоеобозначение «r» для исходного расстояния точки от заряда и для переменной интегрирования,несколько погрешив при этом против «строгих» правил обозначений, принятых в математике.- 132 -§ 9.

Работа. Разность потенциалов9.3. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов вэлектрическом полеМыужезнаем,чемуравнапотенциальнаяэнергиявзаимодействия точечного заряда с электростатическим полемпроизвольной системы зарядов (см. равенство 9.4):U(x,y,z) = q(x,y,z).(9.16)Поэтому для частного случая двух точечных зарядов q1 и q2,потенциальная энергия их взаимодействия равна:U140q1q2.r(9.17)Её удобно рассматривать, как энергию взаимодействия точечногозаряда q2 с полем другого точечного заряда-источника q1 (илинаоборот). Несколько позже мы ещё обсудим вопрос об энергииэлектростатического поля, созданного произвольной системойпокоящихся зарядов.9.4.

Эквипотенциальные поверхностиПри обсуждении силовой характеристики электростатическогополя мы убедились в плодотворности понятия линий напряжённости(силовых линий). Для энергетической характеристики поля –потенциала–полезнотакжеввестидополнительнуюиллюстративную характеристику – систему «эквипотенциальныхповерхностей». Из самого названия ясно («экви» означает«равный»), что это поверхности постоянного потенциала, которыехарактеризуют способность сил поля совершать работу приперемещении заряда.

Вдоль таких поверхностей работа,очевидно, вообще не совершается. Она максимальна понаправлениям, по которым максимальна густота (плотность)расположения эквипотенциальных поверхностей. В этих местах- 133 -Электричество и магнетизммаксимальна и напряжённость поля. Нетрудно сообразить, каковаи взаимная ориентация силовых линий и эквипотенциальныхповерхностейвместахихпересечений:онивзаимноперпендикулярны.

Ведь при любом маломEперемещении вдоль эквипотенциальнойповерхности элементарная работа равнанулю, а это возможно только в случае, если dlравна нулю касательная составляющая = const вектора напряжённости, т.е. он направленстрого по нормали к поверхности. Ниже мыРис. 9.1приводим цепочку соответствующих этимсловам, надеемся, довольно очевидных равенств: d  0  dA  q  El  dl  0  El  0  E  dl . (или E  n )Вместе с рис. 9.1 они доказывают, по сути, уже сформулированноеутверждение: линии напряжённости пересекают (или «подходятк …») эквипотенциальные поверхности под прямым углом !Приведём картину эквипотенциальных поверхностей (исиловых линий тоже) для некоторых простейших уже хорошо намзнакомых случаев электростатического поля: а) поле точечногозаряда; б) поле двух одинаковых по модулю разноимённыхточечныхзарядов;в)полемеждудвумяразноимённозаряженными плоскопараллельными большими (по сравнению срасстоянием между ними) пластинами – см.

рис. 9.2.++qа+qРис. 9.2–-q+бв+–+–+–+–+–+–+–+–+––- 134 -§ 9. Работа. Разность потенциалов9.4. Потенциал поля системы точечных зарядовНетрудно показать, что для потенциала поля системынеподвижныхточечныхзарядовqiсправедливпринципсуперпозиции: он равен алгебраической сумме потенциаловполей,создаваемыхвданнойточкекаждымзарядомвотдельности:N   i(9.9)i 1Доказательство этого утверждения основано на двух известныхнам обстоятельствах: 1) потенциал равен удельной работе поперемещению пробного заряда из данной точки поля в точкунормировки; 2) работа силы есть величина аддитивная, т.е.работа нескольких сил, действующих на тело всегда равнаалгебраической сумме работ каждой из сил в отдельности (мыотмечали этот факт ещё в разделе «Механика»).Для поля системы точечных зарядов, соответственно, можнонаписать (см.

рис. 9.3):(∞) = 0q1•qi •“∞”rir1• q2•r2qпр(x,y,z) =Рис. 9.314 0iqi,ri(9.10)где ri – расстояние от i-го заряда до точки поля с координатами{x,y,z}. Приведём простой пример расчёта потенциала поля,создаваемого протяжённым заряженным телом, основанного наприменении принципа суперпозиции для потенциалов.- 135 -Электричество и магнетизмПример. Определим потенциал электрического поля (x) на оси равномернозаряженного кольца радиуса R. Заряд кольца q, x – расстояние от центра кольцаПовторяячастичнонашидействияприрасчётенапряжённости для этого случая (см.

п. 7.5), обнаруживаемсущественные упрощения ситуации. Потенциал – величинаскалярная и после разбиения кольца на малые элементы –точечные заряды qi, остаётся лишь всоответствии с принципом суперпозицииXАпросуммировать совершенно одинаковыеi(r)величины – потенциалы поля, котороесоздаётr0 интересующейнасточкекаждый из этих зарядов (см. рис. 9.4):hRв 1 Δqi 4πε0 r А =  q iiq1 =  qi .22 4πε0 R + x iОставшаяся сумма даёт, конечно, полныйРис. 9.4зарядкольцаq.Поэтомузапишемрезультат окончательно:А =Обратимвнимание,14πε0чтоq2R +x2(9.11).этотрезультатполученсматематической точки зрения чрезвычайно просто именно в силускалярногохарактерапотенциала.Решитесамостоятельновопрос о потенциале в центре, скажем, равномерно заряженнойполусферы.

Вы убедитесь, что ответ может быть получен, чтоназывается, «в уме». В то время как поиск напряжённости –математически весьма непростая задача.- 136 -§ 9. Работа. Разность потенциалов9.5. Связь напряжённости электростатического поля сразностью потенциаловМы уже знаем, как найти разность потенциалов междулюбыми двумя точками электростатического поля, если силовоеполе задано функцией Е ( x, y, z ) :( 2)1   2   Еl dl .(9.6)(1)А можно ли наоборот, зная функцию  ( x, y, z ) , судить онапряжённости, т.е. рассчитывать векторное поле Е ( x, y, z ) ?Определим работу сил поля при малом перемещении dlпробного заряда qпр двумя способами:1.

dA = qпр·El ·dl.Здесь использованы хорошо нам известные соотношения:dA = Fl dl – по определению элементарной работы силы;Fl = qпр·El – по определению напряжённости;2. dA = – qпр·d.А здесь мы опирались на определение разностипотенциаловqпр·(1  2) = A12.

Знак “–“, объясняется тем, что d  это не чтоиное, как бесконечно малое приращение потенциала *) = (2  1) = –(1  2).Выпишем равенства 1 и 2 ещё раз, как систему уравнений:dA  qпр  El  dl;dA  q  d.прПриравнивая правые части и сокращая на qпр, получаем:El ·dl = d или чуть иначе:*)El  d.dlОпределяя «приращение» всегда из конечного значения вычитают начальное.- 137 -(9.12)Электричество и магнетизмЭто соотношение означает, что проекция напряжённости полявдоль направления dlравна скорости изменения потенциала отточки к точке поля вдоль этого направления.

Знак “–“ отражает тотфакт, что напряжённость поля Е направлена в сторону убыванияпотенциала .Поскольку направление бесконечно малого перемещения dlпредполагалосьнамипроизвольным,тоономожетбытьнаправлено и вдоль любой из координатных осей некоторойвыбранной системы отсчёта. Например, в случае использованияпрямоугольной декартовой системы координат это могут бытьнаправления осей OX, OY и OZ. Тогда получим:Ex  .; Ey  ; Ez  xyz(9.13)Цепочка равенств (9.13) говорит о том, что составляющиевектора напряжённости в любой точке электростатического поляравны частным производным*) по координатам (в нашем случае, вдекартовой системе координат).

Характеристики

Список файлов лекций