А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Закон КулонаПроиллюстрируем данное определение и поясним, вчастности, для чего понадобилось делить на величину пробногозаряда. Запишем сумму сил, действующих на точечный заряд qпр,названный нами «пробным». На заряд, помещённый в даннуюточку пространства (точку силового поля), со стороны любойсистемы других точечных зарядов*) по закону Кулона и с учётомпринципа суперпозиции действует сила: 1  qпр q1 r1F (r ) = 2 4πε0  r1r1qпр q2 r2r22 r2 ... qпр qi riri2 ri ...

qпр qn rn . (*)rn2 rn Здесь ri – радиус векторы, проведённые от i-го заряда системы вточку, где расположен пробный заряд (см. ещё раз на рис. 7.2).Видно, что все слагаемые имеют множитель qпр. Поэтому ирезультирующая сила также пропорциональна величине пробногозаряда. Теперь ясно, что отношение этой силы к заряду qпр уже независит от величины пробного заряда (а также и от его наличия!), т.е. характеризует само поле сил. Это и есть напряжённость E (r ) . Итак, функция Е (r ) характеризует каждую точку пространства. Если задана такая функция Е  Е(r ) , говорят, что «задано поле» (векторное силовое!). По сути, векторная функция Е (r ) – это иесть электрическое поле! В чём удобство от введения такойхарактеристики? Если каким-то образом мы научимся находитьпо заданному распределению заряженных тел в пространстве(экспериментальноилитеоретически)напряжённостьв произвольной точке поля как функцию её координат – Е (r ) , то мысможем найти силу, действующую со стороны поля на любойточечный заряд q, оказавшийся в данной точке поля:  F (r ) = q  E (r ) .*)Е и поото ы тозд ёт я п отя ённы и з я нны и ти, их о ноо но буд т чит ть точ чны и з яд и.- 95 -збить н(7.4)ы энты,Электричество и магнетизмНапряжённость поля точечного зарядаВыражениедлянапряжённостиэлектрическогополя,создаваемого в окружающем пространстве одиночным точечным E (r )rqпрq+зарядом, легко получить, исходя из определениянапряжённости и из закона Кулона (рис.

7.3):1q r(7.5)E т.з. (r ) =  .4πε0 r 2 rРис. 7.3Если переписать теперь равенство (*) в виде:  1 q1 r11 qi ri1 qn rn F ( r ) = qпр  ...  ...  2224πεrr4πεrr4πεrrn 0 110 ii0 nN  и иF (r ) = qпр   Ei ,i=1то с учётом (7.4) мы получим как следствие принцип суперпозицииN  для напряжённости электрического поля: E (r ) =  Ei .i=1Чтобы найти напряжённость электрического поля, созданногопротяжёнными заряженными телами, необходимо «разбить» ихна малые элементы (точечные заряды), а затем использоватьпринцип суперпозиции электрических полей. Например, подобнаяпроцедура расчёта напряжённости поля приводит к важномурезультату,которыйвшкольномкурсеприводитсябезобоснования. Напряжённость электрического поля, созданногозаряженнойпространствапроводящейзасферойпределамиэтой(илишаром)сферыописывается таким же выражением, как и вслучае точечного заряда.

Радиус-вектор приэтом имеет своим началом центр сферы (см.рис. 7.4). Внутри сферы напряжённость поляравна нулю, т.е. поле отсутствует. Процедурадоказательства этих утверждений, несмотря- 96 -вобласти 1qE (r ) = 24πε0 rr++ q +  ++ E 0+ + +Рис. 7.4rr E (r )§ 7. Закон Кулонана простую симметрию распределения заряда в пространстве, сматематической точки зрения, весьма кропотлива*). Поэтомунесколько позже мы увидим, как можно обосновать их гораздопроще, используя мощную «интегральную» теорему-следствие иззакона Кулона и принципа суперпозиции – теорему Гаусса. В заключение пункта 7.3 сделаем замечания о понятии«пробный заряд», ото ыы о по ьзо и ь п и фо у и о ниип инципуп позициииоп д ниин п я ённо тиэ т ич ого по я.1.Пробныйзаряддолженбытьточечным,т.

е.геометрические размеры заряженного тела должны быть малы.Но возникает вопрос – по сравнению с чем (положения и размерызаряженных тел-источников поля могут быть и неизвестны!)? Увы,этот вопрос можно решить только экспериментально – по мереуменьшения размеров пробного зарядарезультатрасчётанапряжённости должен перестать зависеть от этих размеров.2. Пробный заряд qпр должен быть малым по величине. Чтоявляется критерием этой «малости»? Появление пробного зарядав области измерения напряжённости электрического поля недолжно приводить к перераспределению зарядов-источниковполя в пространстве (т. е. попросту к их смещению).

Вопросопять-таки зачастую может быть решён лишь экспериментально.7.4. Линии напряжённости электрического поляПоле можно попробовать представить наглядно, рисуя вкаждой точке пространства векторы напряжённости поля откаждоготочечногозаряда-источника(илималогоэлементапротяжённого заряженного тела), а затем их складывая. Очевидно,*)я ш ния з д ч подобногоп иш о ьз б ты ть но ыи чи ния.од п иттичнит ьноипп- 97 -г ит ции Ньютону,ы по ни ,т дифф нци ьного и инт г ьногоЭлектричество и магнетизмтакая процедура, хотя принципиально всегда и осуществима, нопрактически весьма долгая и утомительная даже в случае полявсегодвухточечных зарядов.Примертакойдеятельностипредставлен на рис. 7.5,б. Там же проведены и так называемые«линии напряжённости» (или «силовые линии»).(Опр.) Линии, касательные к которым в каждой точке полясовпадают с направлением вектора напряжённости в даннойточке, называются линиями напряжённости электрического поляОни помогают представить структуру электрического поля – егонаправление и величину в разных точках пространства.

О величинесудят при этом по «густоте» линий напряжённости в данной областипространства, т. е. по их количеству, отнесённому к площади«пронзаемой» поверхности. Скоро мы уточним это понятие.МайклФарадей,которомуипринадлежитидеяиспользования силовых линий, предложил быстрый способскладывать множество векторов. Он предложил строить картинулиний напряжённости экспериментально, используя огромноеколичество мелких диэлектрических частичек-стрелок, которыеориентируются в каждой точке пространства вдоль вектора Е (пополю) быстро и самостоятельно.На рис.

7.5 приведены картины силовых линий поляодиночного точечного заряда – a (для положительного они–-q+q +++qабr ()E ()EРис. 7.5Eв+–+–+–+–+–+–+–+–+––- 98 -§ 7. Закон Кулонанаправленырадиальноотзаряда);системыиздвухразноимённых, одинаковых по модулю зарядов – б; поля междудвумяплоскопараллельнымиразноимённозаряженнымипластинами – в. В последнем случае вдали от краёв этих пластинмы имеем дело с т.

н. однородным полем. Электрическое поленазывается однородным, если его напряжённость одинакова вовсех точках пространства. Силовые линии однородного поля –равноотстоящие друг от друга параллельные прямые.Сделаем несколько важных замечаний о силовыхлиниях электростатического поля1. Линии напряжённости электростатического поля незамкнуты!Такое поле порождено источниками – электрическими зарядами–егосиловыелинииначинаютсянаположительныхизаканчиваются на отрицательных зарядах.2.

Линии напряжённости не пересекаются.3. Как мы уже отмечали, величина напряжённости поляпропорциональна густоте силовых линий в данной областипространства. В случае поля одиночного точечного заряда линиинапряжённости отражают не только качественно верную картинуструктуры поля, но и точное количественное соответствиетеории – густота линий уменьшается по мере удаления отзаряда-источникаполяобратнопропорциональноквадратурасстояния от него!7.5. Применение принципа суперпозиции для нахождениянапряжённости поля системы зарядов и протяжённыхзаряженных телМыужеотмечали,чтовведённаянамивеличина–напряжённость электрического поля – будет плодотворной, еслимы научимся рассчитывать её по заданному распределению- 99 -Электричество и магнетизмзаряженных частиц и тел в пространстве.

Первым способомтакого расчёта является использование знания выражения длянапряжённости поля точечного заряда и принципа суперпозицииэлектрических полей. По сути, его мы и используем (пусть икачественно) при «теоретическом» построении картины силовыхлиний,описанномвпредыдущемпункте.Такойспособпринципиально применим всегда.

Другое дело, что получитьточный результат аналитически, без применения численныхметодов и ЭВМ, удаётся только в очень ограниченном рядеслучаев распределения зарядов-источников в пространстве.Приведём только простейший пример такого расчёта. Ведь нашазадача сейчас продемонстрировать «стратегию» действий, а неуглублятьсявматематические«упражнения».Примерырассмотрения более сложных ситуаций вы найдёте в нашемучебном пособии для семинарских занятий.Пример. Оп д и н п я ённо ть эз янного о ьцдиут ич ого по я Е (x) н о иR. З яд о ьц q, x –тояни от ц нтно ноо ьцПрежде всего разобьём кольцо на элементы – точечныезаряды qi, каждый из которых создаёт в точкенапряжённостью1 ΔqiEi =4πε0 r 2XEiEiхОбратимх АОqполе сriΔqiri1 = .r 4πε0 ( R 2 + x 2 ) rвнимание,чторасстояниеотэлемента кольца до точки А одинаково дляАвсехrRРис.

7.6такихэлементов.Всевекторырасполагаются под одинаковым углом  к осиОХ на конической поверхности (см. рис. 7.6).qiДалеесуперпозиции,- 100 -воспользуемсят.е.сложимпринципомвсетакие§ 7. Закон Кулонавекторы.Вследствиесимметриизадачинапряжённость дадут лишь составляющиевклад в общуюЕi x  Еix.

Поэтому модуль вектора напряжённости в точке А будет равен толькосумме именно этих составляющих Еix от всех элементов кольца:Δqi  xxE ( x) =  ( Ei  cos ) =   qi 22 3/ 222 3/ 2 4ε(Rx)ii  4 ε0 ( R  x )i0qx.4 ε 0 ( R 2  x 2 ) 3 / 2Сам же вектор Е , очевидно, будетEx21/x0направленxвдольОХ.осиОкончательно полученный результатможно записать в такой форме:1qxE ( x) ex . (7.6)4πε0 ( R 2  x 2 ) 3 / 2Рис. 7.7Зависимость проекции на осьОХ вектора напряжённости Ex представлена на графике – рис. 7.7.Видно, что на малых расстояниях от центра кольца этазависимость линейная, на больших – обратно пропорциональнаяквадрату расстояния (кольцо “становится” точечным зарядом). Сделаем несколько замечаний1.В рассмотренном примере мы обошлись даже без высшейматематики – процедуры интегрирования.

В более сложных случаяхdEAdq“L”rdlРис. 7.8«одномерного» распределения заряда(см. рис. 7.8) приходится рассчитыватьт. н.«криволинейные»вдольлинейногоинтегралыобъекта(стержни, нити, проволоки, ...):1 rЕdl ,4 0 L r 2 r- 101 -«L»(7.7)Электричество и магнетизмиспользуя при этом понятие линейной плотности заряда:dq(7.8)dlНаписать равенство (7.7) не сложно, а вот «взять» такойинтеграл, увы, удаётся далеко не всегда. Обратите внимание, чтои положения начала векторов r для каждого элемента разные! Снекоторыми характерными случаями, когда удаётся свести такуюнепростую«математическуюконструкцию»кобычномуопределённому интегралу вы познакомитесь на семинарскихзанятиях и в практикуме.(Опр.)2.

Если заряд распределён по какой-либо поверхности илив некоторой трёхмерной области пространства («по объёму»),используютинтегралы,соответственноатакжеплотности заряда:1 rЕdS4 0  r 2 rповерхностныепонятия(Опр.)поверхностнойЕиилиdqdS1объёмныеиобъёмнойdV ;(7.9) r4 0  r 2 rи dqdV(7.10)Символы «L», «» и «» под интегралами используются вравенствах (7.9) для обозначения линии, поверхности или областипространства(этогеометрическиеобъекты!),покоторымраспределён заряд соответственно.

Характеристики

Список файлов лекций