А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Например, сплошной цилиндр- 57 -МеханикаmR 2  Iс  скатывается быстрее полого I с  mR 2 независимо от2 массы и радиуса !Что касается линейной скорости центра масс и угловойскорости качения, то они растут по линейному закону:2 gsin    t .3 R2v c   g sin    t ;3  ЗамечаниеМырассмотрелислучайскатыванияцилиндра.Важнопомнить, что если проскальзывание отсутствует, то мы имеемдело с силой трения покоя! Условие отсутствия проскальзыванияFтр   FNнакладываетопределённыеограничениянасоотношение коэффициента трения  и угла наклона плоскости  .Разберитесь для тренировки с этим вопросом самостоятельно.Мы же добавим, что при наличии проскальзывания исчезаеткинематическая связь линейного и углового ускорений aс    R ,однако, добавляется уравнение для силы трения скольженияскFтр  FN    mg  cos .

И тогда для линейного и угловогоускорений несложно получить:aс  g (sin   cos ) ;- 58 -2 g cos.R§ 5. Законы сохранения в механике§ 5. Законы сохранения в механике5.1. Закон сохранения импульсаКак мы уже отмечали, все полученные в прошлом параграферезультаты справедливы как для систем материальных точек, таки для движения твёрдого тела. Воспроизведём опять рисунок 4.3,и запишем для всех частиц системуF1уравнений2-гозаконаНьютона,Fifi2справедливых в некоторой инерциальной∆m1 ∆mi • системе отсчёта.• f1if12f1if 21f 2idp1  f1 j  F1внешн ;j 1 dt......  внешн dp ifF;ijidtij... ... внешн dp nf nj  Fn. dt  jn• ∆m2F2Рис.

4.3""Здесь мы применили «ньютонову» формулировку закона сиспользованием понятия импульса материальных точек (частиц).Просуммируем все эти уравнения и получим:n dp iвнешнff. ij Fijidti 1i ji 1nПервая сумма в правой части равна нулю. Ведь для любой парывзаимодействующих друг с другом частиц по третьему законуНьютона силы равны и противоположно направлены f ij   f ji ! Влевой части можно поменять местами знаки суммирования идифференцирования, а значит, получим скорость измененияdpi d n  dP  pi импульса всей системы . Итак, как и дляdt i 1dti 1 dtnодной частицы, справедливо равенство:- 59 -МеханикаdP n  внешн  Fi.dt i 1(5.1)Теперь можно сформулировать закон сохранения импульса длясистемы материальных точек (а значит и для ТТ).Если сумма всех внешних сил, действующих на теласистемы равна нулю, то импульс системы не меняется стечением времени (т.е.

сохраняется)Запишем это утверждение компактно:n Р"до" = Р "посл е" .Если  Fi внешн  0,то(5.2)i 1 Сделаем несколько важных замечаний1) Как видим, мы не используем никаких дополнительных терминов«изолированная» или «замкнутая система». Мы формулируемздесь конкретные ограничения на внешние силы. Т.е. на силы,которые действуют со стороны тел, не входящих врассматриваемую систему.

Будем поступать аналогично и вдальнейшем для других законов сохранения.2) Конечно, надо помнить и об использовании инерциальной СО.n3) Требование  Fi внешн  0, является весьма «жёстким», редкоi 1выполняющимся на практике. Если удаётся найти такоенаправление, вдоль которого равна нулю сумма проекцийвнешних сил, то можно утверждать, что сохраняется проекцияимпульса системы на это направление:Если Fni 1 внешнix 0,тоР "до "x "после"= Рx(5.2,а) внутр4) А вот происхождение внутренних сил f ijможет быть самоеразное. Нет никаких ограничений на их характер – это могутбыть, в том числе, различные силы трения, и силы, возникающиепри неупругих деформациях тел!5) Закон сохранения импульса имеет те же самые границыприменимости, что и второй и третий законы Ньютона.- 60 -§ 5.

Законы сохранения в механике5.2. Реактивное движение. Уравнение Мещерского внешн.F iВспомним теорему о центре масс: из равенства ac =mследует, что в отсутствии нескомпенсированных внешних сил (приусловии  Fi внешн. = 0 ), центр масс системы покоится или движетсяравномерно. Никакие внутренние взаимодействия не способнысообщить ускорение системе как целому! А вот заставитьдвигаться с ускорением часть системы можно за счёт движениядругой её части в противоположном направлении. В этом исостоит принцип реактивного движения – в его основе «эффектотдачи».Найдём реактивную силу.

Пусть ракета движется в космосевдали от других тел – см. рис. 5.1. В некоторый момент времениtмассаракетыинерциальнойравнасистемыm,аотсчётаеёскорость относительноравна V . Спустя малыйпромежуток времени dt масса ракеты уменьшится на величину dmза счёт выброса продуктов сгорания топлива реактивногодвигателя ракеты.

Пусть их скорость равна u относительноракеты.Запишемравенство,соответствующеезаконусохранения импульса для системы «ракета – продукты сгорания»: mV  (m  dm)(V  dV )  dm(V  u ) .“после”“до”t + dttudmmСоюзРис. 5.1- 61 -VV  dVМеханика Здесь V  u – скорость «выброса» продуктов сгорания из сопладвигателя ракеты относительно инерциальной системы отсчёта(по закону сложения скоростей).

Раскроем скобки в правой частииприведёмподобные. Будем пренебрегать, кроме того,слагаемым вида dm  dV – бесконечно малой величиной второгопорядка малости. Получим в результате: m  dV   dm  u . Поделимэто равенство на интервал времени dt и запишем окончательноуравнение движения ракеты:dVm   u .dtЭтои естьобозначениеуравнение Мещерского.(5.3)В нёмиспользованоdm  для темпа выброса продуктов сгоранияdtтоплива.Мы знаем, что произведение массы на ускорение всегдадолжно равняться действующей силе.

В случае ракеты эта силаравна произведению    u и называется «реактивной силой»:Fреакт    u .Знак «–» указывает на то, что эта сила направлена в сторону,противоположную направлению выброса продуктов сгорания. Вобщем случае реактивная сила может, как разгонять, так итормозить ракету.Вблизи космических тел на ракету помимо реактивной силыдействуют, конечно же, и силы тяготения, а на этапе её разгона ватмосфере – ещё и сила сопротивления воздуха.

Чтобы учестьэто, достаточно всего лишь добавить соответствующие силы ( mg , Fc , ... ) в правую часть уравнения Мещерского.- 62 -§ 5. Законы сохранения в механике5.3. Закон сохранения момента импульсаМы знаем, что для систем материальных точек и придвижении твёрдого тела выполняется уравнение моментов:n dM  N iвнешн .dt i 1Опираясь на него, мы можем сформулировать ещё один законсохранения:Если сумма моментов всех внешних сил, действующих натела системы равна нулю, то момент импульса системыне меняется с течением времени (т.е. сохраняется)Кратко:Если внешнN 0, ini 1тоM = const(5.4) Замечания1.

Момент импульса сохраняется в инерциальной системе отсчёта, вкоторой покоится точка О, относительно которой определены и сам моментимпульса M и все моменты, действующих на тела системы сил N iвнешн . внешн 0 опять-таки может оказаться слишком2. Требование  N ini 1жёстким.

Если равна нулю сумма проекций моментов внешних сил нанекоторое направление, например, закреплённую ось вращения Z, тосохраняется проекция момента импульса системы только на этонаправление:ЕслиNni 1внешнiz 0, тоM "zдо" = M "zпосле" .(5.4,а)В частности, для систем с переменным моментом инерции выполняетсяравенство:I z "до"= I z "после",(5.4,б)справедливость которого обычно ярко иллюстрируется в классическихдемонстрациях с использованием «скамьи Жуковского».5.4. Работа силыПоищем другие общие свойства «ньютоновых» сил, которыеприведут нас к ещё одному закону сохранения – закону- 63 -Механикасохранениямеханическойэнергии.Напутикнемунамнеобходимо вспомнить ряд важных понятий: работа силы,механическаяэнергия(кинетическаяипотенциальная),консервативные и неконсервативные силы.Если сила действует на движущееся тело, то говорят, чтосила совершает работу.

Исключением является случай, когдасила перпендикулярна вектору скорости тела. Величина силы,взаимная ориентация векторов силы и направления движениямогут изменяться в процессе движения.Для простейшего случая (см. рис. 5.2) прямолинейногодвижения под действием постоянной силы – не меняется ни силаFРис. 5.2mSF , ни угол  между силой и скоростью –определение для работы известно изшкольного курса 9-го класса:A = F·S·cos  .(5.5)Здесь буквой S обозначен модуль перемещения S  r длялучшей узнаваемости этого определения.

Видно, что работа –величинаскалярная.Еслиуголострый,тоработаположительна, если тупой – работа данной силы отрицательна.Еслисилаперпендикулярнаперемещению(т.е.   / 2 ),несмотря на действие силы и наличие перемещения, работаданной силой не совершается.Усложним задачу – пусть телодвижется теперь по произвольнойFiтраектории “L” (см. рис. 5.3), а силаможет изменяться как по величине, так ипо направлению.

Тогда, чтобы найтиработу на всём этапе движения 1–2,необходимо разбить траекторию на малые- 64 -“L”1m iРис. 5.3∆li2§ 5. Законы сохранения в механикеучастки с перемещениями ∆li , на которых силу Fi можно считатьпостоянной, вычислить работу Аi на этих малых участках,используя равенствоэлементарные работы:а(5.5),затемсложитьA12   Ai   Fi  li  cos i  .iвсеэти(5.6)iЗдесь i – номер малого участка траектории. После предельного *) перехода с заменами: li  dl , Fi  F , i   , Ai  A ,аналитический путь вычисления такой суммы для бесконечногочисла бесконечно малых слагаемых ведет к интегрированию.Уточним:(Опр.) Элементарной работой A называется произведениепроекции силы на направлениемалого перемещения точкиприложения силы dl на модуль этого перемещения:A  Fl  dlили A  Fdl cos(5.7)Нетрудно узнать в этих «конструкциях» скалярное произведениевекторов F и dl на отдельных участках траектории.

Характеристики

Список файлов лекций