А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

рис. 5.9).Этослучайцентральной,атяготениясостояниясистемы*)идлязначитдостаточноописанияоднойmFGrконсервативной силы. Она подчиняется законувсемирного“L”MОРис. 5.9Здесь в общем случае мы опять имеем в виду целый набор координат всех частиц системы.- 73 -Механикапеременной – расстояния между телами r. Договоримся считатьпотенциальную энергию равной нулю при бесконечно большомрасстоянии между телами: U ( )  0 (условие нормировки). Тогда: drMm 1.U(r)  Ar    Fr dr  GMm  2  GMm    GrrrrrrИтак: U G (r )  GMm.rUG  0при r   .(5.17)Как видим, потенциальная энергия гравитационного взаимодействиявеличина отрицательная.

Это соответствует притяжению тел!2. Электростатическое взаимодействие («кулоновские» силы).Потенциальную энергию электростатического взаимодействияUeсистемы двух точечных заряженных частиц q1 и q2 можно найтисовершенно аналогично. Пусть одна из них неподвижна в началенекоторой инерциальной системы отсчёта. Тогда при удалении другойна бесконечно большое расстояние (туда, где Ue будем полагать равнойнулю) «кулоновская» сила совершит работу: dr1 q1q2 1U e (r )   Fr dr  q1q2   2  q1q2     .4 04 0 r  r 4 0 rrrrИтак1U e (r ) 14 0q1q2.r1Ue  0при r   .(5.18)Знак этой энергии зависит, очевидно, от того одноимёнными илиразноимёнными являются эти заряды.3.

Потенциальную энергию при упругой деформации телопределим для случая спиральной пружины. Пусть один конец еёшарнирно закреплён в точке О, чтобы пружина могла поворачиваться.Тогда на материальную точку, закреплённую на противоположномконце пружины, действует центральная сила- 74 -Fr (r )  k (r  r0 ) .

Здесь§ 5. Законы сохранения в механикеFупрr0 – координата МТ в отсутствиидеформации пружины. ПотенциальнуюmОэнергию естественно считать равнойr0нулю как раз при r = r0. Тогда:(r  r0 ) 2U упр (r )   Fr dr  k   (r  r0 )dr  k 2rrr0Итакr0kх 2U упр (r ) .2Uупр = 0Рис. 5.10r0rrrk (r  r0 ) 2.2при x = 0.(5.19)В последнем равенстве мы использовали обозначение x = r – r0 длядеформации пружины опять-таки ради лучшей «узнаваемости» этогоизвестногосошколывыраженияпотенциальнойэнергиидеформированной пружины. Замечания1. Говорят, что потенциальная энергия «определена с точностью допроизвольной постоянной». Это означает лишь, что её абсолютное значениезависит от способа нормировки. А вот изменение потенциальной энергии приизменении положения тел системы от нормировки не зависит.

Но ведь и всефизически значимые величины, проявляющиеся на опыте, определяются именноизменением энергии, а не её абсолютным значением!2. Заметим также, что в хорошо знакомом случае «однородного» полятяготения Земли (U = mgh) лучше говорить не о потенциальной энергии "тела,поднятого над Землей", а о потенциальной энергии системы «тело – Земля», либо опотенциальной энергии тела в поле тяготения Земли.3.

Напомним, что потенциальная энергия имеет смысл толькоконсервативных сил, поэтому к силе трения это понятие не применимо!для5.10. Связь силы и потенциальной энергииВопрос, обозначенный в заголовке этого параграфапредполагает, по сути, возможность решения двух задач:1. Как найти потенциальную энергию,еслидействующие консервативные силы F ( x, y, z) ?известны2. Как, зная функцию U( x, y, z ) для потенциальной энергии,определить силу?- 75 -МеханикаВ предыдущем параграфе мы подробно обсудили как раз путирешения первой из этих задач. Второй вопрос является обратнойзадачей по отношению к первой. Перейдём теперь к егорассмотрению.Мы знаем, что работа консервативной силы равна убылипотенциальной энергии системы:(к )A12 U . Поэтому длямалого перемещения dl элементарную работу можно записатьдвумя способами:1.2.(к )dA12 d U ; (к )dA12 ( F , dl ) .(из определения потенциальной энергии)(определение элементарной работы)Здесь dU – бесконечно малое изменение потенциальной энергии. Приравняв правые части, получаем: ( F , dl )  dU .

Скалярноепроизведение и полный дифференциал функции U ( x, y , z ) можнопереписать иначе: UUU Fx dx  Fy dy  Fz dz   dx dy dz  .xyz(*)Здесьпроизошланекотораязаменавобозначенияхдифференциалов и, соответственно, производных: вместопривычных «dUU, …» появились «, …». Таким способом вdxxматематике принято обозначать так называемые «частные»производные. Они необходимы, когда мы имеем дело с функциейнескольких переменных, а не одной единственной. Есливспомнить математическое определение производной функцииf   f  lim , то станет ясно, что в случае функции f несколькихx 0 x переменных (x, y, z – в нашем случае), определяя предел, однойиз переменных сообщается бесконечно малое приращение, в товремя как остальные переменные фиксируются (считаются- 76 -§ 5.

Законы сохранения в механикеконстантами). Об этом и сигнализирует особое обозначение такихпроизводных.Сейчас нам придётся ещё немного потрудиться в освоенииновых математических обозначений. Равенство (*) говорит о том,что проекции вектора силы в любой точке пространства равны спротивоположным знаком частным производным по координатам(внашемслучае,вдекартовойсистемеU;yU.zкоординат)отпотенциальной энергии:Fx  U;xFy  Fz  (5.20)А значит, сам вектор F можно задать таким способом: U  U  U  F   ex ey ez  .xyz(5.20,а)Математики используют в таких случаях специальное компактноеобозначение:F   grad U(5.20,б)и называют эту величину «градиент» (от лат. gradiens – рост)*). Вчём же её смысл?Пусть заданы значения потенциальной энергии во всехточках пространства – U ( x, y , z ) («поле энергий»).

В этом полеможно выделить геометрическое место точек, в которыхпотенциальная энергия имеет одно и то же значение. Эти точкиобразуют так называемую эквипотенциальную поверхность. Приперемещении частицы вдоль эквипотенциальной поверхности еёэнергия не меняется и работа не совершается. На рисунке 5.10изображены сечения нескольких поверхностей с близкимизначениями потенциальной энергии. Пусть мы хотим найтивеличину силы, действующей на частицу, в точке О.

Проведём ось*)Термин «градиент» как и его обозначение, впервые в математику был введен Максвеллом в 1873 г.Кое-где вы можете встретить для градиента и иное обозначение – «оператор набла»: . Не пугайтесь– это то же самое!- 77 -МеханикаFYFyyОFx n F U3xxU2Рис. 5.11Х, направленную произвольно.Всоответствиис(5.20)получим (см. рис. 5.11):U3  U 2U.xxАналогично и для оси Y:XFy U1U, а для трёхмерногоyслучая иFz U. Модульzсилы находим при этом, как обычно, F  Fx2  Fy2  Fz2 .А как направлен вектор силы? Поскольку при перемещениичастицы вдоль эквипотенциальной поверхности работа несовершается, сила направлена по нормали к эквипотенциальнойповерхности.

Удобно одну из осей, например ось Х , направить непроизвольно, а как раз так же по нормали. При этом окажетсяUFx  ; Fy  0; Fz  0.nЗдесь n, равная х – это кратчайшее расстояние междуповерхностями.Поэтомувнаправлениинормаликэквипотенциальной поверхности изменение потенциальнойэнергии происходит быстрее всего.

Значение модуля силысовпадает в этом случае с модулем её нормальнойсоставляющей. U U U ;;иyz  xГрадиент – вектор, имеющий компоненты показывающий направление, в котором быстрее всего растётпотенциальная энергия U вблизи данной точки пространства.Сами компоненты вектора градиента дают скорость роста U покоординатным направлениям, а вот его модуль определяетскорость в направлении максимального изменения U (в- 78 -§ 5. Законы сохранения в механикенаправлении вектора gradU). Таким образом, F определяетизменение потенциальной энергии на единицу длины, внаправлении наиболее быстрого изменения энергии.

Знак«минус» означает при этом, что сила направлена в сторонуубывания потенциальной энергии.Понятие градиента как производной по направлению довольно широкоиспользуется в разных областях науки. Можно, например, говорить о градиентетемпературы в помещении. Или в случае топографии градиент определяетнаправление самого крутого подъёма местности, а его модуль – наибольшую«крутизну» (скорость роста высоты) в этом же месте.5.11. Закон сохранения механической энергииа) Начнём с простейшего случая – пусть только одна частицаmдвижется(МТ)поддействиемконсервативныхинеконсервативных сил от точки 1 до точки 2 вдоль траектории “L”рис.(см.5.12).кинетическойизменениеПоэнергиитеореме(см.кинетическойостр.70)энергииTF2равно работе действующих на частицу“L”сил.

Поскольку среди этих сил могут бытьконсервативныеT (к)A12( нк ).A12инеконсервативные:1mdlРис. 5.12Работа первых равнаубыли потенциальной энергии, т.е.  U . Вот, что мы получим витоге:( нк )T  U  A12( нк ) T  U  A12  A12( нк)( нк ). Итак:(T  U)  A12(5.21)В последней записи учтено, что(Опр.) сумму кинетической и потенциальной энергииназывают полной механической энергией:  = T + UИ мы приходим к выводу, что, если работа неконсервативныхсил, действующих на частицу, равна нулю, то полнаямеханическая энергия частицы сохраняется.- 79 -Механикаб) Рассмотрим теперь систему взаимодействующих друг сдругом частиц (МТ и ТТ) во внешних силовых полях.

Полезно издесьF1fi2СформулируемFiКратко:4.3.сохраненияА. Есливнешние силы на теласистемы не действуют, а всевнутренние силы консервативны,то полная механическая энергиясистемы не меняется с течениемвремени (т.е. сохраняется)F2законрис.очевидна:• ∆m2Есливидуформе, справедливость которой почти∆mРис. 4.3вмеханической энергии для начала в • 1 ∆mi•f1if12f1if 21f 2iиметь1) Fi внешн. = 0 (внешних сил НЕТ!) и)2) f ij( нквнутр = 0 (внутренних неконсервативных сил НЕТ!), тоε = const .В этой формулировке использованы слишком жёсткиетребования к системе. Мы знаем, что механическая энергияопределяется не силой как таковой, а совершаемой этой силойработой. Поэтому ограничения можно смягчить в следующейформулировке.Б.

Если равна нулю суммарная работа внешних сил, действующихна тела системы, а также равна нулю и работа внутреннихнеконсервативных сил, то полная механическая энергия системыне меняется с течением времени (т.е. сохраняется)Кратко:Если1) Авнешн. = 0и( нк )= 0,2) Авнутртоε = const .- 80 -§ 5. Законы сохранения в механикеМы привели формулировки закона пока без каких-либообоснований. Внимательный анализ позволяет не толькопривести такие обоснования, но и ещё больше смягчитьограничения.Пусть система переходит из состояния 1 в новое состояние 2.При этом каждая частица, входящая в состав этой системыдвижется вдоль своей траектории “L” и мы можем найти для неёTi по теореме о кинетической энергии:T1  A1( к )  A1( нк ) ;...(к )( нк )Ti  Ai  Ai ;...T  A( к )  A( нк ) .nn nМы опять умышленно разделили работу сил в правой части надве составляющие.

Ведь работа консервативных сил, в отличиеот неконсервативных, равна убыли потенциальной энергии (т.е. Ui ).Сложимвсеравенстваиперенесёмсуммарноеизменение потенциальной энергии системы в левую часть.Получим:nni 1i 1( нк ) (Ti  U i )   Ai .Ясно, что в левой части записано изменение полноймеханической энергии системы, а в правой суммарная работавсех неконсервативных сил, действующих на тела системы. Воттеперь можно дать и ещё одну формулировку.В.

Если равна нулю суммарная работа неконсервативных сил,действующих на тела системы, то полная механическая энергиясистемы не меняется с течением времени (т.е. сохраняется)Кратко:ЕслиА(нк) = 0 , тоε = const .Как видим, в этой последней формулировке мы вообщеотказались от деления сил на внешние и внутренние. Наш анализ- 81 -Механикапоказал, что для сохранения энергии важно лишь отсутствиеработы любых неконсервативных сил. Замечания1. В вышеприведённом анализе мы, по сути, использовали«обобщённую» потенциальную энергию системы – она связана сзапасом работы не только за счёт внутренних взаимодействий U в нутр. , нои с работой внешних сил U в нешн.

Характеристики

Список файлов лекций