А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Т.е. какраз того, что являетсяматериальных точек!моментомn dM  N iвнешнdt i 1импульсаMсистемы(4.8)Иначе говоря, теперь можно утверждать, чтоСкорость изменения момента импульса системыматериальных точек равна сумме моментов внешних сил,действующих на все частицы этой системыЯсно, что это уравнение моментов справедливо также и дляслучая движения твёрдого тела.- 49 -Механика Замечания1) Надо помнить, что уравнение моментов, как и в случае однойматериальной точки, справедливо в инерциальной системеотсчёта.

Есть, однако, особый случай, когда равенство (4.8)выполняется и в неинерциальной системе отсчёта. Это такназываемая «система центра масс», о которой будет сказано ниже.2) Векторное равенство (4.8), записанное относительно точки О,можно спроецировать на некоторую ось Z, содержащую эту точку.Мы получим тогда скалярную форму записи уравнения моментов:ndM z  N ziвнеш ,dti 1которая оказывается особеннодинамики движения твёрдых тел.(4.8,а)плодотворнойприанализе4.4. Вращение ТТ относительно закреплённой оси.Момент инерцииВооружившись важными сведениями о поведении особойточки – центра масс системы – и уравнением моментов,приступим к анализу движения твёрдого тела в наиболее частовстречающихсяситуациях.Самымпростымпредставляетсявращение ТТ вокруг неподвижной оси. Например, неизменностьпространственногоположенияреальнойосиOZ,можнообеспечить, закрепив её в подшипниках.

Будем опираться в этомслучае на скалярную форму уравнения моментовdM z N zвнеш .dt4.4.1. Осевой момент импульса. «Подсчитаем» моментимпульса ТТ относительно оси – осевой момент Mz. Как обычно,“разобьём” твёрдое тело на малые элементы с массами mi ,положение которых указывают радиус-векторы ri – см. рис. 4.6.Мы помним, что при вращательном движении все точки телахарактеризуются одним и тем же вектором угловой скорости  .Этот вектор обязательно направлен вдоль оси вращения Z.- 50 -§ 4.

Динамика твёрдого телаZВекторы линейной скорости и импульсовmiVi этих элементов перпендикулярныкак оси Z, так и векторам ri .Mii•Ri ∆mi ViriПроекция момента импульса каждогоэлемента M i на ось равна произведению•Oего модуля Mi на косинус угла  i междуРис. 4.6вектором и осью. Запишемпростых преобразований для этой величины:M iz  M i  cos i  ri  miv i  cos i поменяем местамибуквыцепочку miv  ri cosi  miRi  Ri  miRi2 .Здесь произведение ri  cosi есть расстояние от элемента miдо оси вращения Ri. Теперь, чтобы найти осевой моментимпульса всего тела, просуммируем по всем его элементам:nnnM z   M iz   miRi2    mi Ri2i 1i 1i 1   .Обозначим Iz выделенную квадратными скобками конструкцию.Она играет важную роль при анализе всякого движения твёрдоготела кроме поступательного.(Опр.) Моментом инерции твёрдого тела относительнооси Z называется сумма произведений масс всех элементовтела на квадраты их расстояний до оси:nI z   mi Ri2i 1Моментинерции–скалярнаявеличина!(4.10)ЭлементыТТпредполагаются нами настолько малыми по геометрическимразмерам, чтобы расстояние Ri от любой точки элемента до осиможно было считать одинаковым.

С математической точки зрения- 51 -Механикаэто означает необходимость предельного перехода к бесконечномалым величинам mi  dm и от суммы к интегралу:I z   R 2 dm(4.10,а)Рассчитывать моменты инерции конкретных тел мы будем учитьсяна семинарских и практических занятиях. Здесь же заметим, чтопроцедура, строго говоря, предполагает вычисление объёмногоинтеграла. Однако во многих важных случаев он может быть сведён квесьма несложному определённому интегралу.Итак, мы видим, что при вращении вокруг закреплённой осисуществует довольно простая взаимосвязь осевого моментаимпульса твёрдого тела с его угловой скоростью:M z  Iz (4.11)Уже в этом соотношении можно подглядеть простую аналогию сравенством (4.3): импульс тела равен произведению его массы наскорость, а осевой момент импульса – произведению моментаинерции на угловую скорость. Аналогия этим не исчерпывается!Скорость изменения импульса тела равна произведениюdP mac .

Но ведь, исходя измассы тела на его ускорение:dtтолько что полученного результата для осевого момента импульса(4.11), легко получить:dM z dd I z    I z Iz .dtdtdtТо есть скорость изменения осевого момента импульса равнапроизведению момента инерции ТТ на его угловое ускорение.Момент инерции при вращательном движении играет рольаналогичную массе тела при его поступательном движении!Моментинерциииграетрольмерыинертностителапоотношению к вращению.Из определения момента инерции видно, что он зависит нетолько от массы тела как таковой, но от распределения этой- 52 -§ 4. Динамика твёрдого теламассы относительно оси Z.

Момент инерции тем больше, чембольшая часть массы тела удалена от этой оси.4.4.2. Основное уравнение вращательного движенияПродолжим искать аналогии. Коль скоро мы упростилизапись левой части уравнения моментов, вспомним и о егоправой части. Запишем:Iz  = Nzвнешн(4.12)основного уравнениядинамики вращательного движения ТТ.ТакоеравенствоноситназваниеАналогия с уравнением движения (вторым законом Ньютона)здесь опять налицо: вместо «массы на ускорение» – «моментинерции на угловое ускорение», а вместо суммы внешних сил вправой части – сумма моментов внешних сил!Заметим, что аналогия всё же не полная.

Надо помнить, чтоdM zdPравенства mac и maс  F – векторные, а Iz иdtdtI z   N zвнеш – скалярные. При этом сама масса тела m величинаскалярная, не зависящая от направления, тогда как моментинерции Iz существенно зависит от выбора оси Z – недаром егоназывают осевым моментом инерции*).4.4.3. Теорема Гюйгенса-ШтейнераНа семинарских занятиях предполагается рассчитыватьмоменты инерции в простейших ситуациях.

Например, дляоднородногодиска(илицилиндра)относительноосиперпендикулярной его плоскости и проходящей через середину.Здесь действовать можно строго по определению и результат не*)При анализе более сложных движений ей придают даже тензорный характер!- 53 -МеханикаZRiZccRicZаРис. 4.7∆m○iZcbбзаставит себя ждать: I z mR2. Стоит, однако, всего лишь выбрать2ось проходящую не через центр, а, например, через край диска, ивычисления кардинально усложнятся (см. рис. 4.7,а). На помощьприходит в таких случаях специальная теорема – теоремаГюйгенса–Штейнера («теорема о параллельных осях»):Момент инерции Iz твёрдого тела относительно произвольнойоси равен сумме момента инерции Ic относительно оси,параллельной данной и проходящей через его центр масс, ипроизведения массы тела на квадрат расстояния b между осями:Iz = Ic + mb 2(4.13)Прежде всего, запишем результат, который даёт применение теоремыдля вышеприведённого примера с диском: Iz mR2 mR 2232mR . Вот2*)как просто! А теперь докажем теорему .На рис.

4.7,б представлена проекция тела произвольной формы наплоскость, перпендикулярную оси Z. Вектор b проведён от неё кпараллельной ей оси Zc, проходящей через центр масс тела. Тело разбитона малые элементы с массами ∆mi, положение которых относительно осейзадают векторы Ri и Ric соответственно. Из рисунка видно, что Ri  b  Ric .Момент инерции относительно оси Z по определению равен: nnI z   mi Ri2   mi b  Rici 1*)i 1 .2Это доказательство мы не считаем необходимым включать в обязательную программу курса.- 54 -(*)§ 4. Динамика твёрдого телаВо второй сумме здесь появился «скалярный квадрат» вектора Ri , т.е.скалярное произведение вектора самого на себя.

Напишем, чему онравен: b  Ric2  b 2  2 b , Ric  Ric2 . После подстановки в правуючасть равенства (*) она распадается на три части, причём две из нихимеют очевидный смысл:n n2mb  mi b 2  mb2 иii 1 i 1nn m Ri 1i2ic  J zc .nТретья же 2 b ,  mi Ric  равна нулю. Ведь сумма  mi Rici 1i 1равна произведению массы тела на радиус-вектор, задающийположение центра масс тела относительно самого центра масс (см.определение центра масс). Значит это просто нулевой вектор!Всё это и доказывает утверждение теоремы.4.5.

Динамика плоского движения твёрдого тела.Система центра массТеперь мы можем перейти к анализу более сложного и,вместе с тем, очень важного с практической точки зрения случаядвижения твёрдого тела – плоского движения. Даже в школьномкурсе в задачах нет-нет да появлялись «шарики, скатывающиесяс наклонной плоскости». Поскольку речь шла о движенииматериальныхдвиженияточек,простовращательнойпренебрегали.составляющейМыжеможемтакоготеперьразобраться с этим поподробнее.Напомним, что с кинематической точки зрения плоскоедвижение можно представить как сумму поступательного ивращательного.Запишем,преждевсего,уравнение,позволяющее определиться с поступательной составляющейдвижения.

Для этого, как мы помним, необходимо выбратьинерциальную систему отсчёта. Ускорение центра масс телаотносительноэтойсистемыможносоответствующего второму закону Ньютона:- 55 -найтиизравенства,Механика внешн Finaс i 1.т(1)Мы знаем, кроме того, что в этой же системе отсчёта (см. рис.4.8) выполняется и уравнение моментовегоследствиепрактике, однако,последнимI z   N zвнеш .НаdM z N zвнеш , а значит иdtиметь дело суравнением,котороевнешне выглядит весьма просто,aсYИСОZcXZкрайне неудобно. Обратите вниманиеРис. 4.8хотя бы на то, что момент инерциитела относительно неподвижной оси Z всё время меняется.Оказывается можно обойти эти трудности, используя особуюсистему отсчёта, связанную с центром масс самого тела – такназываемую«системуцентрамасс».ТакаяСОдвижетсяпоступательно вместе с телом (возможно ускоренно) и можетбыть и неинерциальной! Можно доказать*), однако, что уравнениемоментов, записанное в этой системе относительно оси Zс,проходящей через центр масс тела и параллельной оси Z, такжесправедливо в знакомой нам форме.

А вот момент инерции Iсотносительно этой оси – уже величина постоянная.Если добавить ещё рассчитанное,исходя из формы и размеров тела,выражение для его момента инерцииIс и знание кинематики, то системауравнений,описывающихплоскоедвижение, приобретает замкнутый вид:*)Доказательство мы вынесем в приложение к курсу.- 56 -mac  F внешн ;внешн I c   N Zc ;(**) I  ...

; c " кинематика"§ 4. Динамика твёрдого телаЕщё раз обратим внимание, что первое равенство –векторное (ему соответствуют несколько скалярных), а второеуравнение – основное уравнение динамики вращательногодвижения твёрдого тела записано относительно оси Zс (см. рис.4.8) жёстко связанной с центром масс тела. А теперь приведёмхрестоматийный пример.Пример. Цилиндр скатывается по наклонной плоскости. Выясним, отчего зависит ускорение его центра масс. Рассмотрим также вопрос обусловиях качения без проскальзывания (см. рис.

4.9).С учётом изображённых на рисунке сил, действующих нацилиндр, запишем конкретные уравнения системы вида (**):maс  mg  sin  Fтр , (1)YИСОFтрРис. 4.9FNZcaсmg 0  mg  cos  FN ,I с   Fтр  R ,X(2)(3)mR 2Iс , (4)2aс    R . (5)Решение этой системы позволяет ответить практически на всевопросы, связанные с данным движением. Так, поступательноедвижение определено ускорением центра масс цилиндра:aс Напомним,чтоmg sin 2g sin  .23m  I zс / Rсоскальзываниебезтренияпроисходитсускорением g  sin  . Появившийся коэффициент 2/3 в нашемответе – это «цена» вращательного движения тела при качении!Эта цена зависит от момента инерции тела, т.е. от распределенияего массы относительно оси Zс.

Характеристики

Список файлов лекций