А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

С «технической» точки зренияинтегрирование – операция обратная дифференцированию. То есть надо искатьфункцию, производная от которой совпадает с подынтегральным выражением(функцией v(t), например). При этом всегда важнопомнить, что смысл операции интегрирования –vвычислениесуммы,точнеепределапоследовательности сумм определённого вида. Аименно произведений значений интегрируемойv(t)функции на малые приращения аргумента этойфункции в рамках диапазона, указанного пределамиинтегрирования.Графическитакаявеличина0t1t (значение интеграла) может быть вычислена какt t2площадь под графиком интегрируемой функцииРис.

1.4(конечноже,в соответствующихединицахизмерения!) – см. рис. 1.4.Пример 1. Равномерное движение(Опр.) Равномерным называется движение, при которомМТ за любые равные интервалы времени совершаетравные перемещенияИз этого определения (определение Галилея) следует, что приравномерном движении скорость точки не меняется, т.е.- 15 -МеханикаV  const.

**) При равномерном движении средняя и мгновеннаяскорости совпадают. Исходя из этого, легко получить законравномерного движения (в «координатной» форме):xVx  x  Vx  t tx(t )  x0  Vx  t .(1.14)Аналогично и по осям OY, OZ:y (t )  y0  V y  t ;z (t )  z0  Vz  t.или в векторном виде: r t V  Vср  r   V (t )dt  V  t tt r (t )  r0  V  t21(1.14,а)В равенствах (1.14) и (1.14,а) для упрощения записей мы считаем,что время отсчитывается от нуля, т.е. t0  0 и t = t  t0  t .Строго говоря (следуя определению), равномерным можетбыть только прямолинейное движение. Однако иногда говорят ио криволинейном равномерном движении (например, поокружности), имея ввиду постоянство скорости по модулю. Вэтом случае путь линейно растет с течением времени:l  v  t .(1.15)1.2.5.

УскорениеДляхарактеристикибыстротыизмененияскоростипользуются понятием ускорения. Конечно, начать можно, как и вслучае скорости со среднего ускорения. Но мы дадим сразуопределение ускорения мгновенного, выполнив знакомый ужепредельный переход.**)Часто именно это условие и принимается за определение равномерного движения.- 16 -§ 1. Кинематика материальной точки(Опр.) Ускорением*) называется производная скорости повремени:V(1.16)а  limt 0 t dV  или (что то же самое)a V а значит : a  r . (1.16,а)dtпри этомa  a x  ex  a y  e y  a z  ez , гдеax dVydVxdV, ay , az  z .dtdtdtУскорение рано нулю ( а  0 ) только в случае, если скорость неVизменяется ни по величине, ни по направлению (  const ).Зная функцию a (t ) , можно определить изменение вектораскорости за промежуток времени между моментами t1 и t2: t2 V   a (t )dt .(1.17)t1А если известны ещё начальные положение r0 и скоростьчастицы V0 , то нетрудно найти законы изменения её скорости иположения: tV (t )  V0   a (t )dt0 t r (t )  r0   V (t )dt.(1.18)0Таким образом, принципиальным физическим вопросомявляется как раз поиск ускорения – функции a (t ) .

На этот вопрос,как мы убедимся, ответ даёт только «динамика».*)Аналогично ситуации со скоростью, если не оговорено иное, то под термином ускорениепонимается именно мгновенное ускорение!- 17 -МеханикаПример 2. Равнопеременное движение(Опр.) Движение МТ называется равнопеременным, если залюбые равные интервалывремени ∆t происходят равныеизменения скорости VНетрудно понять, что в этом случае ускорение a не меняется( a = const). Опираясь на соотношения (1.18), легко получить дляэтого случая хорошо знакомые по школьному курсу зависимости: t V (t )  V0   a (t )dt  V (t )  V0  a  t ;0at2 t  r (t )  r0   V (t )dt  r (t )  r0  V0  t .20Запишемтакжезаконравнопеременногодвижения(1.19)и«вкоординатной форме» для одной из проекций:axt 2x(t )  x0  V0 x  t ,2(1.19,а)здесь V0х – начальная скорость вдоль оси Х (Vx(0) = V0х), x0 –координата х в начальный момент, т.е.

x(0) = x0. ЗамечаниеПример 3. Движение тел, брошенных вблизи поверхностиЗемли (сопротивление воздуха пренебрежимо мало)Это хотя и частный, но очень важный случайравнопеременного движения. Не будем, однако, воспроизводитьвсе положенные выкладки, которые подробно обсуждались ещё вшкольном курсе*). Анализируя приведённые ранее кинематическиесоотношения, мы отметим здесь, что характеристики движенияматериальной точки вдоль любой оси не влияют на параметрыдвижения вдоль остальных осей.

Это позволяет сформулировать*)Освежить их в памяти поможет, как мы надеемся, например, разбор задачи 1.1 нашего пособия длясеминарских занятий или любой школьный учебник.- 18 -§ 1. Кинематика материальной точкипринцип независимости движений, согласно которому движениематериальной точки вдоль координатных осей можнорассматривать независимо друг от друга. По горизонталипроисходит равномерное движение, а по вертикали – спостоянным ускорением – ускорением свободного падения g . Вдействительности эти движения объединены общностью течениявремени, что и позволяет находить траекторию движения.1.3.

Угловые кинематические характеристики движенияПри криволинейном движении, в частности, при движении поокружности, удобными помимо «линейных» оказываются т.н.«угловые характеристики»: угловое перемещение, угловаяскорость, угловое ускорение.1.3.1. Угловое перемещение(Опр.) Введём понятие углового перемещения, отталкиваясь какраз от случая движения МТ по окружности – см. рис. 1.5. Радиусвектор r , соединяющий центр окружности (точка О) иматериальную точку, как всегда «следит» за изменением еёположения, и при этом поворачивается на угол . Чтобы указатьне только величину этого поворота, но и направление, угловомуперемещению придают векторный характер: за направлениевектора  принимается направление поступательногоперемещения правого винта – «буравчика» при повороте егорукоятки в направлении вращения радиус-вектора – см.

рис. 1.5.Так же поступают и при движении МТ по любой плоской кривой*).t + ∆tr (t )  m0r (t )t0mtt + ∆tРис. 1.5*)В общем случае векторами являются лишь бесконечно малые угловые перемещения d .- 19 -Механика1.3.2. Угловая скоростьБыстротуугловых перемещенийхарактеризуютугловойскоростью, которую определяют аналогично линейной:(Опр.) Угловая скорость равна d(1.20)  limt 0 tdtТ.е.

она представляет собой производную по времени от углаповоротаНаправленвекторугловойскорости,какследуетизопределения, так же, как и вектор малого углового перемещения d .Ранее введённую скорость V в данном контексте называютлинейной. Её модуль v связан с модулем угловой скорости простымсоотношением,получитькотороеможно,вспомнивравенство (1.7,б) и математическое выражение для длины дугиокружности dl  R  d :vdl Rd d R    R.dtdtdtИтакv R(1.21)Можно ли записать связь линейной и угловой скоростей ввекторном виде, учитывающем направления этих характеристикдвижения? Линейная скорость всегда направлена по касательной ктраектории, т.е. перпендикулярно радиусу окружности. Угловая –вдоль оси, относительно которой поворачивается радиус-векторчастицы, т.е.

перпендикулярно плоскости, в которой лежат обавектора V и R . С учётом сказанногоприходимОказываетсякравенствуегоможно   V  , R .несколькообобщить, выбрав начало системы отсчёта(точку О ) в произвольном месте осиповорота радиус вектора R (см. рис. 1.6):- 20 -00RrmРис. 1.6§ 1. Кинематика материальной точки V  , r *)(1.22)Этот вывод будет для нас важен при анализе кинематикидвижения твёрдых тел.ЗамечаниеЕсли линейная скорость неизменна по величине v, то постоянна иугловая скорость  .

Такое движение называют «равномерным движениемматериальной точки по окружности». Следует помнить об условности этойтерминологии с учётом данного общего определения понятия равномерногодвижения. В этом случае справедливы соотношения:v  const ,   const ,  2 2 .T1.3.3. Угловое ускорение(Опр.) Для описания движения с изменяющейся угловойскоростью вводится понятие углового ускорения:  d 2   d или     2   (1.23)dtdtАналогично случаю линейных характеристик оно позволяетнаходить, изменение угловой скорости и угловое перемещение:t(t)    (t )dt,(1.24)0t    (t )dt.(1.25)01.4.

Ускорение при криволинейном движенииПрикриволинейномдвижениилинейнаяскоростьVобязательно изменяется хотя бы по направлению. Поэтомуускорение всегда отлично от нуля даже в «школьном» случае«равномерного движения по окружности» (т.е. при постоянствеугловой скорости). Если материальная точка движется попроизвольной кривой траектории можно утверждать, что векторускорения направлен всегда внутрь этой траектории. Его удобно*)Иногда это соотношение называют формулой Эйлера.- 21 -МеханикаVaразложить на две составляющие– вдоль вектора скорости (покасательной к траектории) и втраекторияmнормальном (т.е. перпендикуляр-aanном) направлении:Рис. 1.7Соответственнопервую  (1.26)a  a  an .Символом  принято обозначатьорт тангенциального (  V ), а n – нормального ( n  v ) направлений.составляющуюназываютa«тангенциальным», а вторую an – «нормальным» ускорением (см.рис.

Характеристики

Список файлов лекций