А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

, если эти силы консервативны (работапри перемещении тел системы «во внешних силовых полях»).2. При невыполнении условия «если» изменение механическойэнергии системы равно работе соответствующих сил:  = А(нк) !3. Может показаться, что вместо 3-х разных по степениограничений формулировок стоило бы привести всего одну последнюю– самую «всеохватывающую». Нет! Помимо сугубо методологическогозначения формулировок А и Б, как раз формулировкой Б и приходитсячаще всего пользоваться на практике. Дело в том, что работу внешнихсил далеко не всегда удаётся учесть как убыль потенциальной энергииво внешних силовых полях даже, когда эти силы мы привыкли считатьконсервативными.

Например, такая ситуация возникает, когда внешнийсиловой центр (заряженная частица или «тяготеющая масса») движутсяв выбранной инерциальной системе отсчёта.5.12. Итоговые замечания к разделу «Механика»Мы завершили изучение основных законов классическоймеханики. Всё остальное – это их практическое применение кконкретным системам – частные (хотя зачастую и очень важные!)случаи. Некоторые из них важны настолько, что при ихрассмотрении даже формулируют специальные правила–законы(так называемые «теории ad hoc» – т.е. «по случаю») вродезакона Архимеда, Гука, Бернулли и т.д.Законы сохранения были представлены нами, по существу,как теоремы классической механики, опираясь на законыНьютона.

Почему же их выделяют в самостоятельные законы?Назовём несколько причин.- 82 -§ 5. Законы сохранения в механикеа) Следует иметь в виду, что приведённые «доказательства»– это всего лишь проверка на согласованность с законамиНьютона. В действительности законы сохранения в механике –это частный случай более фундаментальных законов сохранения,которые «работают» даже тогда, когда законы Ньютона в тойформе, о которой мы до сих пор говорили, перестают работать.Законы сохранения – самостоятельные законы физики и притомболее общие, чем законы классической механики.

Например,импульсом обладают не только частицы, но и электромагнитныеволны. Энергией также обладают электромагнитные поля,понятие «энергия связи» молекул весьма актуально для химии, аэнергия связи нуклонов в ядрах атомов – для ядерной физики ифизики элементарных частиц. В микромире, где законыНьютоновой механики не применимы, выполняются, однако, всезаконы сохранения.б) Законы сохранения носят «интегральный» характер. То есть,зная состояние системы в начале процесса, и проконтролироваввыполнение определённых ограничений на силы, моменты сил илиих работу, можно предсказать состояние системы в конце процесса.Детали самого процесса могут быть очень сложными, но прояснять ихнет необходимости.

Это значительно упрощает поиск решения в рядепрактически важных случаев, а зачастую и просто являетсяединственной возможностью получить решение в аналитическойформе, не прибегая к использованию численных методов. Таковыслучаи различных быстропротекающих процессов – соударения,выстрелы, взрывы, взаимодействия элементарных частиц вускорителях. Но даже в случаях, когда характер сил не представляеттруда для анализа, использование законов сохранения зачастуюбывает единственной альтернативой. Например, динамическийподход к известной «задаче трёх тел» возможно реализовать лишь сприменением численных методов решения.- 83 -Механика§ 6.

Пример применения основных законовмеханики – гироскоп“Причудлив парадокса путь –с ним здравый смысл ты позабудь” –Уильям Гильберт (XVI век)6.1. Основные понятия(Опр.) Гироскопом называется симметричное твердоетело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии,которая может поворачиваться в пространствеПростейшим и всем знакомым гироскопом является юла, илидетский волчок (рис. 6.1). Все, даже самыеудивительные (на первый взгляд) свойстваMгироскопа находятся в соответствии иобъясняются основными законами механики.Рассмотрим далее приближённую теориюгироскопа.В основе теории гироскопа лежитуравнение моментов:Рис.

6.1dMN,dt(6.1)где N – суммарный момент сил, действующих на гироскоп, а M –момент импульса гироскопа. Важно помнить, что N и M должныбыть вычислены относительно одной и той же (произвольной)точки пространства. Для симметричного тела*), вращающегосявокруг его закреплённой оси, собственный момент импульсаравенM  I z  ,где Iz – момент инерции относительно оси вращения;  – угловаяскорость вращения. Векторы угловой скорости и моментаимпульса направлены вдоль оси вращения.*)Будем подразумевать под этим симметричное распределение массы тела относительно оси.- 84 -§ 6. Гироскоп6.2. Гироскопические эффекты1. Если на гироскоп не действуют внешние силы или ихсуммарный момент равен нулю, то такой гироскоп называютсвободным.

В соответствии с уравнением моментов (6.1) приN  0 момент импульса не меняется с течением времени( M  const ). А значит и угловая скорость такого гироскопаостаётся постоянной как по величине, так и по направлению. Врезультате свободный гироскоп сохраняет неизменным впространстве направление оси вращения. Это свойствоаналогично закону инерции: в отсутствии моментов внешних силвращающееся твёрдое тело сохраняет своё вращение скольугодно долго.

Для изменения направления, т.е. поворота оситребуются моменты сил, и тем большие, чем большесобственный момент импульса гироскопа.На устойчивости направления оси вращения гироскопаоснованы его многочисленные практические применения:нарезное оружие, навигационные приборы в авиации,космонавтике, в ракетной технике (гирокомпас, гирогоризонт),стабилизаторы положения тел в пространстве, гироскопическиеуспокоители качки и др.2. При действии внешних сил момент импульса гироскопаможет изменяться. При этом изменение момента импульсазависит как от момента внешних сил, так и от длительностивоздействия, ведь M  N  t .Здесь полезно рассмотреть два случая:а) Если внешняя сила действует в течение короткогопромежутка времени (как, например, при ударе или толчке) иNпроизведение  t мало, то изменение момента импульса такжебудет малым. При ударе направление оси гироскопа не уходитдалеко от своего исходного положения, а слегка дрожит,- 85 -Механикаоставаясь почти неизменным.

Дрожание оси гироскопа околопервоначального направления после кратковременного действиясилы называется нутацией.б)Придлительномдействиисилыосьгироскопаповорачивается в пространстве. Однако движение оси гироскопапроисходит не в сторону действия силы (как это было бы вотсутствии вращения гироскопа), а в перпендикулярномнаправлении. Если гироскоп находится под действиемпостоянного момента внешних сил, его ось медленноповорачивается вокруг направления действия силы.

Такоеповедение гироскопа называется регулярной прецессией, а онсамгироскопическим–маятником.Разберёмявлениепрецессии подробнее.Рассмотрим в качестве модели гироскоп, состоящий извращающегося маховика (ротора) и противовеса, закреплённогона оси гироскопа (рис. 6.2). Противовес обеспечивает равновесиеотносительно точки опоры О, находящейся под центром масссистемы.

Ось гироскопа может свободно поворачиваться вокругвертикальной оси, проходящей через точку О. Очевидно, силатяжести уравновешена реакцией опоры, и в отсутствии другихвнешних сил гироскоп можно считать свободным. Чтопроизойдет, если на ось гироскопа будет действоватьдополнительная постоянная внешняя сила F , например,создаваемая небольшим грузиком, подвешенным на некоторома) вид сбокуроторпротивовес  MON OРис. 6.2mg- 86 -б) вид сверхуM  dMr mgdMdM§ 6.

Гироскопрасстоянии от оси? Момент N этой силы относительно точкизакрепления О направлен горизонтально перпендикулярно силе иоси гироскопа (рис. 6.2). За малый интервал времени dtпроисходит малое изменение момента импульса на величинуdMdM . Исходя из уравнения моментов N , она равнаdtdM  N  dt .Здесь важно обратить внимание на то, что направлениевектора dM совпадает с направлением вектора момента силыN , а не самой силы F  mg . Другими словами изменениевектора момента импульса произойдёт в направлении,перпендикулярном вектору момента импульса.

Если учесть, чтомомент импульса направлен вдоль оси вращения, то осьгироскопа повернётся в горизонтальной плоскости вокругвертикальной оси, т.е. вокруг вектора силы F . Такое вращениеоси гироскопа и есть прецессия. При этом модуль собственногомомента импульса гироскопа Iz  не изменяется.Найдём угловую скорость прецессии  . За время dt осьгироскопа повернётся на угол d  . Поскольку угол мал, егорадианная мера равна тангенсу этого угла. Из рис. 6.2 видно, чтоd dM.MСледовательно, угловая скорость прецессии равнаddM.dt M  dtУчитывая уравнение моментов (6.1), легко получить в итогеNMилиN.Iz (6.2)Отсюда видно, что ось гироскопа поворачивается тембыстрее, чем больший момент сил вызывает это вращение. Этот- 87 -Механикарезультат согласуется с общими положениями динамики.

Сдругой стороны, чем больше собственный момент импульсагироскопа M = Iz  , тем медленнее будет происходить прецессия.Собственный момент импульса гироскопа определяет инертностьгироскопа, в данном случае –Регулярная прецессияустойчивость по отношению квнешнему воздействию.Учитывая векторный характерN величин , M и N , а такжеO направления этих векторов (рис.MРис. 6.36.3),равенство(6.3)полезнозаписать также и в векторном виде: N  [, M ] .Дополнительныйанализ(6.4)гироскопическихэффектовпроводится с учётом третьего закона Ньютона. Если какое-либотело извне действует на ось гироскопа, вызывая его прецессию,то со стороны оси на это тело действует такая же по величине, нопротивоположнопротиводействиянаправленнаясосторонысила.Такиепрецессирующегосилыгироскопапринято называть гироскопическими силами.

Характеристики

Список файлов лекций