А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Этот элемент перпендикулярен радиус-вектору r ,проведённому от заряда к элементу поверхности. Подставимтеперь сюда выражение для напряжённости поля точечногозаряда (7.5):1qE(r )  dS  2  dS .4πε0 r+qE 0q+rrdSEа)dS dSE  0nРис. 8.6dEб)- 109 -Электричество и магнетизмТеперь необходимо привлечь дополнительные сведения изматематики: отношениеdS является мерой телесного угла dΩ,r2опирающегося на малый элемент сферической поверхностирадиуса r с площадьюdS (рис.

8.6,б). Таким образом,выражение для искомого потока вектора напряжённости можнопереписать в виде: q d . E   En dS   4πε0Выражение под знаком интеграла, очевидно, постояннаявеличина, а телесный угол при обходе всей замкнутойповерхности, охватывающей точечный заряд, изменяется впределах от 0 до 4π. Учитывая это, приходим к уже знакомомурезультату:q 41E   d   q .4πε0 00Убедившись в том, что опора на свойства силовых линий(«поток пропорционален числу силовых линий …») приводит кправильному результату, в обосновании дальнейших шаговдоказательства будем использовать именно этот подход. в) замкнутая поверхность произвольной формы охватываетодин точечный заряд.Из рис.

8.7 видно, что числосиловых линий «истекающих» черезповерхность  наружу (напомним, что+q+мы выбрали случай положительногозаряда) не изменяется даже в случаесамыхпричудливых,например,E Рис. 0 8.7«складчатых» замкнутых поверхностей,охватывающих точечный заряд. Несмотря на то, что в последнемслучаесиловаялинияможет- 110 -пересекатьповерхность§ 8. Теорема Гауссанесколько раз, её итоговый «вклад» всегда равен «+1».Проследите по рисунку, что число «выходов» всегда на единицупревышает число «входов».

Таким образом, и в этом случаепоток пропорционален заряду q внутри поверхности . г) один точечный заряд находитсяповерхности произвольной формы.внезамкнутойОбратимся теперь к рисунку 8.8. Для каждой силовой линиичислоеёпересеченийсзамкнутойповерхностью  всегда чётно – числоE 0пересечений «внутрь» всегда равно числу«выходов наружу». Поэтому заряд q,+q+находящийся вне замкнутой поверхности не создаёт дополнительного потока черезРис. 8.8эту поверхность.Применим полученные результаты к самому общему случаю. д) система N точечных зарядов q1, q2, ..., qi, ..., qN (илипротяжённых заряжённых тел*)) находящихся как внутри, так ивне замкнутой поверхности  произвольной формы.Для каждого точечного заряда qi расположенного внутриповерхности  доказано, что создаваемый им поток череззамкнутую поверхность равен Еi =10 qi .В то же время, любой из зарядов qk «снаружи» потока несоздаёт.Ранеесуперпозициимыобосновалидляпотоковсправедливостьвекторапринципанапряжённостиэлектростатического поля*)Как обычно, такие тела можно разбить на малые элементы, которые можно считать точечнымизарядами.- 111 -Электричество и магнетизмN Е    Еi .i 1С учётом этого мы и можем утверждать, что полный поток черезповерхностьравеналгебраическойсуммезарядоввнутриповерхности:NNi 1i 1  0  Еi = 1N qi ;или  Е  1i 1  0 qi .Что и требовалось доказать! Замечания1.

С чисто «технической» точки зрения вид аналитическойзаписи утверждения теоремы Гаусса несколько меняется, еслисреди заряженных тел внутри замкнутой поверхности естьпротяжённые (т.е. не только точечные заряды). Например, зарядраспределён вдоль тел одномерных (нити, проволоки, …),двумерных (поверхности тел), трёхмерных (по всему объёмутела).Зарядможетбытьзначительнымобластям«алгебраическуюсуммупространства,поцелымЧтобынайти«рассредоточен»пространства.зарядов,ограниченнойрасположенныхзамкнутойвобластиповерхностью»придётся прибегнуть к процедуре интегрирования. В правой частивместосуммыпоявитсясоответствующийинтеграл–криволинейный, поверхностный или объёмный: En dS =Σ1   dl ;ε0 L En dS =Σ1   dS ;ε0 * En dS =Σ1   dV .ε0 *Здесь ,  и  – уже знакомые нам (см.

с. 102, 103) линейная,поверхностная и объёмная плотности заряда соответственно, а- 112 -§ 8. Теорема Гаусса“L”, “*” и “*” – тела (области пространства), по которымраспределён заряд (одномерные, двумерные и трёхмерные) *).2. Ещё раз подчеркнём, что утверждение теоремы Гауссаесть следствие закона Кулона (а именно центрального характерасилы электростатического взаимодействия, и зависимости  1/r2от расстояния), а также принципа суперпозиции напряжённостей.8.3. Применение теоремы для расчёта напряжённостиэлектрического поля протяжённых заряженных телРанеемыотмечали,чторасчётнапряжённостиэлектрического поля по заданному распределению заряженныхчастицителвпространствеможетбытьпроведёнсиспользованием принципа суперпозиции электрических полей(«первый способ» – «непосредственно») принципиально всегда.

Ана практике зачастую мы сталкиваемся с «техническими»трудностями при попытках получить результат аналитическидаже в простейших на первый взгляд ситуациях распределениязарядов-источников поля в пространстве. Так, например, длярешения «задачи Ньютона» о поле однородного шара (случайгравитационногополя)дифференциальногоииспользованиеинтегральногоисчисленияаппарата«влоб»заводит в тяжёлые математические «дебри». С некоторымизадачами подобного рода (поле заряженного стержня, диска, …)вы сталкиваетесь на семинарах и занятиях в практикуме.Напротив,использованиетеоремыГауссапозволяетсущественно упростить «техническую» сторону дела при расчётеэлектрического поля, если только имеет место определённаяДополнительный символ «*» в обозначениях * и * нам понадобился, чтобы подчеркнуть –интегрирование ведётся не по «замкнутой поверхности»  и «ограниченной ею областипространства» , которые фигурируют в формулировке теоремы, а по заряженным телам (или ихчасти), оказавшимся внутри этой поверхности (и в этой области пространства).*)- 113 -Электричество и магнетизмсимметрия в пространственном распределении заряда – плоская,осеваяилисферическая.Наличиесимметрииявляетсяпринципиальным моментом, она позволяет сделать заключение оструктуре поля «априори» – т.е.

ещё до применения каких-либотеорем. Вот тогда и можно выбрать замкнутую поверхность ,фигурирующую в формулировке теоремы Гаусса так, чтобымаксимальноупроститьрасчётповерхностногоинтеграла(потока). Части этой поверхности должны быть расположены поотношению к вектору напряжённостилибо перпендикулярно(cos = 1), либо параллельно (cos = 0). Модуль векторанапряжённости должен быть постоянным для части поверхностипервого «типа». В такой ситуации поверхностный интеграл влевой части равенства (8.4) (поток вектора напряжённости), легкоEсводится к произведению модуля векторана площадь части(или всей) поверхности, для которой рассчитывается поток.После этого остаётся только аккуратно «посчитать» заряд,оказавшийся охваченным замкнутой поверхностью, для которойбыл «рассчитан» поток.Покажем, как всё это выглядит на практике на двух простыхпримерах – как и ранее (когда мы обсуждали «первый способ»)наша задача продемонстрировать метод, а тренироваться в егоприменении, в том числе и для более сложных случаев вампредстоит на семинарах и занятиях в практикуме.

(Кроме того,некоторые такие примеры разобраны и в нашем учебном пособиидля семинарских занятий).Пример 1. Решим «задачу Ньютона»*) – докажем, что поле внеравномерно заряженного по всему объёму шара (диэлектрического) ничем неотличается от поля точечного заряда q на расстояниях r больших, чемрадиус этого шара R.*)Мы уже отмечали, что Ньютон решал такую задачу применительно к гравитационному полю.- 114 -§ 8.

Теорема ГауссаОпределим также и напряжённость поля E (r ) в произвольнойточке внутри шара (r ≤ R). Будем считать при этом, что заряд qвнутри шара распределён с постоянной объёмной плотностью ,материал шара имеет диэлектрическую проницаемость .На этом и следующем простых примерах продемонстрируемподробно все основные шаги решения задач о нахождениинапряжённости электрического поля с использованием теоремыГаусса («второй способ»). 1.Сделатьсхематическийрисунок,иллюстрирующийраспределение заряда в пространстве. Указать на нёмнеобходимые параметры задачи – в данном случае – радиусшара R, характеристику распределённого заряда – егоплотность , диэлектрическую проницаемость среды .Ввестиподходящуюсистемукоординат(исходяизсимметрии распределения заряда), указав на рисункекоординатные оси (как правило, достаточно всего одной) иначало отсчёта.В нашем примере: Заряд распределён равномерно по всейобласти шара – объёмная плотность заряда есть функция толькорасстояния от центра шара r и не зависит от направления впространстве.

Характеристики

Список файлов лекций