А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Опять обращаем внимание –боковые поверхности цилиндров 1 и 2 не совпадают с боковойповерхностью заряженного стержня. Только в этом случае,- 122 -§ 8. Теорема ГауссаприменивтеоремуГаусса,мыполучим функцию E (r ) для любыхnоснзначений r. Каждая из поверхностей1 и 2 состоит на этот раз в своюhnочередь из двух частей – боковойповерхностибокидолжныуказатьнапряжённости и векторы нормали nЭлементынадовыбрать2n0векторынаrn dS, произвольных расстояниях от оси1nE (r )1dSмалых элементов поверхности. E (r )(или d S ) опять-таки для тех же самыхповерхностиоснований осн.

На рисунке 8.10,б мыE (r )rnстержня для обеих использующихсяповерхностей (1 и 2) причём как набоковойповерхности,такиРис. 8.10,бнаповерхности оснований.4. Процедура «вычисления» поверхностного интеграла вида En dS (т.е. потока) ничем не отличается для случаев 1 и 2.ΣПоэтому индексы «1» и «2» в обозначениях мы указывать небудем.

Разобьём его на две части – по боковой поверхности и поповерхности оснований:Ф Е   En dS   En dS   En dS . бок оснУчтём прежде всего, что на поверхности оснований цилиндравекторы E и n взаимно перпендикулярны (см. рис. 8.10,б), поэтомуподынтегральное выражение равно нулю для любого малогоэлемента этой поверхности (Еn = 0). Значит и весь интеграл- 123 -Электричество и магнетизм En dS не даёт никакого вклада в поток через поверхность . На оснбоковой поверхности бок векторы E и n сонаправлены, поэтомуЕndS = Е(r)dS.

Модуль напряжённости Е(r) постоянен на боковойповерхности цилиндра. Его можно вынести за знак интеграла: En dS  Е (r )   dS  Е (r )  S бок . бокИнтеграл бок dS есть площадь поверхности интегрирования бок, бокт.е. для боковой поверхности цилиндра равен – 2 r h. В итогеполучаем окончательно результат «вычисления» потока череззамкнутую поверхность : E   En dS  Е (r )   dS  Е (r )  S бок  Е (r )  2 r  h . бок бокТаким образом, поверхностный интеграл удалось представить ввиде произведения скалярных величин. По внешнему виду онвыглядитсовершенноодинаковокакдляповерхности1(охватывающей часть стержня снаружи), так и для поверхности 2(расположенной внутри стержня):ФЕ = E(r)2 r h .Разница здесь опять лишь в принадлежности r к определённомудиапазону значений радиуса: r > R и r < R для 1 и 2соответственно.5.

Отличие для поверхностей 1 и 2 обнаруживается ввеличине охваченного ими заряда:а) В первом случае (r > R) поверхность 1 охватывает весьзаряд участка стержня длины h. При постоянной объёмнойплотности заряда  получаем:q1     R 2  h .(  R 2  h – объём прямого кругового цилиндра высоты h).- 124 -§ 8. Теорема Гауссаб) Цилиндрическая поверхность 2 имеет радиус r меньший,чем у стержня, и охватывает лишь часть заряда распределённоговнутри участка стержня высоты h. Этот заряд равенq2     r 2  h .6. Теперь можно записать два равенства в соответствии сутверждением теоремы Гаусса.1а) Для поверхности 1:E (r )  2 r  h    R2  h .0Делаем вывод, что вне стержня напряжённость поляменяется по закону:E( вне )1 R 2,(r ) 2 0 rпри r > R (поле вне стержня).Итак, вне стержня поле имеет радиальное направление иубывает обратно пропорционально расстоянию от осизаряженного стержня.б) Для поверхности 2:E (r )  2 r  h , 0ERE ( R) 2 01 0*)   r 2  h .Откудаполучаем,чтонапряжённость поля внутристержня меняется по закону:E ( внутри) (r ) r,2 0при r ≤ R(поле внутри стержня).Внутри стержня напряжённостьполя линейно растёт по мереrr0удаления от его оси.

ПолученныеРис. 8.11результаты проиллюстрируем,как обычно, графически – см. рис. 8.11.*)Здесь мы также учли ослабление поля в диэлектрике в  раз по сравнению с полем в вакууме.- 125 -Электричество и магнетизм В заключение этого параграфа отметим, что ключевыммоментомвпроведённыхрешенияхявлялсяпереходотповерхностного интеграла  E n dS , представляющего собой вобщем случае весьма сложную с математической точки зренияконструкцию, к произведению скалярных величин вида ЕS. Такойпереход возможен только при наличии одного из трёх видовсимметрии распределения заряда в пространстве – сферической,осевой(«аксиальной»)или(«билатеральной»плоскойили«зеркальной»)*). При произвольной форме заряженного телаединственнорасчётавозможнымнапряжённости,остаётсялишьоснованныйна«первый»способнепосредственномприменении принципа суперпозиции электрических полей, или еёэкспериментальное измерение.*)Применение теоремы Гаусса для случая «плоской» симметрии мы ещё затронем на примеревычисления поля внутри плоского конденсатора.- 126 -§ 9.

Работа. Разность потенциалов§ 9. Работа в электростатическом поле9.1. Разность потенциалов. ПотенциалВпредыдущемпараграфемыобсуждалиосновнуюхарактеристику электрического поля – его напряжённость. Какследует из самого определения – это силовая характеристика, азначит векторная. В ряде случаев более удобными являютсяскалярные характеристики, которые, оказывается, тоже можноввести для электростатического поля – разность потенциалов ипотенциал.Прифундаментальноеэтоммысвойствобудемсил,опиратьсядействующихнанаважноезарядвэлектростатическом поле – их консервативность.Напомним, что консервативными называются силы, работакоторых не зависит от формы траектории движения тела.

Работатаких сил определяется лишь координатами начальной и конечнойточекперемещения.Опираясьнанашизнаниясвойствэлектростатического поля, созданного произвольной системойзарядов, можно было бы провести подробное доказательстворавенства работ при движении заряда между любыми двумя еготочками. Но мы несколько сократим эту процедуру, вспомнивтеорему о консервативности центральных сил, доказанную нами вразделе механика.Неподвижный точечный заряд является источником поляцентральных сил – это прямо следует из формулировки основногозаконаэлектростатики–законаКулона.Изпринципасуперпозиции электрических полей следует, что работа приперемещении пробного заряда в поле любой системы покоящихсязарядов является алгебраической суммой работ в поле каждого иззарядов в отдельности. А значит поле таких сил («кулоновских- 127 -Электричество и магнетизмсил»*)) также является полем сил консервативных.

Это итребовалось доказать.поля **)Таким образом, работа сил электростатического поля А12по перемещению точечного (пробного) заряда между двумяточками характеризует это поле. Но она зависит и от величиныпробного заряда qпр. Об этом говорит опыт, но это понятно и,исходя из наших знаний о кулоновских силах. Ведь онипропорциональны заряду qпр в каждой точке траектории 12(исходя из закона Кулона), а работа пропорциональна силе.

Чтобыохарактеризовать поле и только поле, нужно поделить работу навеличину пробного заряда. То, что получится и есть «разностьпотенциалов». Приведём определение этого важного понятия:(Опр.) Разностью потенциалов между точкамиэлектростатического поля 1 и 2 называется отношениеработы поля по перемещению пробного заряда из точки 1в точку 2 к величине этого заряда:поляА121   2 qпрВсистемеСИединицаизмерения(9.1)разностипотенциаловназывается 1 вольт (1 В = 1 Дж/Кл). Если мы научимся какимлибо образом определять разность потенциалов 1–2 для полясистемыпокоящихсязарядов(теоретическиилиэкспериментально), то это позволит находить работу поля поперемещению любого точечного заряда q в этом поле:поляА12 q  (1   2 ) .(9.2)*)В дальнейшем мы для краткости нередко будем прибегать к такому жаргону вместо того, чтобыкаждый раз подробно писать: «силы, действующие в электростатическом поле».**)поляОпять-таки для большей компактности мы часто будем вместо обозначения А1 2 использоватьпросто А12 .- 128 -§ 9.

Работа. Разность потенциаловТакимобразом,характеристикаразностьпотенциаловэлектрическогополя,этоэнергетическаяпосколькусвязананепосредственно с понятием работы.В механике мы вводили для консервативных сил (сейчас мы,скажем: «полей консервативных сил») понятие потенциальнаяэнергия. При этом мы руководствовались следующим принципом:работасилполяравнаубылипотенциальнойэнергии.Формализуем этот принцип в аналитической записи:поляА12 " убыль U", илиполяА12 U   (U 2  U1 ) . (9.3)Здесь U1 и U2 – потенциальная энергия в «начальном» («1») и«конечном»(«2»)состоянияхсистемы,соответственно.Вобсуждаемом случае поля системы неподвижных зарядов – этоэнергия точечного заряда q в положении «1» (с координатами{x1,y1,z1}) и положении «2» (с координатами {x2,y2,z2}) вэлектростатическом поле.

Т.е. потенциальная энергия заряда вэтом поле – скалярная функция координат точек поля U = U(x,y,z)(или U  U ( r ) ). Сравнивая (9.2) и (9.3), видим – удобно считать,что разность потенциалов представляет собой разность значенийещё одной скалярной функции координат точек поля (x,y,z). Онасвязана с функцией U(x,y,z) (потенциальной энергией) простымсоотношением: U(x,y,z) = q(x,y,z). Или, посколькуU( x, y, z ) ( x, y, z ) q U(r ) или  (r )  q  ,(9.4)говорят, что она «численно равна потенциальной энергииединичного положительного заряда» в данной точке поля.

Иназываетсяэтавеличина«потенциал»электростатического поля.- 129 -даннойточкиЭлектричество и магнетизмСамое важное заключается в том, как найти эту функцию (r )а значит и U(r)для поля конкретной системы зарядов?Какова последовательность действий?Прежде всего, придётся договоритьсяобусловияхнормировки*): надо выбрать точку Р0, в которой потенциал полябудем полагать равным нулю  ( Р0 )  0. Во многих случаяхтакую точку выбирают бесконечно удалённой, там где полеотсутствует  ()  0 **).

Для этого надо найти «удельную» работуполя – т.е. работу, отнесённую к величине переносимогопробного заряда (или, как нередко говорят, «по перемещениюединичного положительного» заряда) из данной точки поляР(x,y,z) в точку нормировки Р0. В аналитической форме этоопределение потенциала можно записать так: P ( x, y , z ) (Опр.)АРполяР0q0(9.5)Нельзя ли выразить вновь введённые нами величины –разностьпотенциаловипотенциалчерезсиловуюхарактеристику, которую мы уже научились рассчитывать позаданному расположению зарядов в пространстве? Конечноможно.

Характеристики

Список файлов лекций