А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Причём (r) = const при r ≤ R и (r) = 0 при r > R.Нетрудно предположить, что адекватным выбором для такойситуации будет сферическая система координат. Более того,поскольку нет никакого «привилегированного» пространственногонаправления, полярные углы нам вовсе не, 0RРис. 8.9,аrпонадобятся, и на рисунке достаточно указатьлишь начало координат (очевидно, совместивего с центром шара) и полярную ось с- 115 -Электричество и магнетизмнеобходимойдлядальнейшегоанализакоординатойr–расстояние от центра (см. рис. 8.9,а). 2. Проанализировать структуру поля.

Основываясь наконкретной симметрии пространственного распределениязаряда,сделатьвыводонаправлениивекторанапряжённости в произвольной точке пространства внеобласти распределения заряда и внутри неё. Сделатьзаключение о том, от каких пространственных координатможет зависеть модуль этого вектора, а от каких нет. Нарисунке должны появиться векторы E , имеющие начало всоответствующих точках пространства. В нашем примере: Наши знания свойств электрического поляотдельных точечных зарядов и принципа суперпозиции позволяютутверждать, что не только пространственное распределениезаряда, но и его электрическое поле имеют радиальнуюсимметрию. В любой точке пространства, как вне шара, так ивнутри него вектор напряжённости направлен строго по радиусу(от центра, если заряд шара положителен и к центру, еслиотрицателен).

Модуль напряжённости, вероятно, зависит отрасстояния r, но никак не от направления. Поэтому сразу введёмобозначение E (r ) . Обратите внимание: в скобках именно модульr – расстояние, т.е. число, а не2n0E (r ) n E (r )rвектор! На рисунке 8.9,б выберем двепроизвольные точки вне и внутришара соответственно и укажем дляних векторы напряжённости.1 Рис.

8.9,б 3. На основании проведённоговыше анализа структуры поля выбрать замкнутую поверхность (поверхности) для применения теоремы Гаусса. Как мы ужеотмечали, часть этой поверхности (или вся поверхность)- 116 -§ 8. Теорема Гауссадолжна быть расположена по отношению к векторунапряжённости перпендикулярно, а другая часть параллельно.Модуль вектора напряжённости должен быть постоянным длячастей поверхности первого «типа».

На рисунке должныпоявиться векторы n (или d S , они ведь сонаправлены) нормалик тем же самым малым элементам поверхности, длякоторых ранее уже были указаны и векторы E !В нашем примере:Исходя из проведённого анализа,выберем на рис. 8.9,б две замкнутые поверхности 1 и 2 –сферы с центром, совпадающим с центром шара и с радиусами r> R и r < R соответственно.

Две разные поверхности нужны,чтобы найти напряжённость поля как в области пространствавне, так и внутри шара. Обратите внимание – выбраннаяповерхность не должна совпадать с поверхностью заряженногошара и вообще иметь какой-либо определённый радиус (в данномслучае R). Ведь наша задача получить функцию E (r ) , а не одноконкретноезначениенапряжённостидляодногокакого-тоизбранного значения r! Укажем на рисунке непосредственно рядомс нарисованными ранее векторами напряжённости векторынормали n (или d S ) для тех же самых малых элементовповерхности dS (их выбор, как мы помним, был произволен какна поверхности 1, так и 2).

Это важно, так как при вычисленииповерхностного интеграла, мы, по сути, суммируем скалярныепроизведения EndS, «перебирая» последовательно все такиемалые элементы на поверхностях 1 и 2 соответственно. 4. Теперь надо «рассчитать» поток вектора напряжённостичерез поверхность , т.е. свести поверхностный интеграл- 117 -Электричество и магнетизмEкпроизведениюмодулявекторана площадь частиEdS nΣ(или всей) поверхности .В нашем примере: Всё готово для «вычисления» потока –поверхностного интеграла вида  E n dS .

Отметим, прежде всего,Σчто в данном случае векторы E и n совпадают по направлению.Это сразу же позволяет перейти от величины En (проекция нанаправлениенормали)подзнакоминтегралакмодулюнапряжённости. Вспомним, кроме того, что эта величина естьфункция только расстояния r и отметим это в обозначении этойвеличины – E(r). Для сферической поверхности радиус r,очевидно, величина постоянная, а значит и сама величина E(r)также константа. Её можно вынести за знак интеграла: En dS   E (r )dS  E (r )   dS .ΣΣ*)ΣОставшийся поверхностный интеграл – аналитическая записьматематически точного определения площади поверхности .

Внашем примере обе выбранные поверхности 1 и 2 – сферы, ихплощадь равна 4πr2. Получаем окончательно для потока векторанапряжённости:2 En dS  E (r )  4 r .ΣВид этого результата ничем не отличается для поверхностей 1 и2 – разница состоит лишь в принадлежности к определённомудиапазону значений радиуса r > R и r < R соответственно.Мы сознательно опускаем индексы «1» и «2» в обозначении поверхностей 1 и 2, чтобы незагромождать запись.*)- 118 -§ 8.

Теорема Гаусса 5. Далее следует рассчитать заряд, оказавшийся охваченнымзамкнутой поверхностью , для которой был «рассчитан»поток.В нашем примере:Вот здесь запись результата будетотличаться для случаев поверхностей 1 и 2. А именно, впервом случае внутри поверхности оказывается весь зарядшара. Он равен произведению постоянной объёмной плотностизаряда  на объём шара радиуса R:Поверхность 24q     R3 .3имеет радиус r меньший, чем у шара, иохватывает лишь часть заряда распределённого внутри него.Этот заряд равен4q2     r 3 .3* Если заряд внутри заряженной области пространства распределён неравномерно,при вычислении заряда охваченного поверхностью  придётся выполнитьинтегрирование:q2    (r ) dV .Здесь  (r ) – функция координат для объёмной плотности заряда, характеризующаяпространственное распределение заряда,  – область пространства, ограниченнаязамкнутой поверхностью .

Пример подобного расчёта можно посмотреть, вчастности, в нашем пособии для семинарских занятий (см. задание 6.5). 6. И, наконец, остаётся записать равенство, соответствующееутверждению теоремы Гаусса. Из этого равенства уже легкосделать заключение о значении напряжённости винтересующей нас области пространства (направлениевектора, как мы помним, было определено ещё на начальнойстадии решения задачи в п. 2. Отметим, что посколькуповерхность включала в себя точки, расположенные напроизвольном расстоянии от заряженных тел, полученный- 119 -Электричество и магнетизмрезультат будет представлять собой, по сути дела, функциюсоответствующих координат точек пространства и обладатьбольшой общностью.В нашем примере:Пришло время «пожинать плоды».Запишем два равенства отвечающие утверждению теоремыГаусса.а) Для поверхности 1: E (r )  4 r 2 14    R3 .03Отсюда делаем вывод, что напряжённость поля вне шараменяется по закону:E( вне )1 R3,(r ) 3 0 r 2при r > R (поле вне шара).Чтобы включить информацию о направлении напряжённости,надо перейти к векторной форме записи результата.

Учтём,43кроме того, что произведение    R 3 равно полному зарядушара q:E ( в не) (r ) q r  , при r > R (поле вне шара).40 r 2 r1Мы доказали тем самым, что поле вне равномерно заряженногопо всему объёму шара такое же, как и поле точечного заряда нарасстояниях r больших, чем радиус этого шара R. Оно имеетрадиальное направление и убывает обратно пропорциональноквадрату расстояния от центра сосредоточения заряда.б) Для поверхности 2:E (r )  4 r 2 14*)   r3 . 03Отсюда делаем вывод, что напряжённость поля внутри шараменяется по закону:Здесь мы учитываем, что поле в однородном изотропном диэлектрике в  раз меньше, чем поле ввакууме.*)- 120 -§ 8.

Теорема ГауссаE ( внутри) (r )  r , при r ≤ R (поле внутри шара).3 0Или в векторной форме: E ( внутри) (r )  r , при r ≤ R (поле внутри шара).3 0Как видим, напряжённость поля внутри шара по мере удаления отего центра нарастает по линейному закону.Вот так детально мы проследили на этом простом примере всеэтапы решения задачи с применением теоремы Гаусса длянахождения напряжённости электрического поля пространственнораспределённой системы зарядов.На начальной стадии обучения постарайтесь точно иподробно воспроизводить все пункты этой «инструкции поприменению»теоремынеобходимыхнавыковГаусса.можноАбудетпослеприобретениядействоватьипо«сокращённой программе», получая необходимый результатвесьма компактно – «в одну строчку». Конечно, вся необходимаяцепочка рассуждений и анализ должны быть при этом проведены«в уме», и «готовы к предъявлению» по первому требованию.Пример 2. Определим напряжённость электрического поля E (r )бесконечного цилиндрического стержня радиуса R a) внутри и б) внеэтого стержня.

Пусть заряд распределён внутри стержня равномерно собъёмной плотностью ; r – расстояние от оси цилиндра,диэлектрическая проницаемость материала стержня равна .1. Рисунок к данной задаче мы приведём несколько позже,после анализа структуры поля и выбора поверхностей 1 и 2.2. Распределение заряда на этот раз имеет т.н.

«аксиальную»(относительно оси) симметрию. Такая симметрия диктует исоответствующую структуру электрического поля – на рисунке 8.10,апунктиром изображены силовые линии этого поля в одной изплоскостей перпендикулярной оси стержня. Они представляют- 121 -Электричество и магнетизмE (r )E (r ), 0rnE (r ), E (r )rnРис. 8.10,асобой осесимметричную системурадиально расходящихся во всестороны лучей (для определённостибудемсчитатьзарядстержняположительным). В любой точкепространства (как вне стержня, так ивнутри него) вектор напряжённостиперпендикулярен оси стержня инаправлен вдоль одного из такихлучей (т.е. радиально).

Модульнапряжённости, как и в предыдущемпримере,можетзависетьотрасстояния от оси стержня r, но никакне от азимутального направления. Нарисункемыотметимэтовобозначении E (r ) (опять-таки вскобках именно модуль r).3. Критериям выбора замкнутойповерхности  (на части поверхности вектор E должен совпадать снаправлением нормали и быть постоянным по модулю, а наоставшейся части перпендикулярным к ней) удовлетворяет на этотраз поверхность прямого кругового цилиндра, коаксиального состержнем. Высота цилиндра выбирается произвольно, обозначимеё h. Чтобы найти поле вне и внутри стержня нам опятьпонадобятся две замкнутые поверхности  – 1 и 2. Разница междуними лишь в том, что радиус первого r > R , а второго r < R (крометого, ради сугубо визуального эффекта мы выбрали для нихзаметно отличающуюся высоту h).

Характеристики

Список файлов лекций