А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Мы и в дальнейшем будемпридерживаться таких обозначений. Обозначения же «l», «S» и «V»мы сохраняем за длиной, площадью и объёмом (это числа!) этихобъектов.- 102 -§ 8. Теорема Гаусса§ 8. Теорема ГауссаВ предыдущем пункте мы говорили о первом способе расчётанапряжённости,опирающемсянепосредственнонапринципсуперпозиции электростатических полей. Оказывается, однако,что из закона Кулона и принципа суперпозиции можно вывестимощную теорему-следствие, которая существенно упрощаетрешение задач о нахождении вектора Е для электрическихполей,созданныхпротяжёнными(«билатеральной»),аксиальнойтеламисплоскойи(«цилиндрической»)сферической симметрией распределения заряда. Прежде, чемсформулировать и доказать эту теорему – теорему Гаусса*), нампонадобитсяввестихарактеризующуюещёоднуэлектрическоеполезнуюполе–величину,потоквекторанапряжённости.8.1.

Поток вектора напряжённостиПрежде,чемговоритьопотокечерезпроизвольнуюповерхность  введём понятие элементарного потока. Разобьёмвсю поверхность на малые элементы и каждому сопоставимвектор d S (см. рис. 8.1 и 8.2). Модуль такого вектора равенплощади элемента поверхности dS , а направленон по нормали n к нему (понятно, что следуетдоговориться также о выборе «положительной»dS Enнормали).(Опр.)Элементарным потоком dФ вектораЕ через элемент поверхности d S называетсявеличина:*)Рис.

8.1Математики формулируют более общую теорему «Остроградского-Гаусса» для векторных полейопределённого сорта. Заметим, что М.В. Остроградский – один из учителей Д.И. Менделеева.- 103 -Электричество и магнетизмdSnEdФЕ = EndS,(8.1)где En – проекция вектора Е на nnположительную нормаль nэлементу поверхности d S .nкИз определения видно, чтоэлементарныйпоток–этопопросту скалярное произведениеdSEвекторови. ПоэтомуРис. 8.2можно пользоваться также и другими математическими формамизаписи этой величины: ( E, dS )  E  dS  cos  En  dS .*)Теперь легко дать определение полного потока (или простопотока) для векторного поля E через произвольную поверхность – по сути это просто сумма элементарных потоков через всеотдельные элементы этой поверхности (см.

рис. 8.2). Посколькуэлементы поверхности предполагаются «физически бесконечномалых» размеров, то и суммировать придётся бесконечно многослагаемых. Математическая «цена» такого предельного перехода– интегрирование по поверхности :(Опр.) E   En dS(8.2) Сделаем два замечания о понятии «поток векторанапряжённости»1. Если соблюдено условие – густота силовых линийпропорциональна модулю напряжённости поля, то справедливо иследующее важное утверждение: поток вектора напряжённостичерез данную поверхность пропорционален числу силовых линийпроходящих сквозь неё. Этим мы воспользуемся впоследствиипри доказательстве теоремы Гаусса.*)В дальнейшем мы, чаще всего, будем пользоваться именно этой последней формой записи.- 104 -§ 8.

Теорема ГауссаТолько придётся сделать ещё одну важную оговорку: посколькупоток «величина алгебраическая», т.е. может иметь разный знак взависимости от направления, в котором силовые линии пересекаютповерхность(знакаскалярногопроизведенияилиEndSсоответствующей суммы), договоримся и «число линий» считать сучётом этого направления. Договоримся также, при этом, для замкнутыхповерхностей положительными считать нормали n , смотрящие вовне.Тогда линия «выходящая» изнутри наружу даёт вклад «+1», а«входящая» снаружи вовнутрь – «-1» в общее «число силовых линий,пересекающих поверхность»!2. Принцип суперпозиции для потоковПусть поток вектора напряжённости (для краткости просто«поток») через некоторую поверхность  создаёт система Nточечных зарядов qi (заряженных частиц): q1, q2, ..., qi, ..., qN.Покажем,чтополныйалгебраическойсуммепотокЕпотоковравенЕi,вэтомслучаесоздаваемыхкаждойчастицей в отдельности.

Полный поток для поля всех заряженныхчастиц можно вычислить так: Е   En (r )dS.En (r ) в местерасположения каждого из малых элементов d S поверхности *),Нормальнаякомпонентанапряжённостипо которым ведётся интегрирование (суммирование!), может бытьзаписана как сумма напряжённостей от каждого из N зарядовисточников поля по принципу суперпозиции напряжённостей:NEn (r ) =  Eni (r ) ,i=1*)Положение каждого малого элемента задано радиус–вектором r .- 105 -Электричество и магнетизмEiт.е. сумме проекций напряжённостейEiq1полей от каждого из зарядов вданной точке поверхности (см. рис.

8.3).Поменяем теперь местами операцииинтегрирования и суммирования:N NE(r)dSE(r)dSЕniniРис. 8.3.i=1i=1Величина в квадратных скобках  Eni (r )dS – это не что иное, какqiq2поток вектора напряжённости поля, создаваемого каждым из Nзарядов через поверхность , т.е. Еi.

Мы приходим к важномувыводу, что поток вектора напряжённости поля системызарядов равен алгебраической сумме потоков каждого из зарядовпо отдельности:N Е    Еi(8.3)i 1Мы также используем этот результат при обосновании утверждениятеоремы Гаусса.3*. Понятие потока используется при описании электрического, магнитного и другихвекторных полей. А появилось впервые оно в гидродинамике (формула Пуазейля), иимело при этом весьма прозрачный физический смысл. Ведь просуммированное поповерхности поперечного сечения трубы произведение Vn·dS даёт объём жидкости (илигаза) переносимой через это сечение трубы в единицу времени: v   Vn dS ,(8.4)Это и есть «поток» векторного стационарного поля скоростей V = V (x,y,z) элементовжидкости.Как видим, для потока других векторных полей (электрического E,магнитного B) математическая конструкция сохраняется.

Они определяют важныесвойства этих полей. Название сохранено, однако никакого переноса вещества впространстве не происходит.- 106 -§ 8. Теорема Гаусса8.2. Теорема ГауссаСформулируем теорему. Поток вектора напряжённости электростатического поляФЕ в вакууме через любую замкнутую поверхность  пропорционаленсуммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности1Коэффициент пропорциональности в системе СИ равен:ε0Е =1 N qi .ε 0 i=1(8.5)С учётом определения потока вектора напряжённости, можноаналитической записи утверждения теоремы Гаусса (8.5) придатьтакой вид: En dS =Σ1 N qi ,ε0 i=1(8.6)где N – число частиц или тел с зарядами qi в области пространства, охваченной замкнутой поверхностью . Замкнутая поверхностьвсегда ограничивает конечную область пространства! (символ “○”у интеграла как раз и напоминает нам о замкнутости поверхности).Проведём теперь доказательство утверждения теоремы «пошагам», отталкиваясь от самого простого случая: а) сферическая поверхность охватывает точечныйположительный заряд*), расположенный в её центре – см.

рис. 8.4.Рассчитаемпотоквекторанапряжённости.Структураточечногонамзарядаужеполяхорошоизвестна – в любой точке пространствавектор напряжённости имеет радиальноенаправление,E 0+q+ rEdSE 0а его величина обратноРис. 8.4*)Для определённости здесь и далее во всех пунктах доказательства будем считать его положительным.- 107 -Электричество и магнетизмпропорциональна квадрату расстояния от точечного зарядаисточника поля.Отметим, прежде всего, то, что для любогомалогоэлемента сферической поверхности направлениявекторов E и d S совпадают. Это позволяет перейти от проекциивектора En к его модулю E(r) под знаком интеграла (мы добавилив обозначении модуля напряжённости указание на то, чтоимеется зависимость только от расстояния!): E   En dS   E (r )dS .ΣΣДалее подставим известное нам выражение для напряжённостиполя точечного заряда (7.5): 1 q E    2 dS .4πε0 r Подынтегральное выражение есть константа в пределах всейповерхности интегрирования , поэтому её можно вынести зазнак интеграла.

Оставшийся интеграл в строгом соответствии сматематическим определением не что иное, как площадьповерхности , равная для сферы, как известно, 4πr2. В итогеполучаем для искомого потока результат:E=1q1 2  4 r 2 q.4πε0 r0Как видим, он вполне соответствует утверждению теоремы. б) сместим точечный заряд из центра всё той жесферической поверхности – см. рис.

8.5.E 0+q+Рис. 8.5Обратим внимание, что вычислениеповерхностного интеграла (потока) в этомслучае сразу существенно усложняется.Ведь теперь для каждого малого элементаповерхности угол между векторами E иd S разный, также как разные значения- 108 -§ 8. Теорема Гауссапринимает и модуль напряжённости. Несмотря на такиезатруднения, чуть ниже мы рассчитаем этот интегралматематически строго.

Но сначала посмотрим на рисунок рис. 8.5.Он помогает понять, что обсуждаемый поток ничуть не изменяетсяпо сравнению со случаем «а». Вспомним, что поток черезповерхность пропорционален числу силовых линий пересекающихэту поверхность. Это число, очевидно, не изменилось присмещении заряда из центра. Поэтому можно предполагать, чтоостаётся в силе и утверждение теоремы Гаусса.Чтобы вычислить поток математически строго, используемвозможность записать скалярное произведение – выражение,стоящее под знаком интеграла (8.6) в несколько иной форме: En  dS  ( E,dS )  E  dS  cos  E  dS .Здесь обозначение dS использовано для проекции вектора d Sна направление напряжённости поля – см. рис. 8.6,а. Ведь,домножая dS на cos мы получаем площадь малого элементаповерхности сферы радиуса r с центром в точке расположениязаряда q.

Характеристики

Список файлов лекций