практикум_механика (1) (1106030), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Отчет по работе завершите оценкой степени расхождения расчетных и экспериментальных значений частот и возможных причин этого расхождения.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Определение сдвига фаз при отражении волны

от закрепленного конца струны

Стоячие волны возникают как результат суперпозиции (наложения) прямой и отраженной от какого-либо препятствия волны. Рассмотрим случай отражения волны от закрепленного конца струны. Амплитуды прямой и обратной волн должны быть равны, так как мы предполагаем полное отражение без поглощения энергии.

Рассмотрим колебание закрепленной точки струны. Она участвует как в колебательном движении прямой волны, происходящим по закону

так и в колебательном движении отраженной волны, которое мы можем выразить уравнением

где – некоторый неизвестный сдвиг фазы, возникающий при отражении. Поместим начало координат в точку на границе ( ); тогда, складывая смещения, вызванные обоими колебаниями, получим результирующее колебание

Воспользовавшись тригонометрическими формулами сложения и вычитания, приведем (11) к виду

Используя правила сложения метода векторных диаграмм, запишем равенства

Тогда (12) приводится к виду

Величины и находятся из уравнений (13). Поделив второе на первое, получим

а возводя каждую в квадрат, складывая их и извлекая корень, получим по теореме Пифагора

Откуда, после ряда преобразований, найдем значение амплитуды

В результате, суммарное колебание точки на границе может быть описано уравнением

При отражении от неподвижной стенки граничная точка не может двигаться и должна оставаться все время в покое . Это возможно, как видно из (14), только при условии, что

откуда

Если , то говорят об отставании по фазе на , об отставании на полволны или потере полволны. Если взять , то получим опережение по фазе. Опережение или отставание на дает тождественную картину волны. Обычно принято брать знак минус.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 12

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Экспериментальное изучение влияния момента инерции твердого тела на период его крутильных (торсионных) колебаний. Измерение моментов инерции некоторых тел относительно различных осей вращения.

Оборудование: экспериментальная установка с торсионным подвесом и электронным секундомером, набор исследуемых тел правильной геометрической формы, штангенциркуль, весы.

Краткая теория.

Рассмотрим твердое тело, закрепленное на вертикально натянутой упругой нити (проволоке). Пусть направление этой нити проходит через центр тяжести тела, так что его вес уравновешивается разностью натяжений верхнего и нижнего участков нити.

Если повернуть это тело в горизонтальной плоскости на малый угол, то на него будет действовать возвращающий момент упругих сил, возникающих при этом в нити, равный по закону Гука

где – модуль кручения проволоки, связанный с ее размерами и модулем сдвига материала.

В результате возникнут крутильные (торсионные) колебания тела вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с нитью, уравнение которых имеет вид:

где – угловое ускорение и – момент инерции тела относительно этой оси.

Период гармонических колебаний, описываемых уравнением (1), равен

Этот период можно измерить экспериментально с помощью секундомера, но две величины и остаются при этом неизвестными. Чтобы их определить, нам необходимо еще одно уравнение.

Чтобы получить второе уравнение для этих неизвестных, поступим следующим образом. Прикрепим к нашему телу соосно второе тело с известным моментом инерции (в нашем эксперименте это шар или цилиндр ). При этом оба тела будут колебаться как единое целое, причем период колебаний увеличится и станет равным

Решая систему двух уравнений (2) и (3) относительно неизвестных и , получим:

Если мы хотим теперь определить неизвестный момент инерции произвольного тела, заменим в нашей системе эталонный шар (или цилиндр) этим телом. Тогда момент инерции системы станет равен , а период колебаний

Подставляя сюда из (4) найденные ранее значения и , получим

Измерив экспериментально периоды колебаний , и , мы можем выразить неизвестный момент инерции через эталонный момент инерции по этой формуле.

Описание экспериментальной установки

Для измерения моментов инерции в этой работе с помощью крутильных колебаний используется экспериментальная установка, основными элементами которой являются торсионный подвес и электронный секундомер (рис.1). Торсионный подвес состоит из рамки 1 для крепления исследуемых тел (образцов), подвешенной на проволоке 2, вертикально натянутой между верхним и нижним кронштейнами штатива. Вдоль рамки может перемещаться перемычка 3, которую можно закреплять в любом положении винтами 4. Винт 5 служит для закрепления исследуемого тела 6 между центрирующими остриями .

Рисунок 1.

Для измерения времени и числа колебаний рамки с телом на основании 13 установлен электронный секундомер 10, на переднюю панель которого выведены клавиши СЕТЬ, СТОП, СБРОС и индикаторы: двузначный для отсчета числа колебаний и пятизначный для отсчета времени.

Для включения секундомера используется флажок 7, прикрепленный к рамке 1. Флажок при своем движении пересекает луч света, падающий от лампочки 8 на фотодетектор 9. Возникающий при этом импульс поступает на секундомер, совмещенный со счетчиком импульсов.

Кроме этого, в установке имеется электромагнит 11, к которому притягивается флажок 7, для удержания рамки в начальный момент в отклоненном положении (при закрученной проволоке) на заданный угол. Величина угла отклонения отсчитывается по круговой шкале 12 с делениями в градусах, позволяющей измерять угловую амплитуду крутильных колебаний. Включение электромагнита 11 производится специальным выключателем 14, укрепленным на одном кронштейне 15 со шкалой 12 и электромагнитом 11.

Для измерения периода крутильных колебаний рамки необходимо поступать следующим образом:

1. Нажать клавишу СЕТЬ на лицевой панели, при этом начинают светиться оба индикатора;

2. Включить тумблер ВКЛ электромагнита и повернуть рамку так, чтобы ее флажок 7 (рис.1) притянулся к сердечнику электромагнита. Смещая электромагнит вдоль кольцевой прорези и закрепляя его в новом положении, можно задавать различные амплитуды колебаний;

3. Нажать клавишу СБРОС – схема готова к работе (секундомер находится в «ждущем режиме»);

4. Выключить тумблер электромагнита. Флажок освобождается и рамка, под действием упругих сил в закрученной проволоке, начинает колебаться.

При первом пересечении флажком 7 луча света, падающего от лампочки 8 на фотоприемник 9, автоматически запускается секундомер и начинается отсчет времени с точностью до 0,001 сек. Одновременно на другом индикаторе высвечивается число колебаний рамки за это время.

При нажатии клавиши СТОП секундомер автоматически продолжает отсчет времени до момента завершения очередного периода колебаний рамки и выключается при пересечении флажком 7 плоскости лампочки с детектором. Отношение времени к числу колебаний и определяет искомую величину периода колебаний.

Методика измерений и оценка их точности

Методика определения моментов инерции тел с помощью крутильных (торсионных) колебаний состоит в следующем.

Измеряется период собственных колебаний ненагруженной (пустой) рамки , как описано выше.

После закрепления в рамке тела с известным моментом инерции (шар, цилиндр), определяется второй период колебаний . Путем вычисления по формуле (4) с помощью величин и параметров и торсионного подвеса проведите калибровку прибора.

После замены шара (цилиндра) исследуемым телом и измерения периода по формуле (5) находится момент инерции этого тела.

Касаясь вопроса о точности измерений, заметим, что в соответствии с общим правилом нахождения точности косвенных измерений, относительную ошибку определения момента инерции по формуле (5) вычисляют с помощью дифференцирования и записывают в виде:

В связи с этим выражение необходимо сделать несколько замечаний.

Во-первых, поскольку (для шара) или (для цилиндра), где – масса эталонного шара (цилиндра) и – радиус эталонного шара (цилиндра), то

где и – полные среднеквадратичные ошибки прямых измерений:

Однако, кроме случайной и приборной ошибок, может содержать систематическую ошибку, связанную с тем, что центр инерции шара (цилиндра) может оказаться немного смещенным от оси вращения на некоторую величину . Эта ошибка по теореме Штейнера составляет .

Во-вторых, поскольку в знаменатели относительных ошибок в (6), связанных с измерением периодов колебаний, входя разности и , надо стремиться к тому, чтобы эти разности были возможно больше (так как , чем ближе и к , тем больше будет влияние соответствующих ошибок). В связи с этим массы эталонного и измеряемого тела должны значительно превышать массу рамки 1 на рис.1, так как их моменты инерции пропорциональны массам, а периоды .

Характеристики

Список файлов книги