Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 15
Текст из файла (страница 15)
По мнению автора, это объясняется тем, что пластина имеет значительную (по сравнению с балкой из проволоки) площадь сечения в направлении движения, и при обтекании её воздухом линейная модель сил (3.30)становится несправедливой. Поэтому возникла необходимость введенияквадратичной по скоростям модели сил сопротивления и идентификации еёпараметров из экспериментальных данных.953.2.4.1.Вспомогательная задача идентификации параметровРассмотрим малые колебания консольно защемлённой пластины и представим её движение моделью с одной степенью свободы e – это вертикальноеперемещение свободного конца, Рис.
3.21.zz = S ( p1, p2 ) eep1Рис. 3.21. Консольная пластина (балка) под равномерной нагрузкойПредставим поля вертикальных перемещений и скоростей пластины:z = z ( p1 , p2 , e) = S ( p1 , p2 ) e ,v = z&( p1 , p 2 , e&) = S ( p1 , p 2 ) e& ,где S – функция формы, соответствующая деформации балки под равномерной нагрузкой [9]:S ( p1 , p2 ) =()16 ( p1 a ) 2 − 4 ( p1 a ) 3 + ( p1 a ) 4 .3Кинетическая энергия пластины вычисляется в видеT = 12 µ ∫∫ S 2 e& 2 dP = 12 M e& 2 ,PM0 –где µ – плотность материала пластины в кг/м2; M = µ ∫∫ S 2 dP = 104405Pмасса пластины, приведенная к её концу; M0 = µab – полная масса пластины.Примем, что силы демпфирования имеют линейную и квадратичную поскоростям части:f ( v ) = α 1v + α 2 v v(3.31)с неизвестными коэффициентами α1 и α2, которые необходимо определить.Обобщённая сила от сил демпфирования равнаQ d = ∫∫ S f dP = ∫∫ S ( α1S e& + α 2 S e& S e& ) dP = α1 µ1 M e& + α 2 ∫∫ S 2 S dP e& e& .PPPПоскольку S > 0 для ∀p1 ∈ [0K a ] , то мы легко вычислим интеграл96∫∫P S2S dP = ∫∫ S 3 dP =P23360.190.74ab ≈M0 ≈M.µµ12285Уравнение движения пластины с одной степенью свободы примет видM e&& + C e + β1 M e& + β 2 M e& e& = 0 ,(3.32)где C – коэффициент жёсткости, иβ1 =α10.74 α 2, β2 =.µµ(3.33)После сокращения уравнения (3.32) на коэффициент M, получим уравнение линейного осциллятора с нелинейным демпфированием (ω 02 = C M )e&& + ω 02 e + β 1e& + β 2 e& e& = 0 ,которое должно решаться с начальными условиями e(0) = A0 , e&(0) = 0 .Следуя методу Ван-дер-Поля [3], найдём решение уравнения в видеe(t ) ≈ A(t ) cos ω 0 tс амплитудой, изменяющейся во времени:A(t ) =3πβ1 A0 e − β1t28ω 0 β 2 A0 (1 − e − β1t 2 ) + 3πβ1.Чтобы определить коэффициенты β1 и β2, необходимо замерить последовательные амплитуды Ak и соответствующие им моменты времени tk, используя экспериментальные кривые вида Рис.
3.22.xA0t0=0A1t1A2t2ANtNtРис. 3.22. Последовательность амплитуд при затухающих колебанияхЗатем, используя метод наименьших квадратовΨ ( β1 , β 2 ) =N∑ ( A(tk ) − Ak ) 2 → min ,k =0найдём значения β1, β2 и вычислим коэффициенты α1, α2 по (3.33).97Значения параметров модели сил демпфирования, полученные с применением этой методики, представлены в Табл.
3.7.Табл. 3.7. Параметры модели сил демпфирования для консольной пластиныДлина пастины, см30403.2.4.2.β1, с–10,620,17β2, м–11,230,85α1, кг·с–1·м–21,950,53α2, кг·м–35,223,61Применение модели сил демпфирования к пластинеУравнения движения пластины с учётом действия сил демпфирования вматричной форме имеют вид (ср. с (2.2)):M &e& + Q e + Q d = Q g ,где Qd – столбец обобщённых сил демпфирования. Для его вычисления согласно модели (3.31), мы:1) вычисляем вектор скорости центра масс каждого элемента пластиныv C = S e& ; значение матрицы S приведено в уравнении (2.19);2) вычисляем усреднённую силу демпфирования, действующую на элемент по формуле f = ( α1 + α 2 v C ) v C , используя коэффициенты α1 и α2;3) распределяем эту силу по узловым переменным элемента: Q d = S T f .Альтернативный способ вычисления столбца обобщённых сил демпфирования состоит в применении выраженияQ d = ( β1 + β 2 v C) M e& ,по аналогии с соотношением (3.32) для модели с одной степенью свободы.3.2.5.Сравнение результатов экспериментов и расчётов3.2.5.1.Тест на сходимостьЗдесь изучается влияние числа конечных элементов на сходимость результатов расчёта.
Модель пластины длиной 0,4 м с присоединённым грузоммассой 0,26 кг. Использовались следующие конечноэлементные сетки: 2×2,4×2, 6×2 и 8×2 элементов, Рис. 3.23. Можно видеть, что графики вертикальных перемещений угла пластины с грузом в последних двух случаях практически совпадают. Поэтому далее в расчётах используется 6×2 элементов.980.00.20.4Перемещение, м0.00Время, с0.60.81.04×2 элементов-0.05-0.102×2 элементов-0.15-0.20-0.25-0.306×2, 8×2 элементов-0.35Рис. 3.23.
Тест на сходимость: вертикальные перемещения угла пластины40×20 см, к которому подвешен груз 260 г.3.2.5.2.Свободные колебания пластины без грузаРис. 3.24 и Рис. 3.25 демонстрируют результаты сравнения экспериментальных и расчётных графиков вертикальных перемещений точки на концепластины в плоскости её симметрии. Колебания пластины вызваны её собст-венным весом, без присоединения груза.024Время, с68101214Перемещение, м0- 0 .0 1Моделирование- 0 .0 2- 0 .0 3- 0 .0 4Эксперимент- 0 .0 5- 0 .0 6Рис. 3.24.
Свободные колебания плстины длиной 30 смВремя, с024681012140Перемещение, м-0.02-0.04Эксперимент-0.06-0.08-0.1-0.12-0.14Моделирование-0.16Рис. 3.25. Свободные колебания плстины длиной 40 см99Комментируя приведенные графики, можно сказать, что совпадение результатов очень хорошее. Различия в них несущественны, и их можно объяснить неточным заданием начальных условий.3.2.5.3.Колебания пластины с грузомСравнение графиков вертикальных перемещений пластины с подвешенным грузом представлены на Рис. 3.26 и Рис.
3.27. Совпадение результатовможно охарактеризовать как хорошее.Время, с024Перемещение, м0.0068101214Эксперимент-0.05Моделирование-0.10-0.15-0.20-0.25-0.30-0.35Рис. 3.26. Колебания пластины длиной 40 см с грузом 0,26 кгВремя, с0Перемещение, м0.00246810Эксперимент1214Моделирование-0.05-0.10-0.15-0.20-0.25Рис. 3.27. Колебания пластины длиной 30 см с грузом 0,4 кг1004. ЗАКЛЮЧЕНИЕВ представленной диссертационной работе рассмотрены известные ипредложены новые подходы к моделированию динамики геометрически нелинейных систем деформируемых и абсолютно твёрдых тел.К числу новых научных результатов следует отнести следующие.В области моделирования деформируемых тел:- Получил развитие современный формализм абсолютных узловых координат, сохраняющий постоянство основных членов уравнений движениядеформируемых тел в геометрически нелинейной постановке.
Новизна состоит в трактовке формализма как обобщения узловых переменных и полейперемещений традиционно используемых конечных элементов.- На основе указанного обобщения построено новое семейство конечныхэлементов балок и пластин, которые могут совершать произвольное пространственное движение и иметь большие деформации.
Для этих элементовполучены аналитические выражения для членов их уравнений движения иматриц Якоби от них.- На основе существующего формализма, использующего конечные углы поворота и приводящего к сильно нелинейным уравнениям движения,разработаны новые конечные элементы тонких балок и пластин, которые неприводят к неоднозначностям и вырождениям, описанным в литературе.
Этиэлементы также используются для сравнения с результатами моделирования,полученных методом абсолютных координат.При моделировании систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел:- Для связанной системы деформируемого и абсолютно твёрдого телапостроены дифференциально-алгебраические уравнения движения в плоскойи пространственной постановке с использованием введённых абсолютныхузловых координат.- Предложен приём исключения алгебраических уравнений связей изуравнений движения системы абсолютно твёрдого и деформируемого тела.101Это производится на основе использования абсолютных узловых координатдеформируемого тела в качестве обобщённых координат для абсолютнотвёрдого тела.
В итоге уравнения движения указанного объекта имеют видсистемы обыкновенных дифференциальных уравнений.Результаты и выводы, полученные в диссертационной работе, научнообоснованы. Достоверность результатов подтверждается их сопоставлениемс известными аналитическими и численными решениями, а также с проведенными экспериментальными исследованиями.Практически значимые результаты работы:- разработанные методы и алгоритмы были реализованы в виде программного обеспечения в составе программного комплекса «Универсальныймеханизм» для моделирования задач статики, кинематики и динамики сложных систем тел, см. ссылку www.umlab.ru;- была проведена проверка корректности построенных моделей путёмчисленного моделирования на ЭВМ реальных экспериментов, проведенныхнад образцами балок и пластин, и сравнения результатов расчётов c результатами измерений и известными аналитическими решениями;- решены некоторые прикладные задачи моделирования реальных сложных систем.Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Погорелову ДмитриюЮрьевичу за многолетнее руководство исследованиями, за ту научную, методическую и личную поддержку и тот объём знаний и советов, которыебыли переданы от учителя к ученику.Исследования выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) в рамках грантов 98-01-00782-а,99-01-00223-а, 02-01-00364-а, 02-01-06098-мас, 03-01-06487-мас, а также научной программы “Университеты России – Фундаментальные исследования”(гранты УР.015.04.01.09, УР.04.01.046).
Автор хотел бы ещё раз подчеркнуть,102что именно благодаря профессору Д.Ю. Погорелову, являвшимся руководителем этих грантов, существенная финансовая поддержка оказывалась целому коллективу молодых учёных, с которым автору хотелось бы себя ассоциировать.Кроме того, большую признательность хотелось бы выразить профессору Ван-Сок Ю (Wan-Suk YOO), руководителю лаборатории CAE Lab приПусанском национальном университете, г. Пусан, Южная Корея. ПрофессорЮ оказал большую поддержку автору в получении результатов, относящихсяк экспериментальной части исследований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
