Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Необходимо будет лишь повторнополучить конкретные выражения для элементов уравнения движения.67Представленный здесь элемент уже не будет изопараметрическим, и конечные элементы будут соединяться друг с другом на кромках негладко.Однако, как показано во многих работах [9, 67], это не является существенным недостатком, и такие элементы успешно используются на практике.2.6.3.Треугольный элемент пластиныЭтот элемент основан на стан-p2C3zOPконечных элементов. Деформированное положение элемента показа-e 212e 20e11свободы, используемом в методеe 22y1e10Be 31e 30e12дартном элементе с 9-ю степенямиe 32жение из криволинейной системыp1 координат OPp1p2 в декартову Oxyz,AxOно на Рис.
2.16. Определим отобра-используя функции форм и узловыхкоординат:Рис. 2.16. Треугольный элементr=32∑ ∑ Smn ( L1, L2 , L3 ) e mn ,(2.34)m =1 n = 0где L1, L2, L3 – однородные координаты, которые зависят от криволинейныхкоординат p1, p2: Li =1(c p2 ∆ i1 1+ ci 2 p2 + ci 3 ) . Они зависимы: L1 + L2 + L3 = 1,[9, 67]. ∆ – это площадь недеформированного элемента. Коэффициенты cijопределяются значениями координат χk, γk трёх узлов элемента в СК OPp1p2:ci1 = γ j − γ k , ci 2 = χ k − χ j , ci 3 = χ jγ k − χ k γ j .Здесь используется циклическая перестановка Θ индексов: {i, j, k} =Θ(1, 2, 3). Явные выражения для функций форм даны в работе [67]:S i1 = Li (1 − L2j − L2k ) + L2i ( L j + Lk ),S i 2 = L2i ( ck 2 L j − c j 2 Lk ) + 12 Li L j Lk ( ck 2 − c j 2 ),S i 3 = L2i ( c j1 Lk − ck1 L j ) + 12 Li L j Lk ( c j1 − ck1 ).68Выражение (2.34) идентично соотношению (2.14) для радиуса-вектора,поэтому все выкладки, проведенные для прямоугольного элемента, остаютсясправедливыми и для треугольного.
Необходимо лишь учесть соотношениямежду координатами L1, L2, L3 и p1, p2 при вычислении производных (2.25)jS mn33∂S mn∂S mn ∂Li∂S cij,==∑= ∑ mnLpL∂p j∂∂∂2∆ijii =1i =1ijS mn3 c3∂ 2 S mn cli∂ ∂S mnkj==∑∑ ∂L ∂L 2∆ .∂pi ∂p j2∆klk =1l =1Ценность треугольных элементов в том, что они позволяют моделировать пластину сложного очертания. Отметим также, что треугольный элементна основе формализма абсолютных координат реализован впервые – ранеебыла известна лишь реализация прямоугольного элемента [36].2.7.
ПРЕИМУЩЕСТВА РАЗРАБОТАННЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВПодытоживая содержание главы 2, отметим, что на основе оригинальной трактовки формализма абсолютных узловых координат разработаныновые конечные элементы тонких балок и пластин. Далее приведено короткое резюме и сравнение разработанных элементов с существующими.1. Прямоугольный конечный элемент пластины. Число степеней свободы – 48, как и в существующей реализации Микколы и Шабаны [36], но засчёт использования вторых производных новый элемент обеспечивает непрерывность нормалей к поверхности при соединении нескольких элементов.2. Прямоугольный элемент пластины с исключёнными вторыми производными.
По функциональности он соответствует упомянутому элементуМикколы и Шабаны, однако имеет меньшее число степеней свободы – 36.3. Треугольный элемент пластины, не имеющий аналогов в формализмеабсолютных узловых координат. Имеет 27 степеней свободы и позволяетмоделировать пластины с произвольным контуром.4. Элемент тонкой балки в пространстве. Имеет 14 степеней свободы, вотличие от элемента толстой балки, предложенной Шабаной и Якубом [53],имеющего 24 степени свободы.693. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ С ФИЗИЧЕСКИМИЭКСПЕРИМЕНТАМИАдекватность новой теории или модели предполагает, что эта модельдолжна быть способна дать верное решение задач, решение которых известно. В пунктах 2.3 и 2.5 приведены тестовые расчёты для известных задач; онипоказывают достаточную степень достоверности результатов моделирования.Эта глава посвящена моделированию задач, которые не поддаются аналитическому решению.
Речь будет идти о консольной балке и консольнойпластине, к свободным концам которых прикреплены грузы, под действиемкоторых происходят колебания с большой амплитудой (более 80% длины).Численные решения, полученные с использованием разработанных моделейбалки и пластины, сравниваются с данными экспериментальных измерений(видеосъёмки), полученных на натурных испытательных установках.
Этиисследования были проведены в октябре-ноябре 2002 г. в Пусанском национальном университете, г. Пусан, Южная Корея. Коллектив лабораторииComputer-Aided Engineering (CAE) Lab под руководством профессора ВанСок Ю (Wan-Suk YOO) обеспечивал экспериментальную часть исследований,в то время как расчётная часть была в ответственности автора. Результатыпроведенных совместных исследований отражены в работах [69, 70, 71, 72].3.1. БОЛЬШИЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ С ГРУЗОМ3.1.1.Описание экспериментальной установкиОсновной задачей экспериментов было определение координат концабалки как функций времени для последующего сравнения их с расчётами.Для определения перемещений часто используют акселерометр, который крепится к изучаемой точке. Но в данном случае его применение былобы неэффективным по нескольким причинам.
Во-первых, в качестве балкииспользовалась тонкая проволока, масса которой составляла порядка не-70скольких грамм, что сравнимо с весом датчика. Во-вторых, при большихколебаниях балки вектор ускорения её конца изменяется по направлению,что негативно сказывается на точности измерений. И, в-третьих, получениеперемещений по известным ускорениям является нетривиальной задачей изза проблем интегрирования сигнала с шумом.По этим соображениям в качестве измерительного средства была использована скоростная цифровая видеокамера REDLAKE Motion Scope1000s. Максимальная скорость съёмки её равна 1000 кадров в секунду, но вэкспериментах использовалась скорость 125 кадров в секунду.Общая схема экспериментальной установки для исследования колебаний консольной балки с грузом приведена на Рис.
3.1.ЭкранМеткаВидеокамераЗажимБалка5,5 мРис. 3.1. Схема экспериментальной установкиДля моделирования балки использовалась тонкая проволока диаметром0,6 и 1,0 мм из пружинной стали. Это обеспечило возможность получениябольших упругих деформаций без появления заметных остаточных деформаций. Для фиксации балки применялся тяжёлый зажим из двух металлическихбрусков, скреплённых болтами; к свободному концу проволоки приклеивалась бумажная метка с целью её последующей трассировки, Рис. 3.2 а,б.Рис. 3.2. Балка из тонкой проволоки с бумажной мишенью71После съёмки эксперимента видеокамерой, данные обрабатывались спомощью специальной программы, которая определяла координаты метки вкаждый момент времени.3.1.2.Идентификация параметров установкиГеометрические размеры балки доступны для непосредственного измерения.
Точно также несложно определить плотность материала балки, взвесив её. Определение же модуля Юнга с помощью испытания на растяжениезатруднено из-за малости диаметра проволоки. Поэтому с этой целью проводился эксперимент по замеру частоты малых колебаний балки.Первые частоты свободных колебаний консольной балки определяютсяпо формуле [9]EJ,ω k = β k2(3.1)ρ Al 4где для первой частоты β1 = 1,875, а для второй частоты β2 = 4,694.Для экспериментального определения частоты колебаний консольнойбалки возбуждались её малые колебания, и движение записывалось видеокамерой.
Затем движение бумажной метки на конце балки сканировалось специальной программой, и получалась осциллограмма вертикальных перемещений. Из этой осциллограммы выделялись первые две частоты путём выполнения преобразования Фурье [69]. Наконец, по найденной частотеопределялся модуль упругости материала из формулы (3.1).В Табл. 3.1 приведены значения параметров, полученные посредствомописанных измерений и расчётов.Табл. 3.1.
Параметры балок, использованных в экспериментахДиа- Дли Плот- Мас№ метр на ность саdlρm3ммкг/мгмПлощадьсеченияAм2МоментинерцииJм4Частотаколебаний,ωГц121,00,60,40,4791979572,50,9785,4·10–9282,7·10–9Мод.ЮнгаEГПарад/с4,909·10–14 4,395 27,616,362·10–15 2,686 16,8720020972Как упоминалось выше, для получениябольших прогибов балки к её свободномуторцу прикреплялся груз в виде небольшойгирьки, как показано на Рис.
3.3. Геометрические и инерционные параметры использованных грузов приведены в Табл. 3.2.Рис. 3.3. Груз на конце балкиТабл. 3.2. Параметры груза на конце балки№Описание груза12345Бумажная меткаБумажная меткаСтальная гирькаСтальная гирькаСтальная гирька3.1.3.Массаm0г0,0230,01520102Сдвиг центрамасс, ммρCxρCy00000-130-110-5Момент инерцииJCкг·м2~10–10≈0~10–10≈01,58·10–63,85·10–71,00·10–7Некоторые экспериментальные данныеВ этом разделе приведены некоторые качественные данные, характеризующие экспериментальную часть проведенной работы.
Например, наРис. 3.4 показано положение равновесия балочки с грузом.Рис. 3.4. Видокадр: балка с грузом в равновесииНа Рис. 3.5 показаны положения балки в различные моменты временипри колебаниях с грузом.730.16 sec0.24 sec0.32 sec0.40 sec00-50-100-100-150-150y position (mm)y position (mm)-50-200-250-200-250-300-300-350-350-4000.12 sec0.20 sec0.28 sec0.36 sec-400050100150200250300350400050100150200250300350400x position (mm)x position (mm)диаметр 1 мм, груз 20 г;диаметр 0,6 мм, груз 2 гРис. 3.5.
Положение балки в различные моменты времени при колебанияхКак видно, вертикальные прогибы достигают 80-90% от длины балки.Таким образом, речь идёт о больших (нелинейных) колебаниях и частоты ихсущественно зависят от амплитуды колебаний, определяемой величинойгруза, повешенного к балке, как показано в Табл. 3.3.Табл. 3.3. Частоты больших колебаний консольной балки с грузомДиаметр балки, мм10,63.1.4.Масса груза, г1020125Частота колебаний, Гц1,361,201,221,100,98Моделирование груза, присоединённого к балкеВ этом пункте обсуждается вопрос – как моделировать абсолютно твёрдое тело, присоединённое к балке, которая моделируется при помощи абсолютных узловых координат? С этой целью возможно использование разныхнаборов обобщённых координат для моделирования абсолютно твёрдоготела. Рассмотрим возможности использования в качестве обобщённых координат абсолютных углов поворота тела с введением уравнений связи и получением системы дифференциально-алгебраических уравнений, а также использования абсолютных узловых координат, приводящих к обыкновеннымдифференциальным уравнениям [69, 70].743.1.4.1.Использование угла поворота как обобщённой координатыРассмотрим балку в виде набора конечных элементов, построенных припомощи формализма абсолютных узловых координат, и абсолютно твёрдоетело, присоединённое к её свободному концу, как показано на Рис.
3.6.yYωТелоОсь СК,связанной с теломA ρCCrCЗащемлениеOxϕτlЭлемент балкиrlНеподвижнаяXРис. 3.6. Абсолютно твёрдое тело, присоединённое к балкеУравнения движения концевого элемента балки имеют видM e &e& = Q g − Q e .Здесь вектор узловых координат имеет значение e = { r0T(3.2)τ T0rlTτ Tl } T , егоэлементы изображены на Рис. 3.6.Запишем уравнения движения тела в виде уравнений Ньютона-Эйлера&& + f i = f g ,Mru(3.3)где Mr – матрица масс, u – вектор обобщённых координат, f i, f g – векторыобобщённых сил инерции и тяжести.Если обозначить радиус-вектор центра масс тела через rC, а угол поворота его через φ, то указанные матрицы и векторы примут вид⎧r ⎫u = ⎨ C ⎬,⎩ϕ ⎭⎡ mIMr = ⎢ T⎣00 ⎤,J C ⎥⎦⎧m g ⎫f g = ⎨ ⎬,⎩ 0 ⎭fi = 0.Движение балки и твёрдого тела стеснено уравнениями связиrl + A (ϕ ) ρ C − rC = 0 ,(3.4)tg ϕ − τ l 2 τ l1 = 0 .(3.5)75Первое из них требует, чтобы положения балки и тела были одинаковы,а второе выражает подобное же требование для углов поворота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
