Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Её начало связано с левым концомэлемента, а ось x' касается осевой линии. Деформированное состояние КЭ вэтой СК определяется перемещениями правого конца:⎧ ∆r ⎫ ⎧A T0 (r1 − r0 ) − u ∗ ⎫u( q ) = ⎨ ⎬ = ⎨⎬.φ1 − φ0⎩∆φ ⎭ ⎩⎭(1.30)Здесь A0 – матрица поворота,⎡cA0 = ⎢ 0⎣ s0− s0 ⎤,c0 ⎥⎦⎧x − x ⎫r1 − r0 = ⎨ 1 0 ⎬ ,⎩ y1 − y 0 ⎭⎧l ⎫u∗ = ⎨ ⎬ ,⎩0 ⎭c0 = cosϕ 0 ,s0 = sin ϕ 0 .Перемещения u являются малыми в случае малой деформации КЭ, дажеесли глобальные координаты q не малы.1.2.2.2.Потенциальная энергия деформации.
Обобщённые силыПотенциальная энергия малой деформации КЭ7 – это квадратичная форма локальных координат uП=11K mn um un = u T K u ,22(1.31)где K – локальная матрица жёсткости [9],0⎡ EF l12 EJ l 3K=⎢ 0⎢− 6 EJ l 2⎣⎢ 0⎤− 6 EJ l 2 ⎥ .⎥4 EJ l ⎦⎥0В формуле (1.31) и далее для краткости принято соглашение о суммировании Эйнштейна, и знаки сумм Σ опускаются, хотя подразумевается сумми-рование по всем дважды повторяющимся индексам (здесь m,n = 1,…,3).7Мы ограничимся здесь только случаем малой деформации отдельного элемента.34Столбец обобщённых сил, вызванных деформацией КЭ, находится путём дифференцирования потенциальной энергии:− Qi =∂u∂П= K kl k ul = [U T K u]i .∂qi∂qi(1.32)Здесь U – матрица Якоби преобразования (1.30)∂u ⎡ − A T0U= T =⎢ T∂q⎣ 0A ′0T (r1 − r0 ) A T00−10⎤∂A 0 ⎡ − s0′=A,=⎥0∂ϕ 0 ⎢⎣ c01⎦− c0 ⎤.− s0 ⎥⎦(1.33)Уравнения равновесия всей системы записываются в видеQi + Qia = 0 ,i = 1,…,n, где Q и Qа – столбцы обобщённых сил, вызванных соответственнодеформацией и активными силами.
Эти уравнения являются трансцендентными из-за наличия матриц U. Для их решения используется метод НьютонаРафсона, для которого необходимы матрицы Якоби зависимостей (1.30)∂Qi∂u k ∂ul∂ 2 uk− Cij == K kl+ K kl ul= [U T K U]ij + [K u]k U ij′′k . (1.34)14243∂q j∂qi ∂q j∂qi ∂q jможно пренебречьЗначения символов U ij′′k приведены в приложении 6.2.Эти матрицы Якоби используются также при численном интегрировании уравнений динамики в случае использования неявных методов [39].1.2.2.3.Кинетическая энергия. Уравнения движенияПоложение произвольной точки КЭ в локальной СК выражается через u,⎧ x ′⎫ρ = ⎨ ⎬ = ρ∗ + N u .⎩ y ′⎭Здесь N – матрица локальных функций форм [9],0⎡ξN( p ) = ⎢23⎣ 0 3ξ − 2ξ⎧ p⎫⎤∗,ξ=pl,p=0…ℓ,=ρ⎨ ⎬.l(ξ 3 − ξ 2 )⎥⎦⎩0 ⎭0(1.35)В глобальной СК положение и скорость точки определяются векторамиr = r0 + A 0ρ ,v = r& = r&0 + A ′0ϕ& 0ρ + A 0 N U q& = S( p, q ) q& .(1.36)35Кинетическая энергия КЭ определяется интеграломT=1 lµ2 0∫v T v dp(µ – линейная плотность) и входит в уравнения движения в виде (см.
(1.6))ll∂v TT∫ µ ∂q& v& dp = ∫ µ S (Sq&& + S& q& ) dp = M q&& + k ,00откуда следуют выражения для матрицы масс и столбца сил инерцииlM = ∫ µ S T S dp,0⎡6 l⎤∂ST&k = ∫ µ S S dp q& = ⎢ ∑ ∫ µ S Tdp q& k ⎥ q& .∂qk⎢⎣k =1 0⎥⎦0l(1.37)Выражения (1.37) также являются сильно нелинейными по q. Особенногромоздки выражения для столбца сил инерции k (см. приложение 6.2).Столбец обобщённых сил, вызванных силой тяжести, вычисляется поlформуле Q g = ∫ S T µ g dp . Значение этого интеграла см. в приложении 6.2.01.2.2.4.Обобщение для пространственной балки и пластиныОписанный процесс построения уравнений для КЭ можно обобщить и напространственный случай.Так, для пространственной балки столбец обобщённых координат можетбыть представлен в видеq = {r0TφT0r1Tφ1T }T ,где r0, r1 – радиус-векторы двух концов балки, а φ0, φ1 – столбцы из трёхуглов, задающих матрицы ориентации A0, A1 систем координат, связанных сконцевыми сечениями балки.
Способы задания углов ориентации подробноописаны в приложении 6.5.Преобразование (1.30) для пространственной балки принимает вид⎧ A T (r − r ) − u ∗ ⎫u=⎨ 0 1 T0⎬,α(AA)⎩⎭0 1(1.38)36где α(A) – вектор-функция матричного аргумента, возвращающая углы ориентации СК1 относительно СК0. Подробнее см. приложение 6.5. В выражениях (1.32), (1.34) используется матрица жёсткости K для пространственнойбалки [9] и матрица Якоби U, соответствующая соотношению (1.38).Прямоугольная пластина в пространстве определяется положением иориентацией своих четырёх углов – соответственно вводятся радиусывекторы r0, r1, r2, r3 и матрицы ориентации A0, A1, A2, A3. Локальная СК(Рис.
1.12) связывается с одним из углов пластины, например, с индексом 0.Тогда зависимость (1.30) принимает вид⎧A T0 (rk − r0 ) − u∗k ⎫⎧ u1 ⎫⎪⎪⎪ ⎪u = ⎨u 2 ⎬ , u k = ⎨ α( A T0 A k ) ⎬ ,⎪u ⎪⎪⎪γk⎩ 3⎭⎭⎩где γk – сдвиговые деформации в углах пластины, а процесс построения уравнений не изменяется.Описанныйэлементпластины реализован в программном комплексе УМ, спомощью которого решеназадача о деформации лентыконвейера, Рис. 1.13.Рис. 1.13. Конечноэлементная модель ленты конвейера1.2.3.Формализм абсолютных узловых координатОписанные методы моделирования произвольного пространственногодвижения деформируемых тел отличаются сильной нелинейностью всех членов уравнений движения.
Она вызвана необходимостью использования локальной системы отсчёта, связанной с телом. Здесь описывается недавноразработанный подход [50], интересный с этой точки зрения.Формализм абсолютных узловых координат вводит большие перемещения конечного элемента относительно неподвижной системы отсчёта безиспользования промежуточной. Элементы используют конечные наклонения37(сводящиеся к касательным векторам) в качестве узловых переменных и являются обобщениями обычных конечных элементов, использующими бесконечно малые наклонения.
В отличие от других формализмов, работающих сбольшими перемещениями, уравнения движения содержат постоянные матрицу масс и обобщённые силы тяжести, обобщённые силы инерции отсутствуют. Вся нелинейность уравнений сосредоточена в обобщённых упругихсилах. Данный подход позволяет применять известные идеализации реальных упругих тел: тонкие балки Эйлера-Бернулли [17], балки Тимошенко,теории пластин Кирхгофа и Миндлина-Райснера, а также более общие модели [37, 53], основанные на механике сплошной среды.1.2.3.1.Элемент тонкой балки с использованием формализмаабсолютных координатРассмотрим элемент тонкой балки длиной ℓ на Рис. 1.14, где изображенаеё осевая линия. Этот элемент был предложен Шабаной [50].yr( p)p=lp=0OxРис. 1.14.
Элемент балки в деформированном состоянииРадиус-вектор r(p) произвольной точки осевой линии, где p – дуговаякоордината, может быть представлен в виде [17, 52]⎧x⎫r = ⎨ ⎬ = S( p ) e ,⎩ y⎭(1.39)где S(p) – матрица функций формы элемента, а e – столбец обобщённых координат8: e = { x08y0x0′y 0′xlylxl′y l′ }T . Он включает в себя ко-Вместо обычного в механике обозначения q для столбца обобщённых координат здесь используетсябуква e – это связано с предпочтениями А.А.Шабаны, впервые предложившим идею этого метода.38ординаты концевых точек балки x0, y0, xℓ, yℓ, а также наклоны осевой линии косям координат x0′ , y0′ , xl′ , y l′ : xa′ = (dx dp) p = a , y a′ = (dy dp) p = a .
Отметим,что эти производные пропорциональны косинусам углов наклона осевойлинии к осям координат и поэтому являются компонентами касательноговектора к осевой линии. Подробнее об этом см. в § 2.1.Заметим, что компоненты векторов узловых перемещений и касательных векторов не обязаны быть малыми. Касательные векторы, кроме того,могут иметь неединичную длину, которая отражает продольную деформациюбалки. В работе [17] было показано, что балочный элемент, построенный наполе перемещений (1.39), может представлять произвольные деформации, атакже произвольные движения балки как твёрдого тела.1.2.3.2.Уравнения движения балочного элементаУравнения движения представленного элемента могут быть получены сиспользованием формализма уравнений Лагранжа II родаd ∂T ∂T ∂П δ W−+=dt ∂e& ∂e ∂eδe1 lгде введены кинетическая энергия T = ∫ µ r& T r& dp , потенциальная энергия2 0lдеформации П и виртуальная работа δW = ∫ δr T µ g dp сил тяжести µg (µ –0линейная плотность материала балки в кг/м).После подстановки производной r& = S e& радиус-вектора (1.39) и его вариации δr = S δe уравнения движения в матричной форме принимают видM &e& + Q e = Q g ,куда входят постоянные матрица масс и столбец обобщённых сил тяжестиllδW∂ 2TgTQ == ∫ S T dp µ g = const .M== µ ∫ S S dp = const ,Tδe 0∂e& ∂e&0Явные выражения для этих элементов выводятся ниже, в § 2.2.Отметим, что столбец обобщённых кориолисовых и центробежных силинерции отсутствует (равен нулю), хотя рассматривается случай большихперемещений и геометрически нелинейных деформаций (см.
ниже).39Элементы вектора обобщённых упругих сил Qe = ∂П/∂e являются наиболее громоздкими из-за сложности выражения для энергии деформации П.1.2.3.3.Энергия деформации и обобщённые силы в постановкегеометрически нелинейной теории упругостиЭнергия деформации балки может быть представлена в виде суммыэнергии продольной деформации осевой линии балки и энергии её изгиба:ll11П = П + П = ∫ EAε 2dp + ∫ EJκ 2dp .2020εκ(1.40)В это выражение входят продольная деформация ε и поперечная кривизна κ.Продольная EA и поперечная EJ жёсткости балки считаются постоянными.В работе [17] разработаны различные модели обобщённых упругих сил.Продольные силы.
Вектор обобщённых сил, вызванных продольной деформацией балки, является вектором-градиентом потенциальной энергии П ε:∂П ε∂εdp .Qi == EA ∫ ε∂e i∂ei0lε(1.41)Это выражение содержит продольную деформацию осевой линииε = r ′T r ′ − 1 ≈ 12 (r ′T r ′ − 1) , где r' = dr/dp.(1.42)Покажем, что данная формула выражает нелинейные соотношения Грина между перемещениями и деформациями [62, 67] в одномерном случае.Действительно, представим поле пе-rремещений балки в виде (Рис. 1.15)u( p)Or∗pℓ⎧ p ⎫ ⎧ u ( p) ⎫r = r∗ + u = ⎨ ⎬ + ⎨ 1 ⎬ .⎩ 0 ⎭ ⎩u2 ( p)⎭Рис. 1.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
