Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2.12. Тяжёлая мембрана, подвешенная за 4 угла:2×1, 4×2, 8×4 и 16×8 конечных элементовПоследующие примеры посвящены тестированию собственно пластин сненулевой изгибной жёсткостью. Рассмотрены статические и динамическиезадачи, а также анализ собственных частот колебаний пластины.2.5.2.Большие прогибы квадратной пластиныНа Рис. 2.13 показана форма равновесия квадратной пластины14 со стороной 1 м, нагруженной равномерной нагрузкой интенсивностью q.Рассмотрены 4 варианта в зависимости от условий опирания краёв пластины.Рис.
2.13. Свободно опёртая и жёстко заделанная пластины14Перемещения пластины увеличены примерно в 100 раз; они малы по абсолютной величине, но, темнее, они больше толщины пластины (см. Табл. 2.3), и, следовательно, с точки зрения теории пластин это –задача с большими перемещениями, описываемая нелинейными уравнениями Кáрмана [9].62В Табл. 2.3 отражены безразмерные перемещения z E = z E h > 1 центра Eпластины под действием безразмерной нагрузки q = qa 4 Eh 4 . Здесь a и h –размер и толщина пластины, E – модуль Юнга. Значение коэффициента Пуссона принято равным 0,3. Точные значения перемещений приведены в [9].Табл.
2.3. Прогибы пластины под действием равномерной нагрузкиСвободно опёртая пластина,q = 216,5Числоэлементов1×12×24×48×816×1632×32∞ (точно)КраяФиксиСкольрованзящиеные2,541,693,191,733,201,693,411,693,471,693,461,693,451,67Жёстко заделанная пластина,q = 486,5Числоэлементов1×12×24×48×816×1632×32∞ (точно)КраяФиксиСкольрованзящиеные3,512,283,232,192,931,963,032,003,051,993,051,993,051,98Результаты сравнения можно назвать хорошими.2.5.3.Частоты собственных колебаний пластиныЗдесь рассматриваются малые колебания пластины, составленной из конечных элементов, около её положения равновесия. Пусть e0 – вектор узловых координат в положении равновесия, которое считается прямолинейным,то есть силами тяжести пренебрегаем.
Тогда в процессе движения полныйвектор координат равен e = e0 + e1, где e1 – вектор отклонений, который считаем малым. Уравнения движения (2.2), линеаризованные в окрестности e0относительно e1, принимают видM 0 &e&1 + C 0 e1 = 0 ,где M0 = M(e0) – матрица масс и матрица Якоби C0 = C(e0) сил (т.н.
касательная матрица жёсткости), вычисленные в положении равновесия и с учётомграничных условий, как описано в пункте 6.3.63Выполнив разложение Холесского [1] указанных матриц на треугольныесомножители, C 0 = L C LTC , после некоторых стандартных преобразованийпридём к известной задаче ( A − ω 2 I) x = 0 с положительно определённойматрицей A = (L−M1 LC ) ( L−M1 LC )T . Собственные значения ω и векторы x определяются с использованием QR-алгоритма [1], реализованного в программномкомплексе «Универсальный механизм».Для проведения численных экспериментов были выбраны следующиепараметры пластины: размеры a×b×h = 1×1×10–3 м, плотность материалаµ = 4959,23 кг/м3, модуль Юнга E = 1010 Па, коэффициент Пуассона ν = 0,3.В Табл.
2.4 представлены результаты расчёта трёх низших частот пластины для двух вариантов закрепления – для пластины, свободно опёртой покраям, как на Рис. 2.13 слева, и для пластины, жёстко заделанной по краям(справа). Расчёты проведены для различного числа конечных элементов.Табл. 2.4. Частоты свободных колебаний пластиныСвободно опёртая пластинаЧастота, рад/сЧислоэлементов1231×19,0125,439,782×28,5022,836,064×48,4821,334,006×68,4821,233,948×88,4821,233,9312×128,4821,233,93∞ (exact) 8,4821,233,93Коэффициенты3,147,8512,57ΛЖёстко заделанная пластинаЧастота, рад/сЧисло элементов1231×19,0125,35 39,782×214,733,33 36,064×415,131,00 44,866×615,431,30 45,688×815,431,43 46,1012×1215,531,50 46,37∞ (exact)15,531,53 46,57Коэффициенты5,72 11,68 17,23λВыделенные жирным шрифтом значения соответствуют точному решению, вычисляемому согласно [59] по формуле ω i = 2πλi D µ a 2 .
Числовыезначения коэффициентов λi представлены в таблице. Как видно из таблицы, сувеличением количества конечных элементов частóты модели достаточнобыстро стремятся к точным значениям.642.5.4.Движение маятника в виде эластичной пластиныПример на Рис. 2.14 был смоделирован с целью сравнения с результатами, полученными Мúкколой и Шабáной [36]. Тяжёлая эластичная пластина содной закреплённой точкой совершает колебания подобно маятнику.
Параметры пластины: размеры a×b×h = 0,3×0,3×0,01 м, плотность материалаµ = 7810 кг/м3, модуль Юнга E = 105 Па, коэффициент Пуассона ν = 0,3.При решении использовались модели с различным числом конечныхэлементов. Результат: пластина пересекает сама себя при t ≈ 0,5 с из-за больших сил инерции и малой жёсткости пластины. Этот факт противоречит результатам, полученным в работе [36], хотя на Рис.
2.14 наблюдается сходимость: ср. форму пластины при 1 и 82 элементах. «Хвост» пластины направлен вверх, в отличие от [36]. К сожалению, в указанной работе приведенорешение лишь с одним конечным элементом, и трудно судить, в чём причинаэтих расхождений. Косвенным подтверждением правильности приведенныхздесь результатов является похожесть поведения маятника-балки в п. 2.3.3.Рис. 2.14.
Маятник в виде пластины: схлопывание при t = 0,5 с:1 и 8×8 конечных элементов652.6. ДРУГИЕ ТИПЫ НОВЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ2.6.1.Элемент пространственной балкиВ работе [73] автором был предложен элемент пространственной тонкойбалки, основанный на формализме абсолютных узловых координат.По аналогии с уравнением (1.39) для плоской балки, мы можем записатьr ( p ) = S( p ) eс матрицей функций форм S( p ) = [ s1I s2 I s3I s4 I 0 0] и вектором ко-{ординат e = r00 Tr01 Trl0 Trl1 Tβ0β1}T. Величины ruk = ∂ k r ∂p kp =uявляются радиус-векторами и касательными векторами к осевой линии вконцевых точках элемента, βk – углы поворота сечений, l – длина элемента.Функции форм здесь являются одномерными, в отличие от трёхмерных,предложенных Шабаной и Якубом [53], п.
1.2.4. Соответственно и числокоординат в предлагаемом элементе значительно меньше – 14 вместо 24. Этопозволит более эффективно моделировать тонкие балки, для которых ненужно учитывать сдвиговые деформации в поперечном сечении.nОсевая линияОпределение угла βk поясняетсяна Рис. 2.15. Это угол поворота попе-βtречного сечения балки относительнорепера Френé осевой линии, состояще-bго из касательного вектора t, нормалиn и бинормали b [49, 53].Рис. 2.15. Пространственная балкаУгол β интерполируется вдоль осевой линии: β ( p ) = β0 (1 − p l) + β1 p l .Для получения обобщённых сил упругости необходимо использоватьследующее выражение для потенциальной энергии деформации [49]:l()1U = ∫ EAε 2 + EJ 1κ 12 + EJ 2κ 22 + GJ tτ 2 dp .2066Здесь введены следующие параметры:• Продольная деформация ε = r ′T r ′ − 1 ≈ 12 (r ′T r ′ − 1) осевой линии балки ссоответствующей продольной жёсткостью EA;• Кривизны κ 1 = κ 0 cos β и κ 2 = κ 0 sin β осевой линии по отношению к главным осям инерции площади поперечного сечения с изгибными жёсткостями EJ1, EJ2 и кривизной осевой линии κ 0 = r ′ × r ′′3r′ ;• Относительный угол закручивания поперечного сечения τ = χ + ∂β ∂p , гдеχ = (r ′, r ′′, r ′′′) r ′ × r ′′3– кручение (вторая кривизна) осевой линии; GJt –жёсткость на кручение.Обобщённые силы вычисляются как градиент потенциальной энергии.Реализация этого элемента планируется в ближайшем будущем.2.6.2.Редуцированный прямоугольный элемент пластиныВ пункте 2.4.1 было сказано, что вторые производные могут быть исключены из набора координат элемента пластины.
Действительно, если трактовать элемент, показанный на Рис. 2.8, как стандартный элемент с 12-ю, а нес 16-ю степенями свободы и выполнить процедуру обобщения, описаннуютам же, мы получим следующее выражение для радиус-вектора:r=42(12 )( p1 , p2 ) e mn .∑ ∑ Smn(2.33)m =1 n = 0Здесь радиус-векторы узлов пластины обозначаены e m 0 = ru00m v m , а касательные векторы – e m1 = ru10m v m , e m 2 = ru01m vm ; смысл величин ruijm vmостаётся темже, как и в уравнении (2.17), а также на Рис. 2.9. Стандартные функции форм(12 )для 12-степенного элемента пластины приведены в различных справочSmnниках, например [9, 67]. Очевидно, что выражение (2.33) идентично соотношению (2.14), поэтому все выкладки, проведенные ранее, будут справедливыи для данного прямоугольного элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
