Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

В нашем случае, когда тело жёстко присоединено к пластине, числокомпонент столбца eij равно нулю.Уравнение (3.23) является избыточным, поскольку оно содержит девятьскалярных уравнений, хотя только три из них являются независимыми (почислу углов ориентации). Последнее уравнение следует представить в векторном виде с помощью известного преобразованияf2 =1 3 ~∑ ιk Ω ι k = 0 ,2 k =1(3.24)где ιk – единичные орты неподвижной системы координат x0, y0, z0, а ~ιk –соответствующие им кососимметрические матрицы, k = 1,…,3.Непосредственное вычисление приводит эти уравнения к явному виду⎧(Ω 32 − Ω 23 )⎪f 2 = ⎨ (Ω13 − Ω 31 )⎪ (Ω − Ω )⎩ 21122⎫⎪2⎬ = 02 ⎪⎭(3.25)в качестве второй части уравнений связи (3.20).

Производная по t от уравнений связи выражает соотношения между линейными и угловыми скоростями:~ r + v − v = 0,f& = v + ω1ii ijijf&2 = ωi + ωij − ω j = 0,j90Они используются, например, для согласования начальных условий. Вторыепроизводные от этих уравнений связывают линейные и угловые ускорения,~ω~ r + 2ω~ v + a − a = 0,&f& = a + ~ε r + ω1ii ijii iji ijijj~ ω + ε − ε = 0,&f& = ε + ω2ii ijijjи являются выражениями теоремы Кориолиса о сложении ускорений и теоремы о сложении угловых ускорений.Будучи выраженными в терминах обобщённых координат, уравнениясвязей относительно скоростей и ускорений принимают формыf& = Φi e& i + Φij e& ij + Φ j e& j + f ′ = 0(3.26)&f& = Φ &e& + Φ &e& + Φ &e& + f ′′ = 0 ,i iij ijj j(3.27)Значения введённых матриц следующие:rij Bi ⎤⎡D j ⎤⎡Dij ⎤⎡ Di − ~ΦΦ,=,=−Φi = ⎢ijj⎢B ⎥⎢B ⎥ , f ′ ≡ 0 ,⎥ij⎣ Bi ⎦⎦⎣⎣ j⎦~ω~~⎧a′i + ~εi′rij + ωi i rij + 2 ω i v ij + a′ij − a ′j ⎫f ′′ = ⎨⎬.~ ω + ε′ − ε′′εω+iiijijj⎩⎭Линейные и угловые скорости vi, ωi и ускорения ai, εi для пластины, атакже матрицы Якоби Di, Bi, определяются подобно тому, как это было сделано для абсолютно твёрдого тела, уравнение (3.16).Для того, чтобы получить уравнения связей в виде (3.21), необходимоисключить член Φij&e&ij из уравнения (3.27).

Это можно сделать вообще, но внашем случае Φij&e&ij ≡ 0 (см. замечание выше), а также v ij ≡ ωij ≡ a′ij ≡ ε′ij ≡ 0 .В следующих пунктах формируются явные выражения для матриц Di, Bi,относящихся к пластине, и матрицы Dj, Bj для абсолютно твёрдого тела.3.2.3.4.Вычисление матриц Dj и Bj для абсолютно твёрдого телаВектор скорости центра масс тела есть v j = r& j с одной стороны, а с другой стороны, его необходимо представить в форме v j = D j e& j согласно уравнению (3.16). Принимая во внимание структуру вектора ej, показанную в91{соотношении (3.15), найдём, что e& j = r& Tjφ& T}Tи получим значение мат-рицы Dj размером 3 × 6 в форме D j = [ I O], где I и O – единичная и нулеваяматрицы размером 3 × 3.Явный вид матрицы Bj, а также вектора угловой скорости ωj зависит оттого, какой набор углов ориентации φ используется, см.

приложение 6.5. Внашем конкретном случае использовался набор углов Кардана. При этомвектор угловой скорости вычислялся по формуле⎧ω1 ⎫ ⎡1 0⎪ ⎪ω j = ⎨ω 2 ⎬ = ⎢0 c1⎢⎪ω ⎪ ⎢0 s⎩ 3⎭ ⎣1s2 ⎤ ⎧ϕ&1 ⎫⎪ ⎪− s1c2 ⎥ ⎨ϕ& 2 ⎬ = Bϕ φ& .⎥c1c2 ⎦⎥ ⎪⎩ϕ& 3 ⎪⎭Для того, чтобы представить этот вектор в форме ω j = B j e& j , как требуется в уравнении (3.16), введём матрицу размером 3 × 6[]B j = O Bϕ .Последнее, что осталось сделать в этом пункте – вычислить векторы a′и ε′ , содержащиеся в уравнении (3.16):& j e& j ≡ 0 ,a′j = D3.2.3.5.c2ϕ& 2ϕ& 3⎧⎫⎪⎪ε ′j = B& j e& j = B& ϕ φ& = ⎨− s1ϕ&1ϕ& 2 − c1c2ϕ&1ϕ& 3 + s1c2ϕ& 2ϕ& 3 ⎬ .⎪+ c ϕ& ϕ& − s c ϕ& ϕ& − c s ϕ& ϕ& ⎪⎩ 1 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3⎭Вычисление матриц Di и Bi для пластиныПоскольку радиус-вектор ri точки прикрепления тела к пластине наРис. 3.19 определяется уравнением (2.14), то очевидно, что v i = S e& i , откудаDi = S .Вычисление матрицы Bi более трудоёмко и требует начать рассмотрениес определения матрицы направляющих косинусов Ai.

Она может быть построена по трём ортам осей координат xi, yi, zi, изображённых на Рис. 3.19.Вычислим касательные векторы к пластине в точке прикрепления телаτi =∂r= S′i e , i = {1, 2},∂piгде S′i =∂S.∂pi(3.28)92В общем случае они не являются ортогональными и имеют неединичную длину. Тем не менее, мы можем применить к ним процедуру ортогонализации Грама-Шмидта [1]τ1∗= τ1 ,τ ∗2τ1T τ 2= τ 2 − T τ1 .τ1 τ1Тогда последние два вектора τ1∗ и τ∗2 совместно с вектором нормали кпластине τ∗3 = τ 3 = ~τ1τ 2 составят ортогональную матрицу поворота⎡ ∗τA i = ⎢ 1∗⎢ τ1⎣τ∗2τ∗2⎤τ∗3 ⎥ .τ∗3 ⎥⎦Это значение матрицы легко может быть использовано в уравненияхсвязи (3.23), (3.25), но оно слишком громоздко для дифференцирования сцелью получения вектора угловой скорости.

Однако мы можем принять, чтокасательные векторы τ1, τ2 имеют почти единичную длину, и являются почтиортогональными из-за высокой жёсткости материала пластины, модуль упругости которого имеет порядок 1011 Па. Поэтому мы используем приближённое значение матрицы поворота для её последующего дифференцирования:A i ≈ [ τ1τ2τ 3 ].Таким образом, приближённая кососимметрическая матрица тензора угловой скорости может быть вычислена следующим образом:~ =A& A T = [ τ& τ&ωii i12⎡ τ1T ⎤⎢ ⎥τ& 3 ] ⎢ τ T2 ⎥ = τ& 1τ1T + τ& 2 τ T2 + ( ~τ1τ& 2 − ~τ2 τ& 1 ) τ T3 ,14243~τ&⎢ τ T3 ⎥3⎣ ⎦(3.29)где введены производные по времени от касательных векторов (3.28):τ& i = S′i e& , i = {1, 2}.Вектор угловой скорости получим, используя преобразование (3.24):⎛⎞⎟1 3 ~ ~1 3 ~ ⎜TTT~~ωi = ∑ ιm ωi ι m = ∑ ιm ⎜ τ& 1 τ1 ι m + τ& 2 τ 2 ι m + ( τ1τ& 2 − τ2 τ& 1 ) τ 3 ι m ⎟ .3123123⎟2 m =12 m =1 ⎜ 12τ1mτ2mτ 3m ⎠⎝Каждый из отмеченных членов τ k m является m-й компонентой вектора93τk.

Далее, после внесения ~ιm в скобки, мы найдём, что∑m =1 ~ιmτ k m = ~τk3ипоследнее выражение превратится вωi =12( ( ~τ1 − ~τ3~τ2 ) τ& 1 + ( ~τ2 + ~τ3~τ1 ) τ& 2 ) .Чтобы получить окончательный результат, упростим последнюю фор~a b = ba T − (a T b) I и учтя условиямулу, применив известное тождество ~ортогональности τ T3 τ 2 = τ T3 τ1 = 0 . Тогда вектор угловой скорости примет видωi =12( (~τ1 − τ 2 τ T3 ) τ& 1 + (~τ2 + τ1τ T3 ) τ& 2 ),а соответствующая ему матрица Якоби –Bi =12( (~τ1 − τ 2 τ T3 ) S1′ + (~τ2 + τ1τ T3 ) S′2 ).Последняя искомая величина – вектор углового ускорения& i = Bi&e&i + ε′i ,εi = ω( (~τ&1 − τ& 2 τ T3 − τ 2 τ& T3 ) τ& 1 + (~τ& 2 + τ& 1τ T3 + τ1τ& T3 ) τ& 2 ) == 12 ( − ( τ& 2 τ T3 + τ 2 τ& T3 ) τ& 1 + ( τ& 1τ T3 + τ1 τ& T3 ) τ& 2 ).ε ′i = B& i e& i =где3.2.3.6.12Абсолютные узловые координаты тела в пространствеСледуя идее, предложенной в п.

3.1.4.2, можно исключить уравнениясвязей при моделировании системы «пластина+груз», Рис. 3.20. Примем вкачестве вектора обобщённых координат для абсолютно твёрдого тела векторx = { r T , τ1T , τ T2 }T .грузОн состоит из вектора r и двух касаrAτ2 элементτ1 пластинытельных векторов τ1, τ2 – эти величины принадлежат в том числе и векторукоординат элемента пластины.Рис.

3.20. Элемент пластины и грузИспользуя полученное в п. 3.2.3.5 значение упрощённой матрицы направляющих косинусов (3.29), выразим скорость произвольной точки ρ тела[~ ρ в виде v = Φ x& , где Φ = I ρ ∗I − ρ ∗~τv = r& + ω13 2]ρ 2∗I + ρ 3∗~τ1 . Здесь величи-94ны ρ k∗ = τ Tk ρ соответствуют компонентам вектора ρ в системе координат,определяемой векторами τ1, τ2, τ3.После некоторых громоздких вычислений, аналогичных проделанным вп. 3.1.4.2, получим уравнения движения тела в виде M &x& + f i = f g , гдесимм.mI⎡⎤⎢⎥,~~~M = m ( ρ1I + ρ 3 τ 2 )I 11I − I 33 τ 2 τ 2⎢⎥⎢⎣m( ρ 2 I − ρ 3 ~τ1 ) I 12 I − I13 ~τ1 − I 23 ~τ 2 + I 33 ~τ1~τ 2 I 22 I − I 33 ~τ1~τ1 ⎥⎦I⎡ mρ 3 I ⎤⎤⎡f i = 2 ⎢ I 13 I + I 33 ~τ 2 ⎥ ~τ& 1 τ& 2 , f g = ⎢ ρ1I + ρ 3 ~τ 2 ⎥ mg .⎢⎥⎥⎢~~⎢⎣ I 23 I − I 33 τ1 ⎥⎦⎢⎣ ρ 2 I − ρ 3 τ1 ⎥⎦Здесь ρk являются компонентами радиус-вектора центра масс тела, а Iij – компонентами тензора инерции тела в системе координат τ1, τ2, τ3.Размер матрицы масс M равен 9 по числу компонентов вектора x.

Самаона вырождена и это означает, что моделировать свободное тело с помощьюполученных уравнений невозможно. Однако при присоединении полученного элемента к пластине (приложение 6.3) эта вырожденность исчезает.3.2.4.Учёт сил демпфированияВ экспериментах с тонкой балкой с успехом использовалась линейнаямодель Рэлея сил демпфирования (п. 3.1.5.3), а именно демпфирование, пропорциональное матрице масс и обобщённым скоростям:Q d = α M e& .(3.30)Однако, когда данная модель демпфирования была применена к моделированию движения пластины (особенно свободной, без прикреплённого груза), оказалось, что она неудовлетворительно отражает процесс затуханияколебаний.

Характеристики

Список файлов диссертации