Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.10. Сравнение перемещения конца балки в эксперименте и расчёте;d = 1 мм, m0 = 0,023 г.На Рис. 3.11 приведено сравнение осциллограмм для балки диаметром0,6 мм и грузом-меткой m0 = 0,015 г. Расчёт параметров:821) ω1 = 17,0 с–1, ω2 = 106 с–1; 2) ∆1 = 0,961; 3) ζ1 = ζ2 = 0,005;4) α = 0,16 с–1, β = 8,7·10–5 с.0123 время, с 456780перемещение, мм-20-40-60-80-100-1 20Рис. 3.11. Сравнение перемещения конца балки в эксперименте и расчёте;d = 0,6 мм, m0 = 0,015 г.Как видно из приведенных графиков, частота, амплитуда и фаза колебаний экспериментальных и расчётных перемещений практически совпадают.3.1.5.5.Большие колебания балки с грузомВ последующих экспериментах к консольным балкам прикреплялисьгрузы в виде стальных гирек для получения амплитуд колебаний порядкадлины балки, см.
п. 3.1.2. На Рис. 3.12 представлены результаты сравнениядля балки диаметром 1 мм и груза массой m0 = 20 г. Параметры:1) ω1 = 6,7 с–1, ω2 = 33 с–1; 2) ∆1 = 0,987; 3) ζ1 = ζ2 = 0,002;4) α = 0,02 с–1, β = 1·10–5 с.0123 время, с 456780перемещения, мм-50-100-150-200-250-300-350Рис.
3.12. Сравнение перемещения конца балки в эксперименте и расчёте;d = 1 мм, m0 = 20 г.83На Рис. 3.13 результаты сравнения экспериментов с d = 1 мм, m0 = 10 г.1) ω1 = 7,9 с–1, ω2 = 39 с–1; 2) ∆1 = 0,992; 3) ζ1 = ζ2 = 0,0013;4) α = 0,017 с–1, β = 5·10–5 с.0123 время, с 45678перемещение, мм0-50-100-150-200-250-300Рис. 3.13.
Сравнение перемещения конца балки в эксперименте и расчёте;d = 1 мм, m0 = 10 г.И, наконец, на Рис. 3.14 сравниваются результаты эксперимента и расчёта для более тонкой балки диаметром 0,6 мм с грузом массой 2 г.1) ω1 = 7,0 с–1; ω2 = 42 с–1; 2) ∆1 = 0,949; 3) ζ1 = ζ2 = 0,008;4) α = 0,07 с–1, β = 7·10–4 с.0123 время, с 456780перемещение, мм-50-100-150-200-250-300-350Рис. 3.14. Сравнение перемещения конца балки в эксперименте и расчёте;d = 0,6 мм, m0 = 2 г.В заключение этой части экспериментальных исследований можно отметить, что представленная модель балки с грузом в абсолютных узловыхкоординатах способна корректно моделировать как малые колебания, так иколебания с большой амплитудой.843.2. БОЛЬШИЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ С ГРУЗОМДанная часть исследований является продолжением экспериментов, зачастую повторяет материал §3.1 и поэтому описывается не столь подробно.Есть, однако, и отличия, связанные с моделированием присоединения абсолютно твёрдого тела к пластине (п.
3.2.3), а также с учётом сил сопротивления воздуха (п. 3.2.4). Результаты работы отражены в публикациях [71, 72].3.2.1.Описание экспериментальной установкиУстановка для исследования колебаний пластины аналогична установке,описанной в §3.1. Прямоугольная пластина защемлена по одному краю, а кдругому краю жёстко прикреплён груз. На Рис. 3.15 пластина показана в положении, соответствующем начальным условиям.zПластинаВидеокамераЗащемлениеyxВид сбокуЛампочкаВид спередиВидеокамераГрузРис. 3.15. Схема экспериментаЗапись движения ведётся спереди исбоку, – таким образом, фиксируется движение всех трёх координат исследуемойточки. Исследуемая точка – это тот уголпластины, к которому прикреплён груз, ион помечается меткой-светодиодом дляобеспечения возможности трассировки спомощью специальной программы.Рис.
3.16. Наладка установки85Фотография установки приведена на Рис. 3.16. Видеокадры движенияпластины с грузом показаны на Рис. 3.17.Вид спередиВид сбокуРис. 3.17. Видеокадры движения пластины 40 × 20 см с грузом 260 г.3.2.2.Параметры установки3.2.2.1.Геометрические и жесткостные параметры пластиныКак и в случае экспериментов с балками, упругие параметры пластиныопределялись косвенно после измерения первой собственной частоты колебаний её без груза. Поскольку при малых колебаниях пластина мало отличается от балки, то в расчёте использовалась зависимость (3.1), в которой l = a.Результаты измерений и расчётов сведены в Табл.
3.5.Табл. 3.5. Геометрические, инерционные и упругие параметры пластиныДлина, ширинаи толщина пластины, ммab300 200400 200h0,40,43.2.2.2.МоментПлощадьПервая МодульинерцииПлотностьсечениячастота ЮнгаМасса пласеченияρ=m/abh,E,A=bh,колебанийстины m, кгкг/м3J=bh3/12,2МПаммω, Гцмм40,1810,2427554755480801,071,073,462,02175189Инерционные свойства присоединённого грузаДля получения больших перемещений пластин использовались отягощения в виде грузов.
Расчётная схема присоединения с указанием положенияцентра масс C груза приведена на Рис. 3.18, а параметры грузов – в Табл. 3.6.86∆x, ∆yКрайпластиныПластина∆zCГрузМодель грузаРис. 3.18. Схема прикрепления груза к пластинеТабл. 3.6. Инерционные параметры грузов, прикрепляемых к пластинамРазмерыМассапластины, груза, гa×b, смM40×2030×20260400Сдвиг центра масс груза,мм∆x∆y∆z1,51,51,51,518,717,0Главные центральные моменты инерции, кг·мм2JxJyJz82,114272,9127149253Главные центральные моменты инерции вычислялись программойAutoCAD, для чего создавалась объёмная модель груза, см. Рис. 3.18 справа.3.2.3.Моделирование абсолютно твёрдого тела,присоединённого к пластинеВ данном пункте обсуждается проблема, как моделировать движениесистемы, состоящей из пластины и твёрдого тела, жёстко соединённого сним. Построение уравнений движения абсолютно твёрдого тела представляетсобой классическую задачу, но уравнения движения пластины выведены вновой постановке, §2.4.
Таким образом, построение уравнений движенияпластины с грузом является новой задачей. Подходы к её решению могутбыть различными, подобно тому, как в случае с балкой и грузом, см. п. 3.1.4.Одним из подходов является построение нового конечного элемента,использующего абсолютные узловые координаты элемента пластины, с целью избежания уравнений связей, п. 3.2.3.6. Однако сначала был реализованспособ с введением уравнений связей и получением ДАУ.873.2.3.1.Уравнения движения свободного тела в пространствеСначала рассмотрим свободное абсолютно твёрдое тело, движение которого описывается уравнениями Ньютона-Эйлера (1.14)m j a j = m j g,~ J ω = 0.J jε j + ωj j jгде aj и εj – векторы ускорения центра масс и углового ускорения тела.
Силатяжести mjg приложена в центре масс тела и поэтому её момент в правойчасти второго уравнения равен нулю. Индексы j введены для тела, в отличиеот величин, описывающих пластину далее в п. 3.2.3.2.Численное интегрирование уравнений движения подразумевает записьих относительно обобщённых координат телаe j = {r Tjφ T }T ,(3.15)где rj = {xC, yC, zC}T – радиус-вектор центра масс тела, φ = {φ1, φ2, φ3}T – любая тройка углов, описывающая его ориентацию, см. приложение 6.5.
Дляизбежания возможных вырождений углов ориентации можно использоватьчетыре параметра Эйлера [6, 7].Введём векторы линейных и угловых скоростей и ускорений тела:& j e& j ,v j = D j e& j ⇒ a j = v& j = D j&e& j + a′j , где a′j = D& j e& j ,& j = B j&e& j + ε ′j , где ε′j = Bω j = B j e& j ⇒ ε j = ω(3.16)где Dj и Bj – матрицы Якоби, которые вычисляются в п. 3.2.3.4.После подстановки этих зависимостей уравнения движения примут видM j&e& j = Q j ,где⎡D Tj m j D jMj =⎢⎢⎣ O3.2.3.2.(3.17)⎧⎪D Tj m j ( g − a′j )⎫⎪⎤Q=,⎥⎨jT~ J ω − J ε ′ ) ⎬⎪ .B Tj J j B j ⎦⎥⎪⎩B j ( −ωj j jj j ⎭OУравнения движения системы «пластина+груз»Для формирования уравнений движения системы «пластина + груз»воспользуемся методом подсистем [7]. Одна подсистема – это совокупностьконечных элементов пластины, другая – тело.
Уравнения движения отдель-88ных подсистем имеют видM i&e&i = Qi ,(3.18)M j&e& j = Q j .(3.19)Первое из них описывает движение конечного элемента, к которомуприсоединено тело, а второе представляет собой уравнение (3.17).На движение этих двух подсистем наложим связи в виде уравненияf (e i , e j ) = 0 .(3.20)Явный вид этих связей формируется в п. 3.2.3.3. Связи приводят к появлению соответствующих сил реакций в динамических уравнениях (3.18),(3.19). После двойного дифференцирования уравнения (3.20) по времени,&f& = Φ &e& + Φ &e& + f ′′ = 0 ,i ij j(3.21)уравнения движения можно представить в виде ДАУ индекса 1⎡M i⎢⎢O⎢ Φi⎣OMjΦjΦ iT ⎤ ⎧ &e&i ⎫ ⎧ Q i ⎫⎥⎪ ⎪ ⎪⎪Φ Tj ⎥ ⎨ &e& j ⎬ = ⎨ Q j ⎬ .O ⎥⎦ ⎪⎩− λ ⎪⎭ ⎪⎩− f ′′⎪⎭Здесь Φi и Φj – матрицы Якоби уравнений связи (3.20) по столбцам координат ei и ej соответственно, а λ – столбец множителей Лагранжа.3.2.3.3.Реализация уравнений связейУравнение связей (3.20) состоит из двух частей.
Первая выражает условие замыкания радиус-векторов, как показано на Рис. 3.19:f1 = ri + rij − r j = 0 .(3.22)z0y0x0rirjAiРис. 3.19. Присоединениеабсолютно твёрдого тела к пластинеrijz i, z jxiyixjAjyj89Вторая часть уравнений выражает подобное условие для ориентацийтел. Запишем сначала это условие для ортогональных матриц ориентацииΩ = A i A ij A −j 1 − I = O ,(3.23)где Ai и Aj – матрицы ориентации систем координат xi, yi, zi и xj, yj, zj.
Aij –матрица, определяющая возможное угловое смещение между этими двумясистемами координат. В нашем случае такого смещения нет и поэтому Aij ≡ I.Замечание. Хотя в нашем случае rij и Aij постоянны, мы рассмотрим более общий случай и предположим, что они изменяются во времени:rij = rij(eij), Aij = Aij(eij), где eij – столбец обобщённых относительных координат. Такая постановка позволяет вводить между пластиной и телом шарнирыразличных типов, такие как сферический, цилиндрический или поступательный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
