Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Идеяданного подхода изначально была изложена в работе Симо 1985 г. [56], атакже Симо и Ву-Кока 1986 г. [57]. Были предложены реализации балочныхи пластинчатых элементов, допускающих произвольное пространственноедвижение. Однако существующие реализации данного подхода при применении к балкам Эйлера-Бернулли (то есть не учитыющие сдвиговую деформацию), приводят к избыточности координат и вырождениям [50]. Реализацияметода, предложенная автором в п. 1.2.2, свободна от этих недостатков.Все описанные подходы отличаются сильной нелинейностью членов,входящих в уравнения движения, которая вызвана необходимостью использования локальной системы отсчёта, связанной с телом. С этой точки зренияинтересен формализм абсолютных узловых координат, описываемый в п.1.2.3 и развиваемый далее в главе 2.
В этом подходе интерполяционныефункции форм, описывающие деформируемое состояние тела, записываютсянепосредственно относительно глобальной системы координат, без использования промежуточной подвижной. Набор координат включает в себя глобальные декартовы координаты узлов элементов, а также наклонения (илинаклоны), имеющие смысл касательных векторов к оси балки или плоскостипластины. В результате уравнения движения содержат постоянную матрицумасс и не содержат сил инерции. Единственным нелинейным членом уравнений, хотя и достаточно громоздким, является вектор обобщённых упругихсил. Основополагающей в этой области является работа Ахмеда Шабáны281996 г.
[50]. Им и его учениками и коллегами этот метод был реализован дляплоских и пространственных балочных элементов [17, 18, 37, 53], а также дляэлемента пластины [36]. Можно отметить также работы Такахаши и др. [60,61]. Вклад автора в развитие этого формализма [68-75] составляет основуданной диссертации, см. главы 2 и 3.1.2.1.Использование твёрдотельных конечных элементовПри использовании этого подхода деформируемое тело замещается системой абсолютно твёрдых тел, связанных посредством шарниров различныхвидов [5, 14, 29, 33]. Инерционные и упругие свойства упругого тела распределяются между элементами-телами и введёнными между ними шарнирами супруго-диссипативными силами. Примеры приведены на Рис.
1.5.l2ll2c = EJ lРис. 1.5. Представление балки и пластины системой абсолютно твёрдых телВ случае плоской балки между элементами–стержнями вводятся пружины с жёсткостями по повороту c = EJ/ℓ, где ℓ – длина одного элементастержня, а EJ – изгибная жёсткость балки. Отметим, что концевые стержниимеют половинную длину [14], хотя существуют и более сложные способыдискретизации [33]. Если необходимо учесть также и продольную деформацию балки, то в шарнирах вводятся ещё и поступательные степени свободы ссоответствующими жёсткостями c1 = EF/ℓ, где EF – продольная жёсткостьбалки.
Публикации по моделированию балочных и тросовых элементов посредством описанной модели довольно многочисленны, как отмечено в § 1.2.Подобный подход может быть применён и для пластин, см. п. 1.2.1.2. Нижекоротко описаны удачные попытки моделирования балочных и пластинчатыхсистем коллективом под руководством Погорелова Д.Ю. с участием автора.291.2.1.1.Моделирование балок твёрдотельными элементамиВ начале 1998 года была разработана модель кабеля питания жёсткогодиска фирмы Самсунг с использованием твёрдотельной расчётной схемы[83], Рис.
1.6 слева. Кабель сильно изогнут, как показано на рисунке, и поэтому данная задача является сильно нелинейной. Целью работы было определение положений равновесия кабеля при различных углах поворота головки (Рис. 1.7 справа), а также расчёт собственных частот и форм колебаний,Рис. 1.8. Для проверки правильности расчётов также было проведено сравнение данных расчётов с данными экспериментов над изогнутой металлическойлинейкой, имитирующей кабель, как показано на Рис. 1.7.Рис.
1.6. Твёрдотельная модель кабеля питания жёсткого диска СамсунгРис. 1.7. Экспериментальная установка для моделирования больших деформаций упругой линейки и измерения статических и динамических формРис. 1.8. Рассчитанные первые формы собственных колебаний кабеля30Экспериментальная установка позволяла замерять момент, возникающий в точке прикрепления линейки к вращающейся части (слева), в зависимости от положения YC и наклона защемления справа. Для измерения частоты колебаний применялся строботахометр.
Линейка и кабель моделировались системой твёрдых тел, как показано на Рис. 1.7 справа. Число тел варьировалось от 10 до 40. Результаты экспериментов и расчётов находились вполном соответствии друг с другом.Подобная работа проводилось в конце 1998 года во время стажировкиавтора в техническом университете г. Гамбурга [82]. Тогда предметом исследования была динамика ворсиноквращающейся щётки для очисткиразличных поверхностей, Рис.
1.9. Вовнимание принимались контактныесилы взаимодействия между ворсинками и с обрабатывающей поверхностью. Число тел в системе варьировалось и достигало 100.Рис. 1.9. Вращающаяся щётка с ворсинками1.2.1.2.Моделирование пластин твёрдотельными элементамиОдна из первых попыток моделирования пластин с использованиемтвёрдотельной модели приведена в работе Погорелова 1998 г. [41]. Там модель представляется в виде решётки балок (Рис. 1.5 справа), каждая из которых представляется цепочкой стержней (Рис. 1.5 слева). В точках пересечения балок решётки вводятся шарниры с несколькими вращательными и поступательными стспенями свободы, так, чтобы обеспечить возможность растяжения, изгиба и сдвига.
В этой работе показано, что эта модель неплохоотражает статические прогибы пластины, то есть при увеличении числа элементов решение сходится к точному. Однако собственные частоты колебаний пластины моделируются плохо – наблюдается плохая сходимость.В работе с участием автора в 2002 году была предпринята удачная по-31пытка моделирования реальной сложной технической системы [81] – конвейера с подвесной лентой, Рис. 1.10.
В работе использовалась твёрдотельнаямодель ленты конвейера, описанная выше. Модель насчитывала до 200 абсолютно твёрдых тел, около 1000 жёстких дифференциально-алгебраическихуравнений, содержащих примерно 500 уравнений связи. Моделирование проводилось с помощью программного комплекса «Универсальный механизм»,разработанного под руководством проф. Погорелова Д.Ю., см. www.umlab.ru.Рис.
1.10. Конвейер с подвесной лентой, твёрдотельная модельДля определения жёсткостных параметров ленты конвейера были проведены эксперименты над консольно защемлёнными образцами ленты, идентификация параметров жёсткости и сравнение с расчётами. Для расчёта брались модели с различной дискретностью разбивки (3×4, 4×4, 5×4, 10×4, 6×6элементов и другие). На Рис.
1.11 представлены результаты сравнения прогибов экспериментальных образцов и расчётов. Сплошной линией изображены рассчитанные прогибы, а точками – экспериментальные замеры прогибов.10100001020304050060-10-10-20-20-30-30-40-401) L=63,5 см, H=80 см1020304050602) L=59 см, H=80 смL и H – длина и ширина консольной части лентыРис. 1.11. Сравнение прогибов математической модели и образца ленты32Результаты указанной работы подтверждают выводы предыдущей о том,что твёрдотельная модель пластины пригодна для моделирования статических задач, а для успешного решения задач динамики необходима дальнешаяразработка способов моделирования деформируемых тел.1.2.2.Использование конечных углов поворотаОсновным недостатком формализма подвижной системы координат является то, что перемещения точек деформируемого тела относительно связанной с ним системы координат предполагаются малыми – это не позволяетмоделировать системы с большими перемещениями, например, загнуть балкув кольцо.
Для устранения этого недостатка примяются очевидные идеи [26,56, 57] – во-первых, использовать для каждого конечного элемента свою собственную подвижную систему координат, и, во-вторых, отказаться от относительных координат и использовать в качестве обобщённых координат абсолютные (по-другому – конечные) углы поворота этих подвижных СК относительно неподвижной СК.Здесь опишем данный подход, как это сделано в нашей работе [75].1.2.2.1.Переход от абсолютных координат к относительнымРассмотрим плоский балочный конечный элемент длиной ℓ (рис. 1).y'yφ1x1, y1∆rСК x'y'∆φrφ0x'ℓxСК xyOxРис. 1.12.
Балочный конечный элемент33Введём вектор глобальных обобщённых координат элемента [75]{q = r0T ϕ 0r1T ϕ1}T ,r0 = {x0, y0}T, r1 = {x1, y1}T,который определяет положение и ориентацию концов элемента в глобальнойсистеме координат (СК) xy. Эти координаты не являются малыми, они могутизменяться от –∞ до +∞.Введём локальную СК элемента x'y'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
