Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Предлагается новый взгляд на природу этого формализма и указывается, что он является обобщением узловых переменных иполей перемещений конечных элементов, традиционно используемых в линейном МКЭ. Это означает, что с помощью формальной процедуры можнопрактически любой конечный элемент, использующий малые узловые координаты, преобразовать в элемент, координаты которого состоят из компонентрадиус-векторов узлов и касательных векторов в абсолютном пространстве.При этом почти все члены уравнений движения этих элементов постоянны(кроме обобщённых сил), в отличие от других подходов.Далее в главе предлагается целое семейство новых конечных элементовбалок и пластин, разработанных на основе обобщения формализма абсолютных узловых координат.
Приводятся решения модельных задач, демонстрирующих корректность элементов и соответствие результатов известным аналитическим и численным решениям. В конце главы приводятся доводы впользу использования разработанных конечных элементов.Глава 3 посвящена сравнению результатов экспериментов над образцами консольной балки и пластины, совершающими колебания большой амплитуды, с результатами, полученными в ходе численных экспериментов сиспользованием разработанных алгоритмов. Эти исследования были проведены в октябре-ноябре 2002 г. в Пусанском национальном университете, г.Пусан, Южная Корея. Коллектив лаборатории Computer-Aided Engineering(CAE) Lab под руководством профессора Ван-Сок Ю (Wan-Suk YOO) обеспечивал экспериментальную часть исследований; расчётная часть была вответственности автора.К теоретическим результатам этой главы относится разработанный метод исключения алгебраических уравнений связи при моделировании систем«балка+груз» и «пластина+груз» путём использования в качестве обобщённых координат для твёрдого тела абсолютных узловых координат.В заключении диссертации приведена общая характеристика работы исделаны основные выводы по полученным результатам.91.
ОБЗОР АЛГОРИТМОВ ФОРМИРОВАНИЯУРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМДанная глава является обзорной, хотя в ней содержатся также отдельныерезультаты и модификации известных методов, полученные автором, в томчисле и в соавторстве. По возможности это будет отмечаться в тексте.1.1. ФОРМИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛВ этом параграфе рассматриваются методы формирования уравненийдвижения систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел. Принимая вовнимание большое разнообразие таких методов, ограничимся здесь лишьметодами, связанными с численным моделированием. При этом основноевнимание (за исключением п.
1.1.2) уделяется именно построению уравненийдвижения системы, то есть набор обобщённых координат для отдельных тели конкретные кинематические соотношения считаются определёнными –подробно это рассматривается в §1.2. Разные методы сравниваются по эффективности с точки зрения числа операций на одном шаге интегрирования.Методы построения уравнений движения механических систем хорошоизвестны начиная со времён Даламбера и Лагранжа.
Однако данная работапосвящена современным численным методам, ориентированным на вычислительную технику, развитие которой началось в 1950-х годах. Вычислительная механика начиналась с работ Денавита и Хартенберга 1955 г. [20], вкоторых авторы разработали матричный аппарат пространственной кинематики твёрдых тел. Уикер в 1965 г. [63] впервые применил эти методы к динамике. Одни из первых приложений вычислительной механики систем тел: вастронавтике – Хукер и Маргулис в 1965 г. [27], Роберсон и Виттенбург в1967 г.
[45]; в биомеханике – например, Вукобратович в 1970 г. [64]. Развитию методов компьютерной алгебры к задачам динамики систем тел посвящены работы 1977 г. Левинсона [34], а также Шилена и Кройцера [48].101.1.1.Уравнения Лагранжа 2-го родаНачнём с классического формализма аналитической механики – уравнений Лагранжа 2-го рода для голономных консервативных систем. Основойдля получения уравнений движения систем служат уравненияd ∂T ∂T∂Π,−=−dt ∂q& ∂q∂q(1.1)где T (q, q& , t ) – кинетическая энергия системы; q – столбец обобщённых координат системы (размером n); П(q,t) – потенциальная энергия системы.Уравнения движения после вычисления производных имеют вид&& = Q(q, q& , t ) ,M ( q, t ) q(1.2)где M – матрица масс системы размером n × n; Q – вектор обобщённых активных сил и сил инерции.Этот способ получения уравнений движения довольно прост и вычисления согласно нему могут быть выполнены вручную студентами начальныхкурсов.Однако для реальных технических систем, состоящих из десятков и сотен тел, вывод уравнений вручную просто невозможен по причине их необычайной громоздкости.
Поэтому для решения таких задач создаются автоматизированные программы синтеза уравнений движения.Но оказывается, что для сложных систем, состоящих из длинных кинематических цепей, вроде многозвенных маятников или тросов, применениеформализма Лагранжа (1.1) приводит к почти экспоненциальному росту объёма вычислений, необходимых для формирования уравнений, в зависимостиот длины цепочки n. Кроме того, в промежуточных вычислениях частовстречаются тригонометрические тождества типа sin2α + cos2α = 1 и другие,которые сильно загромождают вычисления.Даже само применение операции дифференцирования нежелательно, таккак оно приводит к появлению огромных промежуточных выкладок.
Достаточно сказать, что уравнения движения двадцатизвенного маятника, построенные с использованием значительно более эффективных методов, описан-11ных ниже, и к тому же упакованные, занимают примерно 25000 строк текста!Всё вышеизложенное заставляет мысль механиков искать другие, болееэффективные методы построения уравнений движения.В следующих пунктах кратко изложена суть современных методов синтеза уравнений движения больших систем.1.1.2.Общий подход к построению уравнения движениядеформируемого телаОбзор основных работ в этой области находится в начале п. 1.2 ниже.Это нарушение последовательности вызвано тем, что прежде чем рассматривать системы тел, мы вынуждены рассмотреть формирование уравненийдвижения отдельного тела.Рассмотрим произвольное деформируемое тело, изображённое наРис.
1.1 жирной линией в виде осевой линии балки [76]. То, что на рисункеизображена балка, не играет существенной роли и используется лишь дляпростоты изображения. Все выкладки, проведенные здесь, справедливы какдля произвольного деформируемого, так и абсолютно твёрдого тела.z1R2R1A(q)z0O1x1r(q)MO2ρ(M,u)y1F(M)r+ρOx0y0Рис. 1.1. Деформируемое телоНа тело действуют, в общем случае, распределённые силы f(M) и моменты m(M) в каждой точке M, изображённые на рисунке векторомF(M) = {fT, mT}T, и сосредоточенные силы и моменты реакции Rk (на рисункеих две), также представляющие собой шестикомпонентные векторы.12Следуя формализму подвижной системы координат [35, 51], для обеспечения возможности произвольного пространственного движения тела относительно фиксированной системы координат x0, y0, z0 (СК0) необходимоввести систему координат x1, y1, z1 (СК1) с началом в точке O1. Положение иориентация подвижной системы координат СК1 задаётся соответственнорадиус-вектором r(q) и матрицей поворота A(q), которые зависят от элементов столбца обобщённых координат q.Если тело свободно в пространстве, то чаще всего столбец q содержитшесть координат – три координаты начала отсчёта O1 и одну из возможныхтроек углов поворота [6, 7] (Эйлера, Кардано и т.п.).
Для избежания вырождения углов ориентации можно использовать четыре параметра Эйлера. Вслучае, если тело несвободно, а соединено с соседними телами посредствомшарниров, вектор q может включать произвольное число обобщённых шарнирных координат.Вычислим вектор скорости r& начала отсчёта О1, а также вектор ω угловой скорости подвижной системы координатr& = Dq& + rt′,ω = Bq& + ω′t ,(1.3)где матрицы D(q) и B(q) составлены из столбцов di и bi:∂r;∂tD=∂r∂r[],гдеd=;=ddKdi12n∂qi∂q Trt′ =B=∂A T∂ω1 ~[],гдеb=A ;=bbKbi12n∂qi∂q& T~ ′ = ∂A A T .ωt∂tПодробнее о способах формирования этих матриц см.
приложение 6.6.Деформированное состояние тела определяется зависимостью радиусвектора ρ∗(M,u) произвольной точки M тела от вектора локальных обобщённых координат u, которые выражают меру деформации тела. Обычно их выбирают так, что при u = 0 тело недеформировано. Зависимость ρ∗(u) может1Об использовании символа ~ (тильда) см.
приложение 6.1.13быть линейной вида ρ∗ = S u, если рассматриваются только малые деформации тела и ||u|| << 1. В общем случае зависимость ρ∗(u) нелинейна. Обратимвнимание на то, что компоненты вектора ρ∗ представлены в проекциях на осиподвижной СК1, а в проекциях на оси неподвижной СК0 имеемρ = ρ( q , M , u ) = A ( q ) ρ ∗ ( M , u ) .Производная вектора ρ по времени имеет вид~ρ + v .& ρ + Aρ& = A& A T Aρ + Aρ& = ωρ& = A∗∗u123 {∗ {∗~vuω ρОтносительная скорость v u произвольной точки тела, вызванная его деформацией, и относительная угловая скорость ωu системы координат, связаннойс данной точкой, равныv u = Aρ& ∗ = AD ∗ u& = D u u& ,{(1.4)Duω u = AB ∗ u& = B u u& ,{Buгде введены матрицы Du и Bu по аналогии с уравнениями (1.3).Таким образом, состояние деформируемого тела полностью описываетсянабором обобщённых координат x = {qT, uT}T.
Для построения уравненийдвижения тела воспользуемся формализмом уравнений Лагранжа II родаd ∂T ∂T ∂П δW−+=,dt ∂x& ∂x ∂xδx(1.5)где T ( x& , x, t ) – кинетическая энергия тела, П ( u, t ) – потенциальная энергиявнутренних сил упругих деформаций, δW = δW' + δW″ – виртуальная работаδW' активных внешних сил и реакций (δW″), вызванных произвольной вариацией координат δx.Кинетическая энергия – это интеграл по объёму тела T =1µ v T v dV ,∫V2~ ρ + v – абсолютная скорость точек тела.где µ – плотность тела; v = r& + ωuВычислим выражение для производных от кинетической энергии:14d ∂T ∂T−= µdt ∂x& ∂x V∫⎛ d ⎡ ∂v T ⎤∂v T∂v T⎜ ⎢&vv+−⎜ dt ∂x& ⎥∂x&∂x⎦⎝ ⎣⎞∂v Tv ⎟ dV = ∫ µv& dV .2⎟∂x&⎠V(1.6)Найдём производные от скорости v, используя (1.3):∂v T∂v TTT~= D Tu ,= D +B ρ,∂q&∂u&(1.7)~ω~ ρ + 2ω~ ρ& + ρ&& .v& = &r& + ~ε ρ + ωПоследнее равенство выражает теорему Кориолиса о сложении ускорения произвольной точки тела в переносном движении СК1, и её ускорения вотносительном движении, вызванном деформацией тела.В уравнении (1.5) ∂П/∂q = 0, так как потенциальная энергия деформацииКЭ зависит лишь от локальных координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
