Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

При этом учитывается, чтопри k = 1 ускорение предыдущего тела (тела 0) равно нулю: wk–1, если k = 1.&& k согласно (1.25), вычисляем ускорениеНайдя локальные ускорения qтекущего тела wk по формуле (1.23).Описанный выше классический метод отдельных тел является в настоящее время самым эффективным методом численного моделирования системс длинными кинематическими цепями (более 10-15 вращательных степенейсвободы в цепочке). Его можно легко обобщить на систему в виде дерева,однако он имеет и ограничения по области применения.Прежде всего это относится к системам с замкнутыми кинематическимицепями – в этом случае невозможно выделить в системе концевое тело, какна Рис.

1.2, и начать рекуррентную процедуру. Однако для такого типа систем также были разработаны модификации метода, основанные на переходе к22множителям Лагранжа в разрезанных шарнирах. Другой класс систем, длякоторых этот метод неприменим – это жёсткие системы, которые решаютсянеявными методами [25, 39, 42, 46] с использованием матриц Якоби уравнений движения.

Тем не менее, существуют модификации этого метода, устраняющие некоторые из описанных недостатков; см., например, [77, 80].1.1.5.1.Метод отдельных тел для систем с замкнутымикинематическими цепямиПрименение метода отдельных тел невозможно при наличии в системезамкнутых кинематических цепей. В этом случае эффективен подход [77],основанный на исключении не сил реакций, а ускорений.Уравнение (1.24) имеет общее решение в видеR n = Hn λ n ,тогдаH Tn S n = 0 .(1.29)λ n – множители Лагранжа (независимые реакции).На Рис.

1.3 показан один шарнир (j)системы в окружении соседних тел. Он со-im=jki1ijpjединяет тела i и k. Шарнир jp соединяет телоi с предыдущим на пути к телу 0. Шарниры,kpi3тело 0присоединённые к телу i, обозначены i1, …,im, …; одним из них, например, im, будеттекущий шарнир j. Шарниры, присоединённые к телу k, обозначены k1, …, kp, …Рис.

1.3. Шарнир системыЗапишем уравнения (1.22) для тел k и i, куда войдут реакции во всех свя-занных с ними шарнирах. Исключим эти реакции согласно (1.29) и подставим ускорения wk и wi в уравнения кинематики (1.23). Тогда мы получимразрешающее уравнение относительно множителей Лагранжа:⎛⎞⎞⎛HTj M k−1 ⎜ Qk + H j λ j − ∑ CTk p H k p λ k p ⎟ = HTj C j Mi−1 ⎜⎜ Qi + H j p λ j p − ∑ CiTm Him λ im ⎟⎟ + HTj w′k .⎜⎟pm⎠⎝⎝⎠23Записав эти уравнения для всех шарниров системы, получим системулинейных алгебраических уравнений относительно множителей Лагранжа.Для цепочки тел матрица этой система будет блочно-трёхдиагональной. Появление замкнутых цепей приведёт лишь к нарушению блочной трёхдиагональности и к локальному увеличению ширины ленты матрицы, что не приводит к существенному увеличению трудоёмкости вычислений.Полученная система уравнений обладает интересной особенностью:размерность столбца множителей Лагранжа λk равна (6–nk), где nk – числостепеней в шарнире.

Это означает, что чем больше степеней свободы в шарнире, тем меньше размер столбца множителей Лагранжа, и значит, темменьшим получается размер разрешающей системы уравнений. Далее на этотэффект ещё раз будет обращено внимание при демонстрации численных результатов интегрирования в п. 1.1.6.1.1.5.2.Метод отдельных тел для деформируемых телОбобщение формализма отдельных тел для моделирования систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел было сделано Уоллрапом в 1994 г. [65].Погорелов вместе с автором также предложили реализацию подобного жеформализма [77]. Идея данного обобщения совершенно прозрачна и простоповторяет все выкладки, приведенные в п. 1.1.5 для абсолютно твёрдых тел,но только в применении к деформируемым телам.

Заметим, что при моделировании систем только деформируемых тел ценность данного метода нестоль велика, так как при представлении деформируемых тел, например, вметоде конечных элементов, для их сочленения используется процедура ассемблирования, см. приложение 6.3. В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, причём с блочной матрицей масс.Трудоёмкость решения такой системы также составляет O(n), то есть применение метода отдельных тел не будет намного более эффективным.1.1.6.Сравнение методов по эффективностиВ этом параграфе приведено сравнение эффективности методов интег-24рирования по критерию машинного времени, затраченного на один шаг интегрирования уравнений, сгенерированных разными методами.Традиционно сравнение быстродействия методов проводится на примере многозвенного маятника.В данном случае были выбраны две модели многозвенного маятника:- с одной вращательной степенью свободы в шарнирах, соединяющихстержни маятника;- с тремя вращательными степенями свободы (шаровые шарниры междутелами).Сравнению подвергались четыре метода синтеза уравнений:- прямой метод;- метод составных тел (composite body method);- метод отдельных тел в классическом исполнении, описанный в п.

1.1.5; онимеет устоявшееся обозначение NSM (null-space method);- метод отдельных тел, основанный на переходе к множителям Лагранжа,описанный в 1.1.5.1; обозначение RSM (range-space method).При сравнении варьировалось число маятников в цепочке, то есть длинацепочек: а именно, брались 2, 4, 8 и т.д. тел в цепочке.

При этом последниезначения для прямого метода были получены с помощью экстраполяции,поскольку этот метод в его существующей реализации имеет ограниченныевозможности по сложности системы, связанные с объёмом ОЗУ ЭВМ.Итак, на Рис. 1.4 представлены зависимости затрат времени на 1 шаг интегрирования от числа тел в маятнике для различных методов синтеза уравнений, а) – с шарнирами с одной степенью свободы, б) – с шарнирами с тремя степенями свободы (шаровые шарниры).Анализ этих зависимостей подтверждает теоретические расчёты. Видно,что кривые, соответствующие прямому методу и методу составных тел, резковозрастают с увеличением числа тел в цепочке, в то время методу отдельныхтел соответствуют прямая пропорциональность числу тел.25Шарниры с тремя степенями свободы60Время на 1шаг, мсВремя на 1 шаг, мсШарниры с одной степенью свободы40200016324864Число маятниковпрямой методотдельных тел, NSMсоставных телотдельных тел, RSM604020008162432Число маятниковпрямой методотдельных тел, NSMсоставных телотдельных тел, RSMРис.

1.4. Сравнение быстродействия методов формирования уравнений1.2. ДЕТАЛИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЕФОРМИРУЕМОГОТЕЛАВ этом параграфе рассматриваются методы получения конкретныхуравнений движения отдельного деформируемого тела, выбора обобщённыхкоординат для его моделирования, вывод кинематических соотношений и пр.В последние десятилетия многие усилия исследователей направлены нарешение задач, совмещающих произвольное пространственное движениеупругих конструкций и их большие относительные деформации, а такжесоединение абсолютно твёрдых и упругих тел в единые расчётные схемы.Широкий обзор методов моделирования таких систем можно найти в [52].На заре развития этой области вычислительной механики, да нередко ипо сей день, использовались различные методы представления упругих телнабором твёрдотельных элементов, см. п.

1.2.1. Инерционные и упругиесвойства деформируемого тела распределяются между элементами-телами ивведенными между ними шарнирами с упруго-диссипативными силами.Данный подход позволяет использовать широкий спектр имеющихся методови алгоритмов моделирования систем абсолютно твёрдых тел с целью исследования динамики деформируемых систем. Среди исследований в этой области можно выделить работы Крушевского и др. 1975 г. [33], Хьюстона идр.

1981 г. [28, 29, 30], Малиновского 1978 г., Рау и Шилена 1986 г. [44, 47], атакже более современные работы 1992-2002 гг. Леонтьева [5], Паскаль и Га-26гариной [38], Кройцера и др. [31, 32], Погорелова и др. [40, 41, 81, 83]. Надоотметить, что основная масса работ в этой области фокусируется на моделировании балочных плоских и пространственных систем и оптимизации распределения инерционных и упругих параметров среди тел и шарниров системы. Однако работы Погорелова [41], а также [81] с участием автора являются одними из первых попыток распространения этого подхода на моделирование пластин, см. п. 1.2.1. Основная трудность, с которой связан данныйформализм – появление системы из большого числа твёрдых тел (десятки исотни) и проблемы, связанные с их численным интегрированием (дифференциально-алгебраические уравнения, жёсткие уравнения).Формализм подвижной системы координат позволил учесть произ-вольное движение системы отсчёта, связанной с упругим телом.

Подобнотому, как в п. 1.1.2 описан процесс формирования уравнений движения абсолютно твёрдого тела, можно поступить и в случае сложной конструкции,составленной из целого набора отдельных элементов. В этом случае вводитсяподвижная система координат, описывающая движение конструкции кактвёрдого тела. В остальном же вывод уравнений ничем не отличается от ужеописанного в п.

1.1.2. Этот подход довольно распространён и по сей день изза простоты реализации: он задействует только дополнительные степенисвободы, определяющие движение ПСК как твёрдого тела (обычно 6) в дополнение к узловым переменным, используемым в МКЭ. Из первых работ вэтой области отметим работу Ликинса 1967 г. [35], Шабаны 1983 г. [54], [51].Многие работы посвящены исследованию влияния выбора той или иной подвижной системы координат на точность моделирования, например: Агравал иШабана 1985 г.

[12]. Интересна работа Сонга и Хауга 1980 г. [58], в которойони используют свою подвижную систему координат для каждого отдельного элемента подобно тому, как описано в п. 1.1.2. Однако связь между элементами они реализовали в виде нелинейных алгебраических уравнений вместо использования принятой в МКЭ и более эффективной процедурыассемблирования, описанной в приложениях 6.3 и 6.4.

От этой работы лишьодин шаг до формализма, использующего конечные углы поворота (ниже).27шаг до формализма, использующего конечные углы поворота (ниже).Инкрементный метод конечных элементов [16, 43] устраняет этот не-достаток, но, к сожалению, вносит другой. Из-за использования бесконечномалых углов поворота в качестве узловых переменных он приводит к линеаризованным кинематическим соотношениям, и, как следствие, к неточномуописанию перемещений тела как твёрдого. Чтобы избежать этого, применяютпромежуточную систему координат.Использование конечных углов поворота (п. 1.2.2) в качестве узловыхкоординат также позволяет решить проблему больших перемещений.

Характеристики

Список файлов диссертации