Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел (1105385), страница 19
Текст из файла (страница 19)
УГЛЫ ОРИЕНТАЦИИ. МАТРИЦА ПОВОРОТА. ВЕКТОРУГЛОВОЙ СКОРОСТИ, ЕГО МАТРИЦА ЯКОБИ ПОПРОИЗВОДНЫМ ОТ УГЛОВВ этом приложении излагается процедура определения матрицы направляющих косинусов (матрицы поворота) по известным углам ориентации призаданной произвольной последовательности поворотов и наоборот, а также118другие важные параметры кинематики произвольного пространственногодвижения.
Эти сведения необходимы в различных частях диссертации.Матрицу поворота, задающую произвольную ориентацию, можно представить в виде произведения трёх матриц элементарных поворотовA = Ai A j A k ,(6.9)где Al – матрицы элементарного поворота вокруг оси l на угол φl, причёмl = 1, 2 или 3. Значение 1 соответствует повороту вокруг оси x, 2 – вокруг осиy и 3 – оси z. Значения матриц элементарных поворотов следующие:⎡1 0A1 = ⎢0 c1⎢⎢⎣0 s10 ⎤⎡ c2− s1 ⎥ , A 2 = ⎢ 0⎥⎢c1 ⎥⎦⎢⎣ − s20 s2 ⎤⎡ c31 0 ⎥ , A 3 = ⎢ s3⎥⎢0 c2 ⎥⎦⎢⎣ 0− s3c300⎤0⎥ ,⎥1⎥⎦где введены сокращённые обозначения sl = sin φl, cl = cos φl для тригонометрических функций углов ориентации φl. Для этих матриц может быть найдено общее выражение (здесь соглашение о суммировании не применяется)A l = ι l ι Tl + ( I − ι l ι Tl ) cl + ~ιl sl ,(6.10)где ιl – единичный вектор оси с номером l, а I = diag(1,1,1), [7].
Формула(6.10) тождественна формуле Родригеса A l = I + ~ιl sin ϕ l + 2 ~ιl ~ιl sin 2 (ϕ l 2) .Отметим, что в формуле (6.9) i ≠ j и j ≠ k, то есть соседние повороты немогут происходить вокруг одной и той же оси. Поэтому возможны следующие 12 комбинаций углов ориентации:k = 6 – i – j: {i, j, k}∈{{1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, {3,2,1}};k = i:{i, j, k}∈{{1,2,1}, {1,3,1}, {2,1,2}, {2,3,2}, {3,1,3}, {3,2,3}}.Примеры: комбинация {1,2,3} соответствует углам Кардана, {3,1,3} –углам Эйлера; {2,1,3} – корабельные углы Крылова, {2,3,1} – самолётные.Выполнив подстановку выражений (6.10) в (6.9) и раскрыв скобки, получим явное выражение для матрицы поворота.
Для его упрощения учтёмследующие тождества, следующие из взаимной ортогональности векторов ιl:ι Tk ι k = 1 , ι iT ι j = 0 , i ≠ j,119⎡ 0 + 1 − 1⎤⎢~ι ι = 0 , ~ι ι = χ ι0 + 1⎥ , ~ιi ~ι j = ι j ι iT − (ι iT ι j ) I .i jij 6 −i − j , χ ij = ⎢ − 1k k⎥⎢⎣ + 1 − 1 0 ⎥⎦ ijВ итоге получим выражения для элементов матрицы A в выражении(6.9). Для случая, когда k = 6 – i – j, имеем (суммирования по i, j нет!)Aii = c j ck ,A ji = si s j ck + χ ij ci sk ,Aki = si sk − χ ij ci s j ck ,Aij = − χ ij c j sk ,A jj = ci ck − χ ij si s j sk ,Akj = χ ij si ck + ci s j sk ,Aik = χ ij s j ,A jk = − χ ij si c j ,Akk = ci c j .(6.11)В случае k = iAii = c j ,A ji = si s j ,Aki = − χ ij ci s j ,Aij = s j sk ,A jj = ci ck − si c j sk ,Akj = χ ij ( si ck + ci c j sk ),Aik = χ ij s j ck ,A jk = − χ ij ( si c j ck + ci sk ), (6.12)Akk = ci c j ck − si sk .В формулах (6.12), тем не менее, полагается, что k = 6 – i – j.Каждая из совокупности равенств (6.11) и (6.12) представляет собой систему уравнений относительно аргументов тригонометрических функций,которую несложно решить:k = 6−i − j :ϕ j = arcsin( Aik χ ij ) ;ϕ j = arccos Aii ;k =i:⎧arctan2( A ji , − Aki χ ij ), s j ≠ 0;⎧arctan2( − A jk χ ij , Akk ), c j ≠ 0;ϕi = ⎨ϕi = ⎨s j = 0.c j = 0.⎩arctan2( χ ij Akj , A jj ),⎩arctan2( χ ij Akj , A jj ),⎧arctan2( − Aij χ ij , Aii ), c j ≠ 0;c j = 0.⎩0,ϕk = ⎨⎧arctan2( Aij , Aik χ ij ), s j ≠ 0;s j = 0.⎩0,ϕk = ⎨В этих формулах использованы функции⎧arctg(Y X ),⎪arctan2(Y , X ) = ⎨arctg(Y X ) + π sign Y ,⎪(π 2) sign Y ,⎩X > 0;X < 0;X = 0;⎧+ 1, Y > 0;⎪sign Y = ⎨− 1, Y < 0;⎪0, Y = 0.⎩В случае, когда углы ориентации малы, φl << 1, то sl ≈ φl, cl ≈ 1, и тогдасистемы (6.11) и (6.12) значительно упрощаются:120Aii ≈ 1,A ji ≈ − Aij ,k = 6−i − j:Aij ≈ − χ ijϕ k , Aik ≈ χ ijϕ j ,A jj ≈ 1,A jk ≈ − χ ijϕ i ,Aii ≈ 1,A ji ≈ − Aij ,Aij ≈ 0,A jj ≈ 1,Aki ≈ − Aik ,Akj ≈ − A jk ,Aki ≈ − Aik ,Akj ≈ − A jk ,Akk ≈ 1.k =i:Aik ≈ χ ijϕ j ,A jk ≈ − χ ij (ϕ i + ϕ k ),Akk ≈ 1.В заключение найдём выражения для вектора угловой скорости, вос-~=A& AT .пользовавшись формулой для тензора угловой скорости ωЭти выражения имеют вид ω = B φ& , где B – матрица Якоби вектора угловой скорости по производным от углов ориентации φ:k = 6−i − j:s j ⎤ ⎧ϕ&i ⎫0⎧ ωi ⎫ ⎡ χ ij⎪ ⎪ ⎢⎥⎪ ⎪⎨ω j ⎬ = ⎢ 0 χ ij ci − si c j ⎥ ⎨ϕ& j ⎬⎪ω ⎪ ⎢ 0siχ ij ci c j ⎥⎦ ⎪⎩ϕ&k ⎪⎭⎩ k⎭ ⎣k =i:χ ij c j ⎤ ⎧ϕ&i ⎫0⎥⎪ ⎪χ ij ci χ ij si s j ⎥ ⎨ϕ& j ⎬si− ci s j ⎥⎦ ⎪⎩ϕ&k ⎪⎭⎧ ωi ⎫ ⎡ χ ij⎪ ⎪ ⎢⎨ω j ⎬ = ⎢ 0⎪ω ⎪ ⎢ 0⎩ k⎭ ⎣6.6.
ПОСТРОЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯЦЕПОЧКИ ТЕЛПоясним построение матриц Di и Bi для тел системы, состоящей из многих тел, связанных шарнирами разного типа. В качестве примера рассмотримсистему в виде многозвенного маятника, изображённую на Рис. 6.1.q1q1a1 r1b1a1 r1b1q2 a2b2q3q2 a2r2a3r3b3r2b2q3а)a3r3b3б)Рис. 6.1. Кинематика цепочки тел:а) абсолютные углы ориентации в в шарнирах;б) относительные углы ориентации в шарнирах.121Столбцы qi представляют собой наборы углов ориентации в шарнирах(кружочки без штриховки), причём в случае а) – это абсолютные углы ориентации тела по отношению к неподвижной СК, а в случае б) – углы ориентации тела относительно предыдущего тела в цепочке.
Постоянные векторы aiи bi задают сдвиги от шарниров к центрам масс тел (заштрихованные кружочки) в СК этих тел. Пусть для определённости все они имеют одинаковыезначения ai = bi = {0, 0, –a/2}T, где a – длина маятников.Требуется вычислить матрицы Di и Bi для всех тел. Начнём со случая а).Поскольку заданы наборы углов ориентации qi, то тем самым считаемизвестными матрицы направляющих косинусов Ai(qi) и векторы угловых~ =A& A T , отсюда ω = B ∗q& , подробнее см. приложение 6.5.скоростей тел: ωii iii iГлобальный вектор обобщённых координат для нашей системы имеет вид{q = q1Tq T2q T3}T ,и поэтому глобальные матрицы Bi формируются следующим образом:[= [O= [OB1 = B1∗B2B3]O] ,B ].O O ,B ∗2O∗3Далее, вычислим радиус-вектор r1 и скорость v1 центра масс тела 1:~ A a = − ~( A a ) ω = − ~( A a ) B ∗q& .& a =ωr1 = A1a1 ⇒ v1 = r&1 = A1 11 1 11 111 11 1Таким образом, мы нашли значение матрицы D1:~D1 = − ( A1a1 ) B1∗ O O .[]Подобным образом поступим с телом 2,~~r2 = A1 (a1 + b1 ) + A 2 a 2 ⇒ v 2 = − ( A1 (a1 + b1 )) B1∗q& 1 − ( A 2 a 2 ) B ∗2 q& 2 ,[~D 2 = − ( A1 (a1 + b1 )) B1∗а также с телом 3:~D 3 = − ( A1 (a1 + b1 )) B1∗[~− ( A 2 a 2 ) B ∗2~− ( A 2 (a 2 + b 2 )) B ∗2]O,]~− ( A 3a 3 ) B ∗3 .В случае, изображённом на Рис.
6.1 б), наборы локальных шарнирныхкоординат qi описывают относительную ориентацию тел. Это означает, что122известны матрицы направляющих косинусов Ai–1, i(qi), i = 1,…,3, определяющие относительные ориентации тел (i – 1) и i, и соответствующие векторыотносительных угловых скоростей ω i −1, i = B i −1, i q& i , причём заданы эти векторы своими проекциями на оси СК тела (i – 1). Тогда матрицы абсолютнойориентации вычисляются рекуррентно:A1 = A 01 ,A 2 = A 01A12 ,A 3 = A 01A12 A 23 ,а абсолютные угловые скорости тел вычисляются по теореме о сложенииугловых скоростей:ω1 = ω 01 = B 01q& 1 ,ω 2 = ω1 + A1ω12 = B 01q& 1 + A1B12 q& 2 ,ω 3 = ω 2 + A 2 ω 23 = B 01q& 1 + A1B12 q& 2 + A 2 B 23q& 3 ,и, следовательно, матрицы Bi принимают видB1 = [ B 01 O O] ,B 2 = [ B 01B 3 = [ B 01A1B12A1B12O] ,A 2 B 23 ] .Вычисление радиус-векторов центров масс тел в данном случае почтитакое же, как и в случае а):~ A a = − ~( A a ) ω ,r1 = A1a1 ⇒ v1 = ω1 1 11 11~~r2 = r1 + A1 ( b1 + A12 a 2 ) ⇒ v 2 = − ( A1c1 ) ω1 − ( A 2 a 2 ) ω 2 ,~~~r3 = r2 + A 2 ( b 2 + A 23a 3 ) ⇒ v 3 = − ( A1c1 ) ω1 − ( A 2 c 2 ) ω 2 − ( A 3a 3 ) ω 3 .В этих выражениях для краткости пишем ci = ai + bi.Однако матрицы Di получаются более громоздкими из-за сложности выражений для угловых скоростей ωi:~D1 = − ( A1a1 ) B01 O O ,~~D 2 = − ( A1c1 + A 2a2 ) B01 − ( A 2a2 ) A1B12 O ,~~~D3 = − ( A1c1 + A 2c 2 + A 3a3 ) B01 − ( A 2c 2 + A 3a3 ) A1B12 − ( A 3a3 ) A 2B 23 .[[[]]]Как видим, в обоих случаях а) и б) глобальные матрицы Якоби Di, Bi вычисляются с использованием лишь алгебраических операций над известными123матрицами, без использования операции дифференцирования.
Способ а), вкотором вводятся абсолютные углы ориентации в шарнирах, приводит к менее трудоёмким конечным выражениям. Однако способ б) является болееобщим, и позволяет вводить шарниры различных типов (поступательные ивращательные с различным числом степеней свободы). В работах [7, ??] подробно описан процесс построения кинематических соотнощений для подобного рода шарниров.6.7.
ЭЛЕМЕНТЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОГО БАЛОЧНОГОЭЛЕМЕНТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АБСОЛЮТНЫХ УЗЛОВЫХКООРДИНАТS ik11⎡ ⎡ 864⎢ ⎢ 108 l36 l 2⎢ ⎢⎢ ⎢ − 864 − 108 l864⎢ ⎢l−1080108 l⎣⎢⎢ ⎡ 108 l⎢ ⎢2− 3l 3⎢ ⎢ 36 l⎢ ⎢ − 108 l − 36 l 2 108 l⎢ ⎢3l 301 ⎢ ⎣ 01111=Sikmn3 ⎢ ⎡ − 864420l⎢⎢2⎢ ⎢ − 108 l − 36 l⎢ ⎢ 864108 l − 864⎢⎢0108 l⎢ ⎣ − 108 l⎢ ⎡ 108 l⎢ ⎢3l 3⎢ ⎢ 0⎢ ⎢ − 108 l 0108 l⎢ ⎢23 l 3 − 36 l 2⎢⎣ ⎣ 36 l⎡ ⎡ 648⎢ ⎢ − 54 l 288 l 2⎢ ⎢⎢ ⎢− 648 54 l⎢ ⎢2⎢ ⎣ − 54 l − 90 l⎢ ⎡ 324 l⎢⎢2186 l 3⎢ ⎢− 90 l⎢ ⎢− 324 l 90 l 2⎢⎢2− 45 l 31 ⎢ ⎣ 36 l2211Sikmn=5 ⎢ − 648⎡105l⎢⎢2⎢⎢ 54 l − 288 l⎢⎢ 648− 54 l⎢⎢90 l 2⎢⎣ 54 l⎢ ⎡ 324 l⎢ ⎢2102 l 3⎢ ⎢ 36 l⎢ ⎢− 324 l − 36 l 2⎢ ⎢23⎣⎢ ⎣ − 90 l − 45 l⎤sym.
⎥⎥⎥2⎥36 l ⎦⎤sym.⎥⎥⎥3 ⎥3l ⎦⎤sym. ⎥⎥⎥− 36 l 2 ⎥⎦⎤sym. ⎥⎥⎥3⎥− 3l ⎦⎤sym. ⎥⎥648⎥2⎥54 l 288 l ⎦324 l− 36 l 2⎤sym. ⎥⎥⎥3⎥102 l ⎦⎤sym. ⎥⎥− 648⎥2⎥− 54 l − 288 l ⎦⎤sym. ⎥⎥324 l⎥90 l 2 186 l 3 ⎥⎦⎡ 364l 21 ⎢ 3l⎢=30 l ⎢− 36 − 3 l⎢ 3l − l 2⎣⎤sym.⎥⎥36⎥− 3 l 4 l 2 ⎥⎦⎤⎡ 36 l 2⎥⎢34llsym324.−⎥⎢232⎥⎢ − 36 l3l36 l⎥⎢3− 3l 4 − 3l 3 2 l 4 ⎦⎣ 3l⎡ − 108 l⎤⎢ − 36 l 2 3 l 3sym.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
